Метод вспомогательной окружности

​

​

Составитель: Галимзянова Ю. Ш.

Вспомогательная окружность - одно из наиболее эстетичных дополнительных построений. Скорее всего, это связано с тем, что "увидеть" окружность там, где ее нет, уже само по себе нетривиально.

Если при размышлении над задачей удается заметить, что какие-то четыре точки лежат на одной окружности, то дальнейшие рассуждения сводятся к известным свойствам углов, связанным с окружностью. Этот метод обычно называют

методом вспомогательной окружности.

​

Суть метода хорошо иллюстрирует следующая задача

Через некоторую точку плоскости проведены три прямые так, что угол между любыми двумя из них равен 60 ̊. Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из любой точки плоскости на эти прямые, служат вершинами равностороннего треугольника.

Отметим наиболее известные условия, при которых четыре точки лежат на одной окружности

1. Можно указать точку, равноудаленную от рассматриваемых точек А, В, С и D.
2. Из точек А и В отрезок СD виден под прямым углом.

​

​

Отметим наиболее известные условия, при которых четыре точки лежат на одной окружности

3) Из точек А и В, лежащих по одну сторону от прямой СD отрезок CD виден под одним и тем же углом.

4) Точки А и В лежат по разные стороны от прямой CD, и при этом сумма углов CAD и CBD равна 180 .̊

​

​

Отметим наиболее известные условия, при которых четыре точки лежат на одной окружности

5) Точки А и В лежат по одной стороне неразвернутого угла с вершиной О, точки С и D – на другой, и при этом OA·OB = OC·OD.

​

​

Отметим наиболее известные условия, при которых четыре точки лежат на одной окружности

6) Отрезки AB и CD пересекаются в точке O, и при этом OA·OB= OC·OD

Условие, при котором три точки лежат на окружности с центром в четвертой точке

Если точки O и C находятся в одной ( в разных) полуплоскостях относительно прямой AB, причем

OA = OB и ے AOB = 2ےACB (ےAOB = 2(180 ̊ - ےACB)),

то точки A, B и C лежат на окружности с центром в точке O.

Возможности задач на готовых чертежах

Чертеж ( на выполнение которого расходуется не мало времени) и данные из условия задачи должны находиться перед глазами ребят в процессе решения задачи. Поэтому упражнения на готовых чертежах:

• позволяют наращивать темп урока;
• способствуют эффективному непроизвольному запоминанию теоретических фактов;
• активизируют мыслительную деятельность школьников, обучают умению грамотно рассуждать;
• готовят к самостоятельному решению таких задач, для которых эти упражнения являются элементами

Четыре точки на одной окружности.

​

Доказать: точки A, B, C и D лежат на одной окружности.

Четыре точки на одной окружности.

​

Доказать: точки A, B, C и D лежат на одной окружности.

Четыре точки на одной окружности.

​

Доказать: точки A, B, C и D лежат на одной окружности.

Четыре точки на одной окружности.

​

Доказать: точки A, B, C и D лежат на одной окружности.

Три точки на окружности с центром в четвертой точке.

Доказать: точки A, B, и C лежат на окружности с центром в точке О

Метод вспомогательной окружности.

Метод вспомогательной окружности.

Метод вспомогательной окружности.

Метод вспомогательной окружности.