Transformateurs Monophasés

Leçon 4

électrotechnique

Transformateur monophasé

1

Conventions, notations

2

n₁

n₂

Sens du flux déterminé par le sens de i1

v₁

i₁

φ_c

1 c

i > 0 ⇔ φ > 0

dΦ

1

dt

f.c.e.m. primaire (convention récepteur)

dt

1

1

dΦ

e = +

2 bobinages n₁et n₂ spires (primaire, secondaire)

Sens de i₁ arbitraire et convention récepteur

φ1

2

2 c

Sens de i tel que : i > 0 ⇔ φ < 0

i₂

φ₂

convention générateur au secondaire

v₂

2

2

dΦ dt

donc f.e.m. au secondaire : ^{e = −}

dΦ

₋ 2

dt

circuit magnétique

Expression des flux

3

n₁

n₂

v

1

i₁

dΦ

1

dt

φ1

i

2

φ₂

v₂

dΦ

₋ 2

dt

f 2

c

+ ϕ )= −n ϕ + Φ

f 2 2 c

Φ = n (− ϕ

2 2

Φ₁ = n₁ ϕ₁

Φ₂ = n₂ ϕ₂

φ _f

2

φ_c

^φ f 1

Flux de fuite primaire et secondaire :

f₁

+ ϕ )= n ϕ + Φ

f₁ 1 c

Φ = n (ϕ

1 1 c

1 1 c f 1

Φ = n (ϕ + ϕ )

Φ₂ = n₂ (− ϕ_c + ϕ _f )

2

Φ = n (ϕ + ϕ )= n ϕ + Φ

4

n

2

i

2

φ₂

v₂

dt

dΦ₂

−

φ _f

2

équations générales de fonctionnement

v

1

i₁

n

1

c

dΦ

1

dt

φ1

f 1

φ

φ

φ

c

dt

dt

di

c

dφ

1

1

• n

v₁ = r₁ i₁ + l₁

dt

1 1 1

dΦ

v = r i + ¹

f₁

1 1 c f₁ 1 c

f 2

2 2 c f 2 2 c

Φ = n (− ϕ + ϕ )= −n ϕ + Φ

dt

₋ dΦ₂

v₂ = −r₂ i₂

dt

dt

di

c

dφ

2

2

2

• n

v₂ = −r₂ i₂ − l

équations générales de fonctionnement

5

ℜ φ_c = n₁ i₁ − n₂ i₂

f (v₂ , i₂ )= 0

dt

dt

di

c

dφ

1

1

• n

v₁ = r₁ i₁ + l₁

dt

dt

di

c

dφ

2

2

2

• n

v₂ = −r₂ i₂ − l

Hopkinson

Charge au secondaire

Problème théoriquement résolu mais équation (3) non linéaire

(1)

(2)

(3)

(4)

Transformateur Parfait

6

matériau parfait, R=0

ℜ φ_c = n₁ i₁ − n₂ i₂

dt

dt

di

c

dφ

1

1

1

• n

v = r₁ i₁ + l₁

dt

dt

di

c

dφ

2

2

2

• n

v₂ = −r₂ i₂ − l

(1)

(2)

(3)

résistances nulles fuites nulles

Transformateur Parfait

7

n₁ i₁ − n₂ i₂ = 0

dt

c

dφ

v₁ = n₁

dt

c

dφ

v₂ = n₂

(1)

(2)

(3)

• résistances des bobinages nulles
• fuites inexistantes
• Matériau magnétique idéal

v₁

v₂

représentation symbolique : i₁ ⁱ₂

Transformateur Parfait

8

n₁ i₁ − n₂ i₂ = 0

dt

c

dφ

v₁ = n₁

dt

c

dφ

v₂ = n₂

(1)

(2)

(3)

Machine à flux forcé

1

φ_c = _∫ v₁ dt

Attention : tension alternative !

i₂

v₁

i₁

v₂

n₁

Le flux est forcé par la tension

Transformateur Parfait

9

n₁ i₁ − n₂ i₂ = 0

dt

c

dφ

v₁ = n₁

dt

c

dφ

v₂ = n₂

(1)

(2)

(3)

Rapport de transformation

v n

v₁ n₁

2 ₌ 2 _{= m}

i₂

v₁

i₁

v₂

m

= m

i₂ n₁

i_{1 =} n₂

avec les orientations algébrique choisies au départ

Transformateur Parfait

10

n₁ i₁ − n₂ i₂ = 0

dt

c

dφ

v₁ = n₁

dt

c

dφ

v₂ = n₂

(1)

(2)

(3)

Conservation des puissances

i₂

v₁

i₁

v₂

m

p₁ = v₁ i₁ p₂ = v₂ i₂

1

1 1

1

1

2 2 2

i

= v i = p

⎟

⎞

⎜

⎝ ^m ⎠

⎛

p = v i = (mv )

Transformateur Parfait

Schémas équivalent vu du secondaire

11

v₁

v₂

i₁ ⁱ₂

m

e_g

r_g

v = m e − m² r i

2 g g 2

m e_g − r_g i₁

générateur

v₂ = m v₁ = ( )

m e_g

m² r_g

v₂

i₂

Transformateur Parfait

Schémas équivalent vu du primaire

12

v₁

v₂

i₁ ⁱ₂

m

2

1

m m

v

r 2

r

• r i )

= ¹ (e

v =

récepteur (ou charge)

e_r

r_r

1

_m2

m

r

e ₊ r_r i₁

v =

e_r/m

r_r/m²

Transformateur Parfait

Transfert d’impédances

13

v₁

v₂

i₁

i₂

m

Z

Z m²

Application : adaptation d’impédance

Transformateur Parfait

Transfert d’impédances

14

v₁

v₂

i₁

i₂

m

Z /m²

Z

Transformateur Réel à vide

15

v

1

i₂= 0

v

20

ℜ φ_c = n₁ i₁ − n₂ i₂

dt dt

1

di_{1 + n} dφ_c

v₁ = r₁ i₁ + l₁

dt

dt

di

c

dφ

2

2

2

• n

v₂ = −r₂ i₂ − l

(1)

(2)

(3)

transfo réel

notation : « à vide »

ⁱ10

Transformateur Réel à vide

16

v

1

ⁱ10

i₂= 0

v

20

ℜ φ_c0 = n₁ i₁₀

dt

dt

di

dφ

• _n1 c

_{+ l1} 10

v₁ = r₁ i₁₀

dt

c

dφ

v₂₀ = n₂

(1)

(2)

(3)

transfo réel

notation : « à vide »

on obtient :

Equations BNF

Hypothèses de KAPP

dt

c0

1

1

dφ

v = n

1 10

c0

ℜ φ = n i

bobine fictive équivalente

Transformateur Réel à vide

17

L_µ

v

1

ⁱ10

R_f

dt

c0

dφ

v₁ = n₁

ℜ φ_c0 = n₁ i₁₀

^v20

i₁’= 0

I₂= 0

m

dt

n

dt

n

= m

=

n₁

₌ n₂

c0

1

c0

2

v₁

^v20

dφ

dφ

Transformateur Réel à vide

18

V

20

I₁’= 0

I₂= 0

m

^I10

R_f

V₁

L_µ

I

10a

I

10r

^I10a

^I10r

V₁

courant magnétisant

la tension v₁ est sinusoïdale

φ

c0

à π/2 en arrière

Transformateur Réel en charge

19

10 1

2

1

1

1

n n

c

i = i' +i'

i =

ℜ φ ₊ n₂

on pose :

dt

c

dφ

v'₁ = n₁

dφ

v'₂ = n₂ ^c

avec :

dt

n₁ i'₁ = n₂ i₂

équation du transfo parfait

2

v ’

i₁’

i₂

m

1

v ’

r₂ l₂

v

2

i’₁₀

R_f

​

^i’10a

L_µ

​

^i’10r

i₁

dt

di

2

2

v₂ '−v₂ = r₂ i₂ + l

ℜ φ_c = n₁ i₁ − n₂ i₂

c

dt

di dφ

1

1

dt

• n

v₁ = r₁ i₁ + l₁

(1)

(2)

(3)

dt

dt

di

c

dφ

2

• n₂

v₂ = −r₂ i₂ − l₂

dt

di

1

1

r i + l

v − v ' =

1 1 1 1

r₁ l₁

v

1

Transformateur Réel en charge

20

Diagramme de FRESNEL

V

2

R_f L_µ

​

^{I’10a I’}10r

^I₁ I’₁₀

^r₁ ^l₁ r₂ l₂

V

1

2

V ’

^I₁^’ I₂

m

1

V ’

V

2

V’₂

jl₂ωI₂

r₂ I₂

V₁’

I₁’

I

2

^I10

I₁

r I

1 1

jl₁ωI₁

V₁

φ

remarque : V’₂=V₂₀

Transformateur Réel en charge

21

Diagramme de FRESNEL

V

2

R_f L_µ

​

^{I’10a I’}10r

^I₁ I’₁₀

^r₁ ^l₁ r₂ l₂

V

1

V

20

^I₁^’ I₂

m

1

V ’

Chute de tension primaire faible

flux à vide φ_c0

≈ ^{flux en charge φ}_c

I’₁₀ en charge

_≈ I₁₀ à vide

les pertes fer à vide et en charge sont identiques

Schéma équivalent

22

Approximation de KAPP

1

2 2

1

10 1

_r 2

I

<< V

• l ω

V

20

m

^I₁^’ I₂

V₁’

r₂ l₂

V

2

L_µ

^I’10r

^I₁ I’₁₀

R_f ^I’10a

V

1

r₁ l₁

Modèle sans approximation

tranfo parfait

résistance et inductance de fuite secondaire

inductance magnétisante

résistance et inductance de fuite primaire

V

20

^I₁^’ I

2

m

r₂ l₂

V

2

R_f

​

^I’10a

1

1

Modèle avec approximation

^LµV₁’

^I’10r

V _V

1

^Ir1 ^Il’1₁₀ ^I₁ ^r1 I’^l1

10

​

^L_µR_f

​

^I’₁^I₀^’_r10a

Schéma équivalent

23

Modèle ramené au secondaire

V

20

I₂

m

I₁’

V₁’

V

2

R_f

​

^I’10a

^I’10r

^I₁ I’₁₀

V

1

r₁ l₁

​

L_µ

X m

r₂ l₂

2

m²r₁

m²l₁

V

2

avec

2

2

2 1

1

2

2

2

2

λ ω = l ω + m l ω

ρ = r + m r

X =

^V20

I₁’

I₂

m

1

V ’

ρ₂ X₂

V₂

L_µ

R_f

​

^I’10a

^I’10r

^I₁ I’₁₀

V₁

ρ₂

X

2

V₂

V

20

I

2

schéma pour l’utilisateur

Diagramme de FRESNEL vu du secondaire

24

V

2

ρ I

2 2

jX₂I₂

^V20

I₂

ϕ

2

ρ₂

X₂

V₂

^V20

I

2

ρ₂I₂

jX₂I₂

Triangle de KAPP

Cercle (O,V₂₀)

ϕ₂

O

^V20

V₂

Transformateur vu du primaire

25

X 1/m

Point de vue du fournisseur d’énergie

2

avec

2

2

2

1

2

2 1

2

2

ρ = r + m r

X = λ ω = l ω + m l ω

V

20

m

^I₁^’ I₂

V₁’

ρ X

2 2

V

2

L_µ

R_f

​

^I’10a

^I’10r

^I I’

¹ 10

V

1

Schéma pour la source d’énergie

ρ X

1 1

V

2

I₂

m

I₁’

V₁’

^I’10r

^I₁ I’₁₀

R_f ^I’10a

V

1

ρ₁ X₁

L_µ

Diagramme de FRESNEL vu du primaire

26

V

2

ϕ₂

V

2

I₂

m

I₁’

V₁’

R_f

​

^I’10a

^I’10r

^I₁ I’₁₀

V

1

ρ₁ X₁

L_µ

V’

1

I’

1

ρ I’

1 1

V₁

jX₁I’₁

I’₁₀

^ϕ10

I₂

I₁

ϕ₁

Etude de la chute de tension

27

ΔV₂ = V₂₀ − V₂

ρ₂

X₂

V

2

^V20

I₂

ρ I

2 2

jX₂I₂

Triangle de KAPP

ϕ₂

O

V₂

​

^V20

θ

Attention, différent de :

ΔV ₂ = V ₂₀ −V ₂

ΔV₂ = V₂₀ −V₂ ≈ ρ₂ I₂ cosϕ₂ + X ₂ I₂ sin ϕ₂

En projetant sur la direction de V₂

ΔV₂ = V₂₀ cosθ − V₂ = ρ₂I₂ cosϕ₂ + X₂I₂ sinϕ₂

Etude de la chute de tension

28

ΔV₂ ≈ ρ₂ I₂ cosϕ₂ + X ₂ I₂ sin ϕ₂

ρ₂

jX₂

z₂

ψ

• sinψ sin ϕ₂ ]

ΔV₂ = z₂ I ₂ [cosψ cosϕ₂

= z₂ I₂ cos(ϕ₂ −ψ )

d (ΔV₂ )

dϕ₂

ΔV₂

ϕ₂

ψ

0

ψ − π /2

π /2

π /2

+

+

+

-

0

-

+

ax

₊ m

+

0

Etude de la chute de tension

29

ϕ₂ <ψ − π / 2

ϕ₂ = 0

ϕ₂ = ψ

^V20

V₂

I₂

ΔV₂ ≈ ρ₂ I₂ cosϕ₂ + X ₂ I₂ sin ϕ₂

Remarque : la chute de tension est faible, qq% à 15%

ϕ₂ =ψ − π / 2

Calcul de la chute de tension

30

V₂₀ cosα = ρ₂I₂ + V₂ cosϕ₂

V₂₀ sinα = X₂I₂ + V₂ sinϕ

2

V

20

2

= ρ

2 2

I + V cosϕ

2 2

(

2

2 2

• X I + V sinϕ

2 2

) (

)

2

2

2 2 2 2 2 2 2

2 2

2 2

2

2

cosϕ + X sinϕ )

+ X )I +V + 2V I (ρ

= (ρ

ρ₂I₂

jX₂I₂

Triangle de KAPP

ϕ₂

O

^V20

sans approximation

V₂

Équation d’une ellipse

Calcul de la chute de tension

31

)

2

2 2

2

2 2

2

2

2

2

2

2

2

2

20

• X sin

• 2 V I (ρ cos ϕ ϕ

• V

• X

V = (ρ ) I

V₂

I₂

^V20

sans approximation

^I2CC

Courant destructif

​

^I2cc ^{>> I}2 N

^I2N

2

2 2

mV

^I2cc ^{= 1}

ρ + X ²

Pertes et rendement

32

^Pabs

^Putile

r₁I₁

2

r₂I₂

2

^Pfer

fer

• p

2

2 2 2 2 2

V I cosϕ + ρ I

η =

1

2m

I =

^Pfer

ρ

2

2

^pcuivre

^Putile

V₂ I₂ cosϕ₂

I₂

^ηmax

^I2 N

Grandeurs caractéristiques

33

Puissance apparente nominale

Tension primaire nominale

Tension secondaire en pleine charge

ou chute nominale relative

Puissance apparente absorbée à vide

S_N

^{= V}20 ^I2 N

^V1N

V

2 N

^I2N

cosϕ₂

en % de V₂₀

en % de S_N

ordre de grandeur

qq %

10 %

Signification des grandeurs nominales

34

Tension primaire nominale

Puissance apparente nominale

S_N

^{= V}20 ^I2 N

^V1N

En lien direct avec le volume du transformateur

U = 4,44 n f S B_M = 4,44 n f ϕ_M

V est proportionnel à B_max dans le matériau du transformateur V_1N correspond à B_max voisin de 1,5 Teslas

Si V₁ >> V_1N le courant magnétisant augmente et devient destructif

Si V₁ < V_1N , il existe un transfo plus petit de même S_N (nS_fer plus petit)

courants nominaux

^I1N

et I_{2 N}

Au delà de ces valeurs, l’échauffement du cuivre est trop important Vrai uniquement en régime permanent

Technologies de construction

35

Circuit cuirassé

Circuit à 2 colonnes

Technologies de construction

36

Circuit cuirassé

Circuit magnétique constitué d’un empilage de tôles en I et E :

Technologies de construction

dimension des tôles

37

tôles au silicium en I et E isolées par traitement de surface

a

a

a

a a

a

2a

3a

4a

pour des raisons d’économie :

6a

On mesure les dimensions externes, on déduit la section du circuit magnétique

38

même si elle est cachée !

Technologies de construction

39

2a

pour minimiser le cuivre,

le noyau central est carré (ou presque) :

2a

ou mieux, en gradin :

Technologies de construction

Enroulements concentriques

40

cale isolante

refroidissement par air

Technologies de construction

41

Enroulements en galettes

pour les problèmes d’isolation

en haute tension

tension par spire = U_S = 4,44 f S B_M

x spires par couche

tension 2 x U_S entre ces 2 spires

tension entre 2 spires voisines moindre

Exemples de réalisation

42

Noyau ferrite

Noyau torique

Exemples de réalisation

43

Transfo core faible fuites faible volume

Tôles classique

tige d’acier isolée

tôles en E et en I bobinage en cuivre

Exemples de réalisation (en triphasé)

44

Exemples de réalisation (en triphasé)

45

Exemples de réalisation (en triphasé)

46

Exemples de réalisation (en triphasé)

47

Exemples de réalisation (en triphasé)

48

Exemples de réalisation (en triphasé)

49

Exemples de réalisation (en triphasé)

50

Application : transformateur d’isolement

51

n₁

n₁

v₁

i₁

φ_c

i₂

v₂

neutre

terre

(du poste de transformation)

C’est un transformateur de rapport unité phase

A

B

Il est possible de placer une masse d’oscillo (reliée à la terre)

soit sur le point A, soit sur le point B

le secondaire du transformateur est isolé du primaire

Remarque : le neutre et la terre seront définis plus précisément plus tard

secteur EDF

Construction d’un transformateur

52

Si l’on néglige le courant magnétisant : I₂ = n₁/ n₂ I₁

​

Donc la section du cuivre au secondaire est : s_2cu = n₁/ n₂ s_1cu

​

En considérant la longueur l d’une spire moyenne identique au

secondaire et au primaire :

^V2cu ^{= n}2 ^s2cu ^{l = n}1 ^s1cu ^{l = V}1cu

Les volumes de cuivre primaire et secondaire sont identiques

Construction d’un transformateur

On souhaite construire un transformateur de rapport de transformation m donné et de puissance apparente S_N donnée

I_1N = S_N/V_1N , on détermine la section s_1cu du cuivre au primaire avec (densité de courant δ =5 A/mm²⁾

On choisit des tôles en I et E « au hasard » dans un catalogue

53

^V1N

= 4,44 n₁

50 Hz

f S B_M ^{on détermine} n₁

4 a²

1,5 T

Surface totale du cuivre au primaire

^s1cu ⁿ1

si surface totale cuivre primaire > surface fenêtre/2

3a²

Il faut choisir un circuit magnétique plus grand, etc…

(ou bien augmenter la surface du fer par une section rectangulaire …)

Construction d’un transformateur

54

On souhaite construire un transformateur de rapport de transformation m donné et de puissance apparente S_N donnée

Choix du circuit magnétique

surface fenêtre/2 > surface totale cuivre primaire

6 4,44 f B_M δ

S_N

a ⁴ > ¹

Remarques :

• la section du noyau central n’est pas nécessairement carrée
• le volume du tranfo croît avec S_N et décroît avec la fréquence

M

- choix de B au coude de saturation

M

3 a ² U

1N

N

S

2 4,44 f (4a ² ) B

δ U

^{> n}1 ^s1cu ^{= 1N}

Détermination des caractéristiques d’un transformateur inconnu

55

Détermination des caractéristiques d’un transformateur inconnu

56

I_N

1°) si l’on connaît les dimensions du fer et le nombre de spires

on détermine U_N du transfo

on détermine U_N pour cet enroulement (coude de saturation) etc…

I

2°) sinon :

on trace I fonction de U pour un enroulement

U

correspond

à 1,5 T

U_N

On mesure la section du (des) fils de cuivre _{≈ 5A / mm}²

≈ 1,5 T

Essais standards du transfo

Essai à vide sous tension nominale

57

^pcuivre

du même ordre de grandeur que

^pfer

pour I_N

(rendement maximal)

on mesure :

^V20

I₁₀ et P₁₀

V

20

m

I₁’

V₁’

r₂ l₂

V

2

R_f

​

^I’10a

L_µ

​

^I’10r

^I₁ I’₁₀

V

1N

r₁ l₁

modèle sans approximation

^I₂ =0

=V

20

Kapp :

1N

10

2

2

1

1

(r ² + l ω ) I

1N

1

V ' V

_≈ ^V20

^{<< V} donc : ^{m = V20}

mesure par défaut

V

^Q10

_{Lμω =} 1N ₌ 1N

2 _V 2

V

2_I

1N 10

10

² − P ²

V

2

​

R_f

_{≈ p fer =} 1N

2

P

V

R

f

₌ 1N

10

de même L_μ >> l₁

2

1 10

10

fer

P = p + r I

Essais standards du transfo

58

Essai en court-circuit

^V20

I₁’

I₂

m

1

V ’

V₂

I’₁₀

R_f L_µ

​

^{I’10a I’}10r

I₁

^V1N

=0

I

2CC

modèle sans approximation

Tension réduite

^V1CC^<<V1N

^V1CC

^r₁ ^l₁ r₂ l₂

pour une mesure précise, on choisit I_2CC=I_2N (ou plus en transitoire), alors I₁=I_1CC

m

2CC

2

2

2

1 2

V ' = ¹ (r ²

• l ω ) I

1CC

<< V_1N ^{I '}₁₀ ^{<< I}

on mesure :

^I1CC ^{et I}2CC

donc :

^I2CC

I₂

_{m =} ^{I '}1 _≈ ^I1CC

mesure par excès

donc p_fer négligeable car V’₁ << V_1N

^V1CC ^{et P}1CC

2

2

2 2CC

fer

1 1CC

1CC

• p + r I

P = r I

2

2 2CC

cu

1CC

P ≈ p = ρ I

p

cuivre

du même ordre de

grandeur que p_fer pour I_N

et V_1N (rendement maximal)

Essais standards du transfo

59

Essai en court-circuit

modèle avec approximation

Tension réduite

V <<V

1CC 1N

m V

1CC

^I₁^’ I₂

m

2

ρ λ

2

V

2

^I10

R_f

L_µ

I

1CC

=0

I

2CC

V

1CC

on mesure :

^I1CC ^{et I}2CC

donc :

^I2CC

I₂

_{m =} ^{I '}1 _≈ ^I1CC

mesure par excès

^V1CC ^{et P}1CC

2

2

2 2CC

fer

1 1CC

1CC

• p + r I

P = r I

2

2 2CC

cu

1CC

P ≈ p = ρ I

Détermination de λ par la loi

2

d’Ohm au secondaire :

2

2

− ρ

2cc

1cc

_I 2

_m2_V 2

X ₂ = λ₂ω =

Remarque, ne pas écrire : puissance réactive au primaire Q_1CC absorbée par λ₂

Méthode d’opposition

Montage

60

REMARQUES :

Autre solution : utilisation de 2 transformateurs identiques

(l’énergie à fournir ne représente alors que les pertes des 2 transfos)

Les 2 essais classiques (à vide et en court circuit) ne permettent pas de placer le transfo dans le même état que dans un fonctionnement en charge :

• saturation donc fuites faibles dans l’essai en court circuit
• température de fonctionnement à pleine charge

​

Une solution consiste à réaliser un essai direct à pleine charge

(impossible pour les très fortes puissances)

Méthode d’opposition

61

Montage

​

Utilisation de 2 transformateurs identiques

T₁

T₂

V₁

réseau

^V22

^V21

A₁ W₁

^I11

I

12

I₂

A₂

W₁

ΔV₂

ΔV₂ permet de faire circuler un courant au secondaire, donc de mettre les transformateurs identiques en charge

si I₂ = 0 , W₁ mesure 2 fois les pertes fer et A₁ mesure 2 fois le courant à vide des 2 transformateurs identiques

I₁

Méthode d’opposition

Schéma équivalent

62

^V20

I₁₁’

I₂

ρ₂

X₂

V

21

^I10

R

L

^I11

V

1

m

^V20

^I12

ρ₂

X₂

^V22

R

V₁

m

I₁₂’

^I10

L

ΔV₂

I₁

2

2

2

2

2

ω ) I

et W₂ = 2 ρ₂ I₂

ΔV = 2 (r ² + λ

2 2

2 I ₁₀

= (I ₁₀ − mI ₂ ) + (I ₁₀ + mI ₂ ) =

et I ₁ = I ₁₁ + I ₁₂