Παραμετρικές Εξισώσεις 1^ου βαθμού

Επιμέλεια, Ιορδάνη Χ. Κοσόγλου

Msc,μαθηματικού ΓΕΛ

https://blogs.sch.gr/iordaniskos

Αριδαία, 2/12/20

​

Γιατί δημιουργήθηκε αυτό το αρχείο !

Αυτό το αρχείο είναι να προσπάθεια, να κατανοήσουν

οι μαθητές μου την έννοια της παραμετρικής εξίσωσης

1^ου βαθμού.

Τι λένε οι οδηγίες του ΙΕΠ ;

Οι μαθητές, συναντούν δυσκολίες στη μετάβαση

από την επίλυση μιας τέτοιας μορφής εξίσωσης

στην επίλυση της γενικής μορφής αx +β = 0 , για

δυο κυρίως λόγους:

• α) είναι δύσκολος ο διαχωρισμός της έννοιας της παραμέτρου από την έννοια της μεταβλητής και
• β) δεν είναι εξοικειωμένοι με τη διαδικασία της διερεύνησης γενικά.

Εξίσωση 1^ου Βαθμού

Ποια ονομάζεται εξίσωση 1^ου ή α΄ βαθμού ή πρωτοβάθμια;

​

Όλες οι παραπάνω είναι εξισώσεις ( δυο μέλη ίσα) 1^ου βαθμού , (ο άγνωστος x

είναι υψωμένος στην 1^η δύναμη). Ονομάζεται επίσης και μεταβλητή ( x ) .

Διαδικασία Επίλυσης Πρωτοβάθμιας

• Κάνουμε πράξεις και στα δυο μέλη . Διώχνουμε τα κλάσματα υπολογίζοντας το ΕΚΠ και πολλαπλασιάζοντας δεξί και αριστερό μέλος με αυτό. Κατόπιν εφαρμόζουμε την Επιμεριστική ιδιότητα και συνεχίζουμε τις πράξεις μέχρι ……
• Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους. Για π.χ οι 3x , -x , 2x άγνωστοι.(συνήθως αριστερά οι άγνωστοι- δεξιά οι γνωστοί)
• Διαιρούμε με τον συντελεστή του αγνώστου και τα δυο μέλη και βρίσκουμε την άγνωστη μεταβλητή x ή αλλιώς λύση της εξίσωσης ή ρίζα της.

​

​

Ένα Λυμένο Παράδειγμα

2(3x-1)-3(2x-1)=4 ή

6x – 2 – 6x + 3 = 4 ή

0x + 1 = 4 ή

0x = 3 ή

0 = 3

H εξίσωση είναι αδύνατη !

Δεν έχει δηλαδή ΚΑΜΙΑ λύση , κανένας πραγματικός αριθμός δεν είναι λύση της.

​

Και άλλο ένα Λυμένο Παράδειγμα

Η εξίσωση είναι ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ, όλοι οι πραγματικοί είναι λύση της

Για εξάσκηση, για πάμε !

Η γενική Μορφή !

• ΟΛΕΣ οι πρωτοβάθμιες «καταλήγουν» στη μορφή : αx + β = 0 ή αx = -β
• π. χ αυτή που είδαμε πριν: 2∙(3x-1)-3∙(2x-1)=4,

Μετά από πράξεις έγινε: 0x - 3 = 0

• α=0 , β = -3
• Επίσης η 4∙x − 3∙(2x −1) = 7x − 42 μετά από πράξεις έγινε: -9x+45 = 0
• α = -9 , β = 45
• Κατόπιν διαιρούμε με τον συντελεστή του αγνώστου και βρίσκουμε την λύση ή ρίζα της .

​

​

​

​

​

​

​

​

​

Παραμετρική 1^ου βαθμού !

• Η εξίσωση λx +3 = λ , εκτός από την μεταβλητή x έχει και την παράμετρο λ (δηλαδή μεταβλητή«2^ης κατηγορίας»)
• Για λ = 1 γίνεται : x + 3 = 1 ή x = 1-3 ή x = -2
• Για λ =-1 γίνεται : -x + 3 =-1 ή -x = -4 ή x = +4
• Για λ = 2 γίνεται : 2x + 3 =2 ή 2x = -1 ή x = -0.5
• Για λ = 0 γίνεται : 0x + 3 = 0 ή 0 = -3 ΑΔΥΝΑΤΗ
• Για λ = 0.5 γίνεται : 0.5x + 3 = 0.5 …………….

Για κάθε λ προκύπτει μια καινούργια εξίσωση, πώς μπορούμε να λύσουμε την λx +3 = λ για κάθε τιμή του πραγματικού λ ;

Επίλυση Παραμετρικής για κάθε λ

• Την φέρνουμε στη μορφή αx = β (όλες έρχονται εδώ , το είπαμε !)
• Παίρνουμε περιπτώσεις για το α (αφού το τελευταίο βήμα είναι η διαίρεση με τον συντελεστή του αγνώστου!)
• Αν α = 0 , τότε βρίσκουμε το λ και το αντικαθιστούμε στην εξίσωση. Τέλος την λύνουμε.
• Αν α ≠ 0 , τότε διαιρούμε με τον αριθμό α και γράφουμε τη λύση ως συνάρτηση του λ (εξαρτάται δηλαδή απ το λ).
• Για να δούμε τι καταλάβατε !

Επίλυση Παραμετρικής για κάθε λ

λx +3 = λ ή

λx = λ-3

• Αν λ = 0 , τότε η εξίσωση γίνεται

0x = -3 ή

0= -3 άρα ΑΔΥΝΑΤΗ

• Αν λ ≠ 0 , τότε η εξίσωση έχει λύση :

​

Επαλήθευση !

• Πριν είπαμε για λ = 1, η εξίσωση λx +3 = λ έχει λύση την x = -2
• και για λ = -1 , την λύση x = +4 (check it please !)

​

• Για δες την γενική λύση, τώρα, για λ ≠ 0

​

Για λ = 1 , πόσο βγαίνει το x ; Μήπως - 2

Για λ = -1 , πόσο βγαίνει το x ; Μήπως 4. Τι έχεις να πεις ;

​

​

Μια πρώτη προσπάθεια και για σένα !

Να λυθεί η παραμετρική πρωτοβάθμια εξίσωση

​

​

(λ-1)∙x - 3 = λ-2

για κάθε πραγματικό λ

​

Καλή επιτυχία !

Παραμετρικές Εξισώσεις του Σχολικού βιβλίου

Άλλες δυο ασκήσεις !

Καλή συνέχεια σε όλους σας !��Τις ασκήσεις που δεν είναι στο σχολικό αν θέλετε λύστε τες και στείλτε μου τις λύσεις σας.

Απορίες στο μειλ

iordaniskos@sch.gr

​