Паралельне проектування �та його властивості

• У стереометрії вивчаються просторові фігури, проте на кресленні вони зображуються у вигляді плоских фігур. Яким же чином слід зображувати просторову фігуру на площині? Зазвичай в геометрії для цього використовується паралельне проектування просторової фігури на площину.

А

Виберемо у просторі довільну площину α (площину проекцій)

α

І будь-яку пряму a, яка переринає α

(вона задає напрям паралельного проектування)

а

А

α

а

Проведемо через точку А пряму, паралельну прямій а.

А’

Точка А’ перетину цієї прямої з площиною і є проекція точки А

на площину α. Якщо А∈α, то А’ збігається з А.

Ррозглядаючи геометричну фігуру як множину точок, можна побудувати в заданій площині проекцію заданої фігури. Таким чином отримаємо зображення (або «проекцію») просторової фігури на площині

а

α

Зауваження 1. При паралельному проектуванні не обирають напрям паралельного проектування паралельно площині проекції

А

а

α

Зауваження 2. При паралельному проектуванні плоских фігур не обирають напрям паралельного проектування паралельно площині, якій належить ця плоска фігура, т.як. проекція не отображає властивості заданої плоскої фігури.

А

а

α

B

C

А’

B’

C’

Зауваження 3. Якщо напрям паралельного проектування перпендикулярний площині проекцій, то таке паралельне проектування називається ортогональним проектуванням.

А

а

α

B

C

А’

B’

C’

Зауваження 4. Якщо площина проекцій і площина, в якій лежить задана фігура паралельні (α||(АВС)), то зображення фігури…

А

а

α

B

C

А’

B’

C’

…дорівнює самій фігурі.

1) паралельність прямих (відрізків, промінів) зберігається;

α

а

A

D

C

B

A’

D’

C’

B’

АВ||CD А’B’||C’D’

2) відношення довжин відрізків, які лежать на паралельних або на одній прямій зберігаються;

1. паралельність прямих (відрізків, промінів) зберігається;

α

а

A

D

C

B

A’

D’

C’

B’

Якщо, наприклад, АВ=2CD, то А’В’=2C’D’ або

М

М’

1. паралельність прямих (відрізків, промінів) зберігається;

α

а

A

B

A’

B’

3) Лінійні розміри плоскіх фігур не зберігаються

2) відношення довжин відрізків, які лежать на паралельних або на одній прямій зберігаються;

β

β’

C

C’

Основні властивості паралельного проектування

• Паралельною проекцією точки є точка.

​

• Паралельною проекцією прямої є пряма.

​

• Проекції паралельних прямих паралельні між собою або збігаються, якщо дані прямі лежать у площині, паралельні напрямку проектування.

​

• Якщо відрізки лежать на одній прямій або на паралельних прямих, то відношення їх проекцій дорівнює відношенню самих відрізків.

Властивості фігур під час паралельного проектування

• ЗБЕРІГАЮТЬС Я

1) Належність фігури до свого

класу фігур (точку зображають точкою, відрізок – відрізком, трикутник – трикутником тощо;

2) Належність точок прямій;

3) Порядок розміщення точок

на прямій (внутрішню точку відрізка зображають внутрішньою точкою його проекції);

4) Паралельність прямих;

5) Рівність (пропорційність) відрізків, що лежать на паралельних прямих або

на одній прямій.

• НЕ ЗБЕРІГАЮТЬСЯ

1) Довжина відрізка;

2) Міра кута (зокрема прямий кут зображають довільним кутом);

3) Перпендикулярність прямих;

4) Рівність (пропорційність) кутів;

5) Рівність (пропорційність) відрізків, які лежать на прямих, що перетинаються.

α

Побудуємо зображення куба:

Застосування