DOĞRUSAL ZAMANLA DEĞİŞMEZ SİSTEMLERDE DİFERANSİYEL DENKLEMLER

Giriş – çıkış ilişkisi,

katsayılarının hepsi zamana göre sabitse,

sistem N. mertebeden doğrusal zamanla değişmez (DZD) bir sistemdir.

olmak üzere

Çözümdeki N adet sabit,

başlangıç şartlarına bağlıdır.

Çözüm Adımları

​

diyelim.

1) f (t) yerine sıfır, y yerine y_h yazılarak homojen çözüm bulunur.

y_h(t) , henüz belirlenmemiş N adet sabite bağlı olarak yazılır.

2) Denklemdeki f (t) dikkate alınarak, fakat hiçbir homojen çözüm bileşeni içermeyen özel çözüm y_ö(t) bulunur.

Bu çözümdeki bütün

sabitler bu aşamada belirlenir.

3)

N adet sabit, başlangıç şartlarına göre belirlenir.

Eğer f (t) parçalı tanımlıysa,

her tanım aralığı için:

y_h(t) sabitler için farklı semboller kullanılarak aynı biçimli olarak yazılır.

f (t)’nin yalnızca değişen bileşenlerine karşılık gelen özel çözüm

bileşenleri yeniden bulunur.

Verilen şartlar sadece geçerli olduğu zaman aralığında kullanılarak bulunan çözümden, komşu aralığın başlangıç (veya son) değerlerine geçiş yapılır ve bunlar o aralıkta kullanılır.

f (t) geçiş anında etkiyen bir darbe içermiyorsa

sıçrama yapmaz.

geçiş anında

Homojen çözüm

​

Çözümün, e^λt biçiminde bileşeni olduğunu varsayalım.

Bu çözümü homojen denklemde yerine yazalım.

Buradan da

diferansiyel denklemin ya da sistemin karakteristik denklemi bulunur.

Denklemin

diferansiyel denklemin ya da sistemin özdeğeri (eigenvalue),

köklerinin her birine ise

ya da karakteristik kökü denir.

Her özdeğer için çeşitli katsayılarla birer homojen çözüm bileşeni bulunması mümkündür. Buna göre:

Çakışık özdeğer yoksa (tüm özdeğerler birbirinden farklıysa)

çakışık özdeğer varsa, meselâ λ_k , m-katlı bir özdeğer

(λ_k = λ_k+1 = … = λ_k+m-1) ise bunlara karşılık gelen homojen çözüm kısmı

İstenirse bu bileşenlerdeki t’lerin hepsinin yerine meselâ (t-2) gibi kaymalı bir ifade de yazılabilir.

Böyle kaymalı ifadeler bazen hesap ve yorum kolaylığı sağlayabilir.

Sabitler buna göre bulunur.

Örnek:

homojen denkleminin çözüm ifadesini bulunuz.

Çözüm:

🡪

Not:

Eğer λ_k,k+1 = σ ± jω gibi eşlenik çiftler halinde karmaşık özdeğerler varsa, bunlara karşılık gelen homojen çözüm bileşenleri,

çakışık özdeğer değilseler

biçiminde de yazılabilir.

Ayrıca bu özdeğerlerin çakışması da varsa yine bunun da t ’nin uygun kuvvetleriyle çarpılmış biçimleri de gelir.

Örnek:

homojen denkleminin çözüm ifadesini bulunuz.

Çözüm:

🡪

Çakışık kök olmadığı için:

Örnek:

homojen denkleminin çözüm ifadesini bulunuz.

Çözüm:

🡪

Eşlenik köklerin her biri 2 katlı olduğu için:

Özel çözüm

Diferansiyel denklemin sağ tarafı f (t) bileşenlerine ayrılır.

Her bileşen için ayrı ayrı özel çözüm bileşenleri bulunur

ve hepsinin toplamı özel çözüm olur.

Özel çözüm, homojen çözüm tarafından kapsanan herhangi bir bileşen içermemelidir.

gibi bir bileşen için özel çözüm bileşeni:

ise

gibi m-katlı bir özdeğere eşitse

(bu özdeğer çakışık değilse m = 1 demektir)

f (t) içindeki sabit terimler için p₁ = 0 olduğu unutulmamalıdır.

Özel çözüm bileşenlerinin katsayıları, başlangıç şartları kullanılmadan belirlenmelidir.

yerine y_ö1 , ve f (t) yerine yalnızca ilgili bileşeni

Bunun için, c₁ katsayısı, diferansiyel denklemde y

yazılarak

bulunur.

ise bu yol,

biçiminde karakteristik denklemde λ yerine p₁ kullanılan kısa bir hale gelir.

p₁’in bir özdeğere eşit olması halinde bu kısa yol geçersizdir.

Tüm bileşenler için özel çözüm bileşenleri bulunduktan sonra

çözüm bileşenlerinde de istenirse t yerine meselâ (t-2) gibi kaymalı bir ifade de yazılabilir; bu sadece katsayıların farklı olmasını gerektirir, ki henüz belirlenmemiş katsayıların buna göre belirlenmesi sorun teşkil etmez. Böyle kaymalı ifadeler bazen hesap ve yorum kolaylığı sağlayabilir.

Örnek:

sisteminin çıkışını,

girişi ve

başlangıç şartları için bulunuz.

Çözüm:

🡪

için

olduğundan

Denklemin sağ tarafında darbe olmadığı için

🡪

Yani

ve

🡪

🡪

🡪

Sonuçta tüm zamanların çözümü:

ya da kısaca

Not:

Eğer t < t₀ için f (t) = 0 ise yani f (t) = (…)∙u(t-t₀) biçiminde yazılabiliyor ve t = t₀’daki

başlangıç değerlerinin hepsi sıfır ise t < t₀ için y(t) = 0 olacağı zaten bellidir. Bu yüzden böyle bir durumda yalnız t ≥ t₀ için u(t-t₀) = 1 koyarak bulunan çözümü u(t-t₀) ile çarparak tüm zamanların çözümü elde edilir.

Örnek:

sisteminin çıkışını

için bulunuz.

Çözüm:

🡪

için homojen çözüm:

için denklemin sağ tarafı

olup hem

hem de

için

için

🡪

Tüm zamanlar için ise:

Örnek:

sisteminin çıkışını

için bulunuz.

Çözüm:

🡪

Denklemin sağ tarafında darbe olmadığı için

Bunlar diferansiyel denklemde yalnız ilgili bileşen için yerine konursa:

Sağ taraftaki 6 terimi değişmediği için y_ö1 = 3 de aynıdır.

için

K₁, K₂ sabitlerini bulmak için bu zaman bölgesinde iki şarta ihtiyaç vardır. Diferansiyel denklemin sağ tarafında geçiş (t = 3) anında etkiyen bir darbe olmadığı için bir önceki zaman aralığı çözümünün son değerlerini bu bölgenin başlangıç şartları olarak kullanabiliriz:

Genel çözümü yazarsak:

Not:

f (t) trigonometrik veya üstel çarpanlı trigonometrik bir bileşen içeriyorsa bunun üstel sinyaller biçimindeki ifadesinin üs katsayıları

gibi eşlenik çiftlere karşılık gelir.

Dolayısıyla, f (t) içindeki

için özel çözüm

ise

Eğer α ± jβ , m-katlı bir özdeğer çiftine eşitse, yukarıdaki ifadenin t^m ile çarpılmışı yazılır. α = 0 için bu, zorlanmış rezonans olduğu anlamına gelir.

Örnek:

Çözüm:

6 bileşeni için,

için

Genel çözüm:

Örnek (Zorlanmış rezonans):

sisteminin çıkışını,

girişi ve

başlangıç şartları için hesaplayınız.

Çözüm:

için

Sağdaki

için,

(Son türevde ve özel çözümün yerine yazıldığı diferansiyel denklemde çarpanlı kısmın katsayı bulunmasına faydası olmadığı için … diyerek geçilmiştir.)

ve

🡪

ve

Toplam çözüm ise:

( t ≥ 0 çözümünü u(t) ile çarpmak için gereken şartlar sağlandığı için)

bulunur. Buradaki t çarpanlı bileşen, salınım genliğinin gittikçe artmasına neden olarak pratikte sistemin modelinin geçerli olduğu sınırları zorlayarak bozulmaya neden olur. Köprü ve cam eşyalarda yıkıma neden olduğu söylenen rezonans, normal rezonans değil, bu örnekteki gibi zorlanmış rezonanstır. Salıncak, sarkaç gibi aslında doğrusal olmayıp, küçük salınım sınırlarında yaklaşık doğrusal olan sistemlerde de, salınım genliğinin bir yere kadar kolayca artırılabilmesi için, sallama kuvvetinin, sistemin doğal salınım frekansında olması gerekir. Meselâ salıncağı bir taraftan itekledikten doğal salınım periyodu kadar sonra salıncak aynı tarafa gelecek, o anda tekrar iteklenince salınım genliği kolayca artacaktır. İki taraftan iteklenen salıncakta da bir taraftan uygulanan kuvvet artı, diğer taraftan uygulanan kuvvet eksi olduğu için kuvvetin periyodu yine aynıdır. Ancak sistemi doğrusal varsayılabilecek sınırların dışına çıkartan salınım genliklerine ulaşınca bu genlik sınırlı hale gelecektir. Salıncağı, doğal salınım frekansından başka bir frekansta kuvvetle sallamak denenirse, genlik artışının ne kadar zor olduğu görülür.

Diferansiyel Denklemin Sağ Tarafında Darbe Varsa Çözüm

Burada

ve

anında etkiyen bir darbe içermeyen

sonlu bir fonksiyon olsun.

r sabit olmasa bile t₀ ’daki değeri önemli

olduğu için sabit olarak ele alınır.

t < t₀ ve t > t₀ bölgeleri için ayrı ayrı çözüm yapılır.

Tabii bu bölgelerde

olduğundan bu darbe dikkate alınmaz.

Ancak

bölgesine ait

son değerler ile

bölgesine ait

başlangıç değerleri

arasındaki geçiş şöyle yapılır:

N = 1 ise yalnızca en üstteki uygulanır. Yani

Diferansiyel denklemin

aralığında integralini alalım:

İspat:

Sol tarafta ilki hariç tüm integraller, sağ taraftaki ilk integral, sonlu büyüklüklerin sonsuz küçük zaman aralığında integralleri olduğu için sıfırdır. Bu zaman aralığında yalnızca sağdaki darbe ve onun doğrudan etkilediği y^(N)(t) sonsuz olup bunların integralleri eşitlenerek:

Varsa (N ≥ 2 ise) daha düşük mertebeli türevlerde ise sıçrama olmaz.

Sağ tarafta darbenin de türevleri olsaydı daha düşük mertebeli türevlerde de sıçrama yaptırabilirdi; ancak bu konuyu burada ele almayacağız. Sıradaki konu bu konunun uygulaması niteliğindedir.

dolayısıyla

Sistemin Diferansiyel Denkleminden Birim Darbe Tepkisinin Bulunması

Normalde x yerine δ , ve y yerine h yazarak diferansiyel denklemi çözüp birim darbe tepkisini bulabiliriz.

Ancak az önceki konuda anlatılan kuralı,

olmak üzere,

ile verilen nedensel bir sisteme uygularsak birim darbe tepkisini bulma yöntemi oldukça basitleşir.

Çünkü nedensel DZD sistemlerde

olduğu için t < 0 bölgesinde h(t) ’nin bütün türevleri de sıfır olacaktır.

Sonsuz küçük zaman farkını göz ardı ederek başlangıç anını 0⁺ yerine 0 alırsak yöntem şu şekilde özetlenebilir:

Böylece t > 0 bölgesine ait başlangıç şartları (0⁺ anı için) kolayca belirlenebilecektir.

y yerine h , sağ tarafa da sıfır yazarak t > 0 bölgesi için

diferansiyel denklemi şu başlangıç şartları için çözülür:

Bu kısım N ≥ 2 için uygulanır.

N = 1 ise yalnızca en üstteki, yani

uygulanır.

Bulunan çözüm u(t) ile çarpılarak birim darbe tepkisinin tüm zamanlar için ifadesi elde edilir.

Denklem ve dolayısıyla çözümü homojendir.

Örnek:

​

Şekildeki devrenin birim darbe tepkisini bulunuz.

Çözüm:

Direncin akımı + endüktansın akımı = x(t)

denklemini

başlangıç şartı için çözmeliyiz.

Tüm zamanlar için ifadesi ise:

Örnek:

ile tanımlı nedensel sistemin birim darbe tepkisini bulunuz.

Çözüm:

Sonuç:

Bazen diferansiyel denklemin yalnız sağ tarafı,

Not:

sonra h(t) ifadesi u(t) yerine u(t-t₀) ile çarpılarak tüm zamanlar için geçerli ifade yazılır.

gibi zamanda ötelenmiş biçimli olabilir.

Bu durumda daha önce anlatılan

başlangıç şartları 0 yerine t₀ anı için yazılır

ve katsayılar bulunduktan

Bu çözümü (t-t₀) ’a göre düzenlemek, hem katsayıların kolay bulunmasını,

hem de çizim ve yorum kolaylığı sağlar.

t > t₀ bölgesi için

diferansiyel denklemi şu başlangıç şartları için çözülür:

Bu kısım N ≥ 2 için uygulanır.

Sonra da bu çözüm u(t-t₀) ile çarpılarak tüm zamanlar için geçerli ifade elde edilir.

Örnek:

​

ile verilen nedensel sistemin birim darbe tepkisini bulunuz.