Основні властивості

числових нерівностей

​

​

Властивість 1

Якщо a>b, то b<a.

Доведення.

Для того, щоб довести, що b<a, треба

показати, що b-a<0.

За умовою a>b, тоді a-b>0, тобто

a-b – додатне число.

Звідси: -(a-b)=-a+b=b-a<0.

Отже, b<a за означенням.

​

Властивість 2

Якщо a>b, b>c, то a>c.

Доведення.

Оскільки за умовою a>b і b>с, то a-b>0

і b-с>0.

Сума двох додатних чисел є додатним числом.

Маемо:

(a-b)+(b-c)=a-b+b-c=a-c>0.

Отже, a>c за означенням.

Властивість 3

Якщо a>b та с –будь-яке число, то a+c>b+c.

Якщо до обох частин правильної нерівності додати одне і те саме число,

то отримаємо правильну нерівність такого самого смислу.

Доведення.

Розглянемо різницю (a+c) – (b+c)

Маемо:

(a+c)-(b+c)=a+c-b-c=a-b.

Оскільки за умовою a>b, то різниця a-b>0.

Отже, a+c>b+c.

Властивість 4

Якщо a>b і c>0, то ac>bc.

Якщо обидві частини правильної нерівності помножити на одне і те саме

додатне число, то отримаємо правильну нерівність того самого смислу.

Доведення.

Розглянемо різницю ac-bc. Маемо:

ac-bc=c(a-b); c>0 за умовою, a-b>0, бо a>b.

Добуток двох додатних множників є додатним

числом: c(a-b)=ac-bc>0.

Отже, ac>bc.

Властивість 5

Якщо a>b і c<0, то ac<bc.

Якщо обидві частини правильної нерівності помножити на одне і те саме

від’ємне число, то отримаємо правильну нерівність протилежного смислу.

Доведення.

Розглянемо різницю ac-bc. Маемо:

ac-bc=c(a-b); c<0 за умовою, a-b>0, бо a>b.

Добуток від’ємного і додатного чисел є від’ємним

числом.

Отже, c(a-b)=ac-bc<0. Звідси: ac<bc.

Властивість 6

Якщо a>0, b>0 і a>b, то

Доведення.

Оскільки a>0, b>0, то ab>0 і обернене

число

Якщо a>b і , то з властивості 4 випливає, що тоді

Отже,