Проект-презентація

з теми: «Трикутники»

7 клас

​

Спільна робота учнів

та вчителя математики

Шенгери Світлани Михайлівни

Лозинської ЗОШ І - ІІ ст.

● Виховувати в учнів інтерес до

вивчення геометрії;

● Ознайомити учнів з історією

виникнення трикутників і їх

застосуванням у повсякденному

житті;

● Формувати у дітей вміння працювати

з додатковою літературою.

Теоретичні відомості

про трикутник

Застосування

теорії на практиці

Історики

Практики

Теоретики

Історія виникнення

трикутників та їх

застосування

Наша група – ІСТОРИКИ!!!

Історію трикутників будемо вивчати,

І вас запрошуємо працювати.

У стародавній Греції вчення про трикутники розвивалося в іонійській школі, в школі Піфагора та інших. Воно було потім повністю викладено у першій книзі «Начал» Евкліда.

Серед «визначень», якими починається ця книга є і такі: «З тристоронніх фігур рівносторонній трикутник є фігура, яка має три рівні боки, рівнобедрений ж – має тільки дві рівні сторони, різнобічний – має

три нерівні сторони».

Трикутник – це символ тріади,

символ святої Трійці, вогню,

прагнення до вдосконалення.

Він міг символізувати воду,

дощову хмару, богиню неба.

Його символіка відповідає

символіці числа 3.

Інколи зображення трикутника

супроводжувалося наявністю крапок

усередині чи на його сторонах.

Вони символізували посіяне в землю

насіння, яке потребувало вологи.

Досить часто на малюнку крапка,

що означала насіння, бралася в круг.

Вона символізувала нерозривний

зв’язок неба і землі, плоду і води.

НЕЗВАЖАЮЧИ НА ТЕ, ЩО ГОВОРЯТЬ

НІБИ МАТЕМАТИКА СУХА НАУКА,

ГЕОМЕТРИЧНІ ФІГУРИ МИ МОЖЕМО

СПОСТЕРІГАТИ СКРІЗЬ. МИНАЮТЬ

СТОЛІТТЯ, АЛЕ РОЛЬ ГЕОМЕТРІЇ В

АРХІТЕКТУРІ НЕ ЗМЕНШИЛАСЯ.

ВОНА ЯК І РАНІШЕ ЗАЛИШАЄТЬСЯ

ЇЇ «ГРАМАТИКОЮ».

Прегляньмо декілька знімків, на яких

можемо побачити зображення трикутика в архітектурних спорудах

Трикутник також є поширеним символом на писанках.

У ньому втілена ідея триєдності Всесвіту:

неба, землі і води.

Цей знак також символізує батька, матір та дитину.

Це – символ божественної Трійці.

Рівнобічний трикутник символізує звершеність.

Трикутник, обернений вершиною вгору, є

сонячним і має символіку життя, вогню, полум’я,

чоловічої основи духовності.

Трикутник, обернений вершиною вниз,

є символом пов’язаним з місяцем, жіночою основою, водою, символізує Велику Матір.

Трикутник на вишиванках символізує божество Трійці.

МИ, група – ТЕОРЕТИКИ!!!

Теорію трикутників будемо вивчати,

Щоб легко було задачі про них розв’язати.

Три точки невеличкі

Відрізками сполучимо,

А те, що утворилося,

Всі разом ми озвучимо

Це не круг, не прямокутник,

А фігура ця – …

​

​

​

​

​

​

​

●

​

​

​

​

​

​

●

​

​

​

​

​

●

​

​

​

​

​

А

​

​

​

​

В

​

​

​

С

●

●

●

А

В

С

Звичайно! ТРИКУТНИК (

АВС) –

замкнута ламана із трьох ланок.

АВ, ВС, АС – сторони трикутника.

А, В, С – вершини

ВАС,

АВС,

АСВ – його кути

або позначають так

А,

В,

С.

С.

Периметр трикутника (РΔ) –

сума всіх сторін.

●

А

В

С

a

Р = АВ + АС + ВС або

Р = a + b + c.

●

●

В

b

c

Медіана – відрізок, що сполучає вершину

трикутника із серединою його протилежної

сторони.

●

●

А

В

С

D

АD – медіана

ВD = DС

●

●

В

С

●

●

Бісектриса трикутника – відрізок

бісектриси кута трикутника від його

вершини до протилежної сторони.

●

●

В

С

D

●

А

●

АD – бісектриса

ВАD =

DАС

АН

ВС

Висота – перпендикуляр опущений з

вершини трикутника на пряму, на якій

лежить його протилежна сторона.

​

АН – висота

●

●

●

А

В

С

Н

●

В

В

В

А

А

А

С

С

С

РІЗНОСТОРОННІЙ

ТРИКУТНИК

РІВНОБЕДРЕНИЙ

ТРИКУТНИК

РІВНОСТОРОННІЙ

ТРИКУТНИК

С

С

С

А

А

В

В

В

ГОСТРОКУТНИЙ

ТРИКУТНИК

ТУПОКУТНИЙ ТРИКУТНИК

ПРЯМОКУТНИЙ

ТРИКУТНИК

С

А

В

ГОСТРОКУТНИЙ

ТРИКУТНИК

2

1

1

2

А

В

С

Р

К

КР ║ АВ

А

+

В

+

С

= 180º, бо

АСК

=

САВ

РСВ

=

СВА

при КР ║ АВ і січних СА; СВ

А

В

+

Сума кутів трикутника дорівнює 180°

Зовнішнім кутом трикутника називають кут,

утворений стороною і продовженням іншої

сторони

В

А

С

К

АСК

–

зовнішній при вершині С

АСК

АСК

= 180º -

С

(як суміжні)

В

+

А

=

(сумі двох внутрішніх, не суміжних з ним)

РІВНІСТЬ ГЕОМЕТРИЧНИХ ФІГУР

Два трикутники рівні, якщо їх можна

сумістити рухом при накладанні один

на одного

С

А

В

С1

А1

В1

=

Рівність сторін:

АВ = А1В1,

АС = А1С1,

ВС =В1С1.

Рівність кутів:

В

С

А

А1

=

С1

В1

=

=

ОЗНАКИ РІВНОСТІ ТРИКУТНИКІВ

А

В

С

ΔАВС – рівнобедрений

АВ, АС – бічні сторони

ВС – основа

АВ = АС,

ﮮВ = ﮮС

ТЕОРЕМА 1

Якщо у трикутнику два кути рівні, то він рівнобедрений.

ТЕОРЕМА 2

У рівнобедреного трикутника кути при основі рівні,

а висота, проведена до основи, є медіана і бісектриса.

У трикутнику проти рівних сторін лежать рівні кути,

а проти рівних кутів – рівні сторони.

ТЕОРЕМА 1

У будь-якому трикутнику проти більшої сторони лежить

більший кут, а проти більшого кута – більша сторона.

ТЕОРЕМА 2

Кожна сторона трикутника менша від суми двох інших

його сторін.

С

А

В

НЕРІВНОСТІ ТРИКУТНИКА:

АВ < АС + ВС;

АС < АВ + ВС;

ВС < АВ + АС.

Прямокутний трикутник – це трикутник, у якого один з кутів прямий.

КАТЕТ

КАТЕТ

ГІПОТЕНУЗА

А

В

С

ﮮС = 90º - прямий

ﮮА + ﮮВ = 90º

АВ > АС ;

АВ > ВС

АС

ВС

А

Н

М

АН

НМ

ﮮН = 90º

Гіпотенуза АМ – похила, проведена з

вершини А до прямої НМ, а

катет НМ – проекція даної похилої до

прямої НМ.

АН – відстань від точки до прямої.

А

Н

М

1. У будь-якому прямокутному трикутнику

гіпотенуза більша за кожний катет.

АМ > АН, АМ > МН.

3. Проекція похилої завжди менша від

похилої. НМ < АМ.

2. Перпендикуляр, проведений з будь-якої

точки до прямої, коротший від будь-якої

похилої, проведеної з цієї самої точки до

тієї ж прямої. АН < АМ.

пр.

АМ

НМ

Два прямокутні трикутники рівні, якщо:

► катети одного з них дорівнюють відповідно катетам

другого (за двома катетами);

► катет і прилеглий гострий кут одного трикутника

дорівнюють відповідно катету і прилеглому гострому

куту другого (за катетом і прилеглим гострим кутом);

► гіпотенуза і прилеглий кут одного трикутника

дорівнюють відповідно гіпотенузі і прилеглому куту

другого (за гіпотенузою і прилеглим гострим кутом);

► катет і гіпотенуза одного прямокутного трикутника

дорівнюють відповідно катету і гіпотенузі другого

(за катетом і гіпотенузою) .

Катет прямокутного трикутника, який лежить

проти кута 30º, дорівнює половині гіпотенузи.

Доведення:

М

С

В

А

30º

У ΔАВС ﮮС = 90°, ﮮА = 30°.

Доведемо, що ВС = ½АВ.

Проведемо пряму ВС і

відкладемо СМ = СВ.

Сполучимо М з А.

ΔАВМ – рівносторонній, бо

ﮮВАМ = 60°, ﮮВ = 60º, то ﮮМ = 60º.

Оскільки ВМ = АВ і ВС = СМ,

то ВС = ½АВ.

Квадрат гіпотенузи дорівнює сумі

квадратів його катетів

А

В

C

с

а

b

МИ, наша група – ПРАКТИКИ!!!

МИ вмілі математики,

У нас задачі просто клас, МИ запрошуємо розв’язувати їх вас!!!

Якщо запастися терпінням і виявити старання, то посіяні насіння знання неодмінно дадуть добрі сходи.

Навчання корінь гіркий, так плід солодкий.

Леонардо да Вінчі

Задача 1

Накреслити гострокутній трикутник, вказати його

елементи і провести ,бісектрису, медіану і висоту.

Задача 3

Периметр трикутника дорівнює 35 см. Знайти довжини

його сторін, якщо одна з них довша за другу на 3 см

і коротша за третю на 5 см.

Задача 2

Сторони трикутника 3,8 см, 4,5 см, 7,5 см. Знайти

його периметр.

1.

А

В

С

Н

М

К

АВС – гострокутний трикутник;

АВ, ВС, АС – сторони трикутника;

А, В, С – вершини;

​

ВК – бісектриса;

ВМ – медіана;

ВН – висота.

А,

В,

С

– кути ΔАВС;

2.

15,8 см.

3.

11 см, 8 см, 16 см.

х + 5

х

х – 3

ВІДПОВІДІ ДО ТРЕНУВАЛЬНИХ ВПРАВ:

Задача 1

Сума двох кутів трикутника дорівнює 80º. Знайдіть третій кут.

Задача 2

Чи існує трикутник з кутами 60º, 70º, 80º?

Задача 3

Два кути трикутника 20º і 80º. Знайдіть третій кут.

Задача 4

Знайти зовнішні кути трикутника, якщо

А = 40º,

В = 50º.

Задача 5

Знайти кути трикутника, якщо вони пропорційні числам 2, 3 і 5.

ВІДПОВІДІ:

1. 100º.

2. Ні.

3. 80º.

4. 90º, 130º, 140º.

5. 36º, 54º, 90º.

• На малюнку 1: АВ = АD, ∠1 = ∠2

Довести, що ΔАВС = ΔАDС

А

В

C

D

мал. 1

2. На малюнку 2:∠1 = ∠2, ∠3 =∠4.

Знайти сторону АD, якщо АС = 10 см.

1

2

3

4

А

В

C

D

мал. 2

1

2

ВІДПОВІДІ

1. Доведення:

АВ = АD, ∠1 = ∠2 – за умовою задачі.

АС – спільна, то за І ознакою рівності трикутників

ΔАВС = ΔАDС.

2. Розв’язання:

∠1 = ∠2, ∠3 =∠4 – за умовою задачі;

АВ – спільна сторона, то за

ІІ ознакою рівності трикутників

ΔАВD = ΔАСВ, то АD = АС = 10 см.

Відповідь: 10 см.

Задача 1

Дві сторони рівнобедреного трикутника мають довжини

2 см і 6 см. Знайдіть довжину третьої сторони.

Задача 2

Кут при вершині рівнобедреного трикутника 80º.

Знайти кути при основі.

Задача 3

Знайти кути рівнобедреного трикутника, якщо сума

двох з них 60°.

Задача 4

Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 12 см,

а бічна сторона 5 см. Знайти основу.

РОЗВ’ЯЗКИ:

А

В

С

2. ﮮА + ﮮС = 180º - ﮮВ = 180º - 80º = 100º.

ﮮ А = ﮮС = 100º : 2 = 50º.

Відповідь: 50º, 50º.

3. ﮮА + ﮮС = 60º ﮮВ = 180º - (ﮮ А + ﮮС)

ﮮВ = 180° - 60º = 120º

Відповідь: 120º.

4. РΔ = 12 см

АС = РΔ – 2 АВ

АС = 12 – 2 • 5 = 2 см

Відповідь: 2 см.

І-ий спосіб

1. Нехай АВ = ВС = 2 см, то 2 + 2 < 6 см.

Це не можливо за нерівністю трикутника.

ІІ-ий спосіб

Нехай АВ = ВС = 6 см, то 6 + 6 > 2. Тоді

третя сторона дорівнює 6 см.

Відповідь: 6 см.

Задача 1

Знайти кути прямокутного трикутника, якщо один з них

а)30º; б) 45º.

Задача 2

Сторони прямокутного трикутника 3 см, 4 см, 5 см.

Яка з них гіпотенуза?

Задача 3

Кути трикутника пропорційні числам 3, 5 і 2. Довести,

що цей трикутник прямокутний.

Задача 4

У ΔАВС АВ = 18 см, ﮮВ = 30º, ﮮС = 90º. Знайдіть:

а) відстань від точки А до прямої СВ;

б) проекцію похилої АВ на пряму АС.

1. а) 90º, 30º, 60º;

б) 90º, 45º, 45º.

2. 5 см.

3. 3 + 5 + 2 = 10 (частин)

180º : 10 = 18º - одна частина

ﮮА = 3 • 18º = 54º; ﮮВ = 5 • 18º = 90º; ﮮС = 2 • 18º = 36º

Отже, трикутник прямокутний.

А

C

B

4.

30º

а) АС = ½АВ = 9 см.

б) пр.

​

​

​

= 9 см.

ВА

СА

ЗНАЧЕННЯ ТРИКУТНИКІВ

​

Цей великий світ складається з дрібних частинок. І варто лише замислитись над тим, а що було б, якби одна маленька деталь зникла? Адже без неї зламався б механізм, який будувався століттями. Та, нажаль, ми часто не звертаємо уваги на дрібниці, так само як і не помічаємо того, що завжди оточує нас. Працюючи над проектом, ми дійшли згоди, що практично скрізь присутня геометрична фігура – трикутник. З цього слідує логічний висновок: «З трикутником пов’язана не лише наука математика, але й наше повсякденне життя».