Autor: Anibal Tavares de Azevedo

CÁLCULO I

​

SEMANA 02 - AULA 02

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6 Agosto 2008

LIMITES E DERIVADAS

Limites no Infinito e Assintótas horizontais:

Os limites no infinito procuram estudar o comportamento de funções f(x) para valores de x arbitrariamente grandes em módulo (x positivo ou negativo).

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Exemplo 1: Seja f(x) = (x²-1)/(x²+1). Estudar o seu comportamento quando x aumenta em módulo.

LIMITES E DERIVADAS

0

f(x)

y

x

1

Asssíntota

horizontal

-1

-1

1

x

f(x)

0

-1

±1

0

±2

0,60

±3

0,80

±10

0,98

±100

0,99

f(x) é par

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Exemplo 1: Seja f(x) = (x²-1)/(x²+1). Estudar o seu comportamento quando x aumenta em módulo.

LIMITES E DERIVADAS

Através da tabela e do gráfico é possível determinar o comportamento da função f(x) para valores arbitrariamente grandes, em módulo, de x. Dessa forma:

lim _x→+∞ (x² - 1)/(x² + 1) = 1

lim _x→-∞ (x² - 1)/(x² + 1) = 1

Em geral, usa-se o cálculo de limites (com técnicas a serem descritas mais a frente) para se obter o gráfico de f(x).

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LIMITES E DERIVADAS

Definição de Limites no Infinito:

Seja f(x) uma função definida em algum intervalo (a,∞). Então:

lim _x→+∞ f(x) = L

Ou seja, os valores de f(x) ficam tão próximos de L conforme x for arbitrariamente grande. Ou ainda:

lim _x→+∞ f(x) = L

f(x) → L quando x→+∞

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Definição de Limites no Infinito:

Seja f(x) uma função definida em algum intervalo (-∞,a). Então:

lim _x→-∞ f(x) = L

Ou seja, os valores de f(x) ficam tão próximos de L conforme x for arbitrariamente grande, mas com sinal negativo. Ou ainda:

lim _x→-∞ f(x) = L

f(x) → L quando x→-∞

LIMITES E DERIVADAS

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Exemplo 2: Exemplos de assíntotas horizontais quando x tende a um valor arbitrariamente grande (x→∞), ou seja, lim _x→+∞ f(x) = L.

LIMITES E DERIVADAS

y

x

Caso 1

Asssíntota

horizontal

y = L

f(x)

Caso 2

Caso 3

y

x

Asssíntota

horizontal

y = L

f(x)

y

x

Asssíntota

horizontal

y = 0:

eixo x

f(x)

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Exemplo 3: Exemplos de assíntotas horizontais quando x tende a um valor grande (x→-∞), mas com sinal negativo, ou seja, lim _x→-∞ f(x) = L.

LIMITES E DERIVADAS

y

x

Caso 1

Asssíntota

horizontal

y = L

f(x)

Caso 2

Caso 3

y

x

Asssíntota

horizontal

y = L

f(x)

y

x

Asssíntota

horizontal

y = 0:

eixo x

f(x)

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Exercício 1: Encontrar os limites infinitos (lim _x→a f(x) = ±∞) , limites no infinito (x→±∞) e assíntotas para f dada no gráfico a seguir:

(b)lim _x→1- f(x)

(c)lim _x→-1+ f(x)

(d)lim _x→2- f(x)

(e)lim _x→2+ f(x)

(f)lim _{x→+ ∞} f(x)

0

y

x

1

-1

2

1

2

3

y = f(x)

LIMITES E DERIVADAS

a

c

d

4

e

f

(a)lim _x→-∞ f(x)

b

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Exercício 1: Encontrar os limites infinitos (lim _x→a f(x) = ±∞) , limites no infinito (x→±∞) e assíntotas para f dada no gráfico a seguir:

(b)lim _x→1- f(x) =+∞

0

y

x

1

-1

2

1

2

3

y = f(x)

LIMITES E DERIVADAS

a

4

(a)lim _x→-∞ f(x) =2

b

Asssíntota

vertical

x = -1

Asssíntota

horizontal

y = 2

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Exercício 1: Encontrar os limites infinitos (lim _x→a f(x) = ±∞) , limites no infinito (x→±∞) e assíntotas para f dada no gráfico a seguir:

(c)lim _x→-1+ f(x) =+∞

(d)lim _x→2- f(x) =-∞

0

y

x

1

-1

2

1

2

3

y = f(x)

LIMITES E DERIVADAS

c

d

4

Asssíntota

vertical

x = 2

Asssíntota

vertical

x = -1

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Exercício 1: Encontrar os limites infinitos (lim _x→a f(x) = ±∞) , limites no infinito (x→±∞) e assíntotas para f dada no gráfico a seguir:

(e)lim _x→2+ f(x) =+∞

(f)lim _{x→+ ∞} f(x) =4

0

y

x

1

-1

2

1

2

3

y = f(x)

LIMITES E DERIVADAS

4

e

f

Asssíntota

vertical

x = 2

Asssíntota

horizontal

y = 4

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LIMITES E DERIVADAS

Exercício 2: Verificar a existência ou não dos limites: (i) x→-1, (ii) x→2 e

(iii) x→±∞.

(b)lim _x→1- f(x) =+∞

(c)lim _x→-1+ f(x) =+∞

(i)lim _x→-1 f(x) =+∞

(d)lim _x→2- f(x) =-∞

(e)lim _x→2+ f(x) =+∞

(ii)lim _x→2 f(x) não existe

(iii)lim _x→-∞ f(x) =2

(iv)lim _{x→+ ∞} f(x) =4

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Exemplo 4: Encontrar lim _x→-∞ 1/x e lim _x→+∞ 1/x.

LIMITES E DERIVADAS

y

x

0

1/x

1/x

x

f(x)

100

0,01

1000

0,001

10

0,1

1

1

-1

1

-1

1

x

f(x)

-100

-0,01

-1000

-0,001

-10

-0,1

-1

-1

Logo lim _x→-∞ 1/x = 0 e lim _x→+∞ 1/x = 0 e o eixo x (y = 0) é assíntota horizontal de 1/x.

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LIMITES E DERIVADAS

Teorema:

Seja r>0 for um número racional, então:

lim _x→∞ 1/x^r = 0

Se r>0 for um número racional tal x^r esteja definida para todo x, então:

lim _x→-∞ 1/x^r = 0

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Exemplo 5: Calcule lim _x→∞ (3x²-x-2)/(5x²+4x+1):

LIMITES E DERIVADAS

Quando x cresce tanto o numerador quanto o denominador crescem e não é possível determinar o que ocorre com a razão entre eles. Portanto, é necessário manipular algebricamente a expressão e uma forma é dividir o numerador e o denominador pela maior potência de x:

lim _x→∞ (3x²-x-2)/(5x²+4x+1)

=lim _x→∞ ((3x²-x-2)/x²)/((5x²+4x+1)/x²)

=lim _x→∞ (3-1/x-2/x²)/(5+4/x+1/x²)

=lim _x→∞(3-1/x-2/x²)/ lim _x→∞(5+4/x+1/x²)

=(lim _x→∞(3)+lim _x→∞(-1/x)+lim _x→∞(-2/x²))/

(lim _x→∞(5)+ lim _x→∞(4/x)+ lim _x→∞(1/x²))

=(3 – 0 - 0)/(5 + 0 + 0) = 3/5

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Exemplo 6: Calcule lim _x→-∞ (3x²-x-2)/(5x²+4x+1):

LIMITES E DERIVADAS

Observe que as simplificações empregadas no exercício 5 podem ser aplicadas novamente:

lim _x→-∞ (3x²-x-2)/(5x²+4x+1)

=(lim _x→-∞(3)+lim _x→-∞(-1/x)+lim _x→-∞(-2/x²))/

(lim _x→-∞(5)+ lim _x→-∞(4/x)+ lim _x→-∞(1/x²))

=(3 + 0 + 0)/(5 - 0 - 0) = 3/5

O resultado indica que o limite para x→-∞ também é 3/5. Ou seja, nos dois casos a função possui uma assíntota horizontal em y = 3/5. O gráfico da função ilustra o comportamento assintótico da função para x→+∞ e x→-∞.

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Exemplo 6: Gráfico de f(x)=(3x²-x-2)/(5x²+4x+1):

LIMITES E DERIVADAS

y

x

0

1

f(x)

Asssíntota

horizontal

y = 0,6

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Exercício 3: Calcule lim _x→∞ ((x²+1)^1/2-x):

LIMITES E DERIVADAS

lim _x→∞ ((x²+1)^1/2-x)

=lim _x→∞ ((x²+1)^1/2-x)*((x²+1)^1/2+x)/((x²+1)^1/2+x))

=lim _x→∞ ((x²+1) –x²)/((x²+1)^1/2+x))

=lim _x→∞ (1)/((x²+1)^1/2+x)

=lim _x→∞ (1/x)/(((x²+1)^1/2+x)/x)

=lim _x→∞ (1/x)/(((1+1/x²)^1/2+1))

=lim _x→∞ (1/x)/((lim _x→∞ (1+1/x²))^1/2+ lim _x→∞(1))

= 0/(((1+0)^1/2+1)) = 0

Observações importantes:

​

(i)(a-b)(a+b) = a² + ab – ba - b² = a² - b²

​

(ii)(a²)^1/2/a = (a²/a²)^1/2 = a/a = 1

​

(iii)(a² + b)^1/2/a = (a² + b)^1/2/(a²)^1/2 =((a² + b)/a²)^1/2

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Exemplo 7: Verifique que lim _x→-∞ e^x=0:

LIMITES E DERIVADAS

y

x

0

y=e^x

x

f(x)

-5

0,006

-10

0,000

-1

0,367

0

1

1

1

x

f(x)

1

2,71

0

1

2

7,39

5

148

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Exemplo 8: Calcule lim _x→0- e^1/x:

LIMITES E DERIVADAS

Seja t = 1/x. Se x→0-, então, t→-∞. Assim:

lim _x→0- e^1/x

=lim _t→-∞ e^t

=0

Exemplo 9: Calcule lim _x→∞ sen(x):

Quando x cresce os valores de sen(x) oscilam entre -1 e 1 em um número infinito de vezes. Portanto, lim _x→∞ sen(x) não existe.

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LIMITES E DERIVADAS

Limites Infinitos no Infinito:

Para indicar que os valores de f(x) tornam-se tão grandes quanto maior for o valor de x usa-se:

lim _x→∞ f(x) = ∞

lim _x→∞ f(x) = -∞

lim _x→-∞ f(x) = ∞

lim _x→-∞ f(x) = -∞

Exercício 4: Calcule lim _x→∞ x³ e lim _x→-∞ x³:

Quando x se torna grande, x³ também fica grande em módulo:

lim _x→∞ x³ = ∞

x = ±2 → x³ = ±8

x = ±5 → x³ = ±125

x = ±10 → x³ = ±1000

lim _x→-∞ x³ = -∞

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LIMITES E DERIVADAS

Exemplo 10: Calcule lim _x→∞ (x²-x) :

As propriedades de limites não podem ser aplicadas, pois isto resultaria em lim _x→∞ (x²-x) =

lim _x→∞ (x²)- lim _x→∞ (x) = ∞ - ∞ e a última operação não está definida. Contudo, pode ser escrito que:

lim _x→∞ (x²-x)

= lim _x→∞ x(x-1)

como x e x-1 tornam-se grandes conforme x se torna grande:

=∞

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OBRIGADO !!!

FIM !!!

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