1 of 22

BÖLÜM 1

Maddesel Nokta Kinematiği

DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor

1

23.08.2024

1.1 Doğrusal Hareket

(Bu konu 1.1.a ve 1.1.b videolarında anlatılmıştır.)

Videolara Erişim Sayfası:

https://www.mehmetzor.com/dersler/dinamik/ders-egitim-videolari/

​

2 of 22

DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor

2

23.08.2024

1.1 Doğrusal Hareket

O

P

P’

ΔS

t

t+Δt

S

Hız:

 

 

İvme:

 

 

Ortalama Hız:

 

Ortalama İvme:

  • Yörüngesi bir doğru olan hareket tipine doğrusal hareket denir.

doğrusal yörünge

,

,

 

 

 

 

Orantı kuracak olursak

 

 

 

 

 

Birim zamanda alınan yol

Birim zamanda hızdaki değişim

(1.1)

(1.2)

1.1 Maddesel Nokta Kinematiği / Doğrusal Hareket

 

  • Doğrusal harekette, hız ve ivme daima yörünge doğrultusundadır (yönleri zıt olabilir). Bu sebeple denklemler skaler terimler için yazılabilir.
  • Cismin tüm noktaları bir t anında aynı hız ve ivmeye sahiptir ve bu sebeple cismin büyüklüğü ne olursa olsun buradaki çıkarılacak formüller aynen geçerlidir.

3 of 22

DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor

3

23.08.2024

O

P

P’

ΔS

t

t+Δt

S

Ani Hız :

 

Ani ivme:

 

 

 

Örneğin t= 0 anında O noktasında olan bir cisim t1 anına kadar 10 m ileri, 2 m geri gelirse konum değeri S=x = 8m dir. Toplam alınan yol ise 12m dir.

 

Püf noktası-1 : Bu denklemlerde S: koordinattır (S=x), yani referans noktasından olan uzaklıktır. (Dikkat… S.. alınan toplam yol değildir. s «konum» olarak isimlendirilir.)

doğrusal yörünge

(t anındaki hız)

(Türev tanımıdır)

(t anındaki ivme)

  • t anındaki hız, ivme ve konum arasındaki bağıntıları bulalım:

(1.3)

(1.4)

(1.5)

1.3 ve 1.4 denklemleri tüm doğrusal hareketler için geçerlidir.

x

x

0

10m

2m

S =x = 8m

 

Şimdiden aklımızda olsun: Eğrisel harekette D.1.3 denklemi yine geçerli olmasına rağmen, D.1.4 denklemi teğetsel ivme ile hız arasında geçerlidir.

(türetilmiş denklem)

1.1 Maddesel Nokta Kinematiği / Doğrusal Hareket

4 of 22

DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor

4

23.08.2024

Örnek 1.1.1

 

1.1 Maddesel Nokta Kinematiği / Doğrusal Hareket

Çözüm

 

 

 

 

 

 

 

 

O

a-) arabanın x koordinatını,

b-) Bu andaki arabanın ivmesini,

c-) 8nci saniyede arabanın ilk konumundan ne kadar uzakta olduğunu,

d-) 3sn – 5sn leri arasında arabanın toplam ne kadar yol aldığını hesaplayınız.

(1.3) denkleminden bir t anındaki hız:

(1.4) denkleminden bir t anındaki ivme :

Hızın sıfır olduğu anları bulalım:

(1nci ve 4ncü saniyelerde hız sıfır olur.)

(video 1.1a-örnek1.1)

Şekil 1.1.1

5 of 22

DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor

5

23.08.2024

1.1 Maddesel Nokta Kinematiği / Doğrusal Hareket

b-) Bu anlardaki arabanın ivmesi:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a-) Hızın sıfır olduğu anlarda x koordinatları (konumları)

t=1

O

-20.17m

t=4

 

 

 

 

 

 

Şekil 1.1.2

6 of 22

DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor

6

23.08.2024

1.1 Maddesel Nokta Kinematiği / Doğrusal Hareket

d-) 3sn – 5sn ‘leri arasında arabanın toplam ne kadar yol aldığını hesaplayacağız.

t=5

t=3

0

t=4

​

22.83m

24.67m

23.5m

 

 

 

 

 

 

 

 

3-5 sn arası toplam yol

 

 

 

 

c-) 8nci saniyede arabanın ilk konumundan uzaklığı:

 

x

t=0

t=8

O

22m

20.67m

B

A

 

 

 

 

 

 

 

Not: 4. saniyede hız sıfır olduğundan bu saniyeden sonra geriye dönüş söz konusu olacaktır.

7 of 22

DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor

7

23.08.2024

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Çözüm:

Örnek 1.1.2

1.1 Maddesel Nokta Kinematiği / Doğrusal Hareket

Dikkat: Herbir bölümün sonuna tüm bölüm konularıyla ilgili ayrıca Cevaplı Sınav Soruları koyulmuştur.

8 of 22

DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor

8

23.08.2024

Bir maddesel noktanın doğrusal hareketinde konumu S = t3 – 9t² + 15t + 5 bağıntısı ile tanımlanmıştır. Denklemde s: metre, t: saniyedir. a-) Hızın sıfır olduğu zamanı, b-) ivmenin sıfır olduğu andaki yeri (konumu) ve gidilen toplam yolu bulunuz.

Soru 1.1.1 (*)

1.1 Maddesel Nokta Kinematiği / Doğrusal Hareket

Cevaplar a-) 1.sn ve 5.sn , b-) 23metre

9 of 22

DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor

9

23.08.2024

1.1.1 Doğrusal Harekette Özel Durumlar:

 

 

 

 

 

 

 

a-) Düzgün değişen doğrusal hareket(DDDH):

Bu durumda bir t anında hız ve konum denklemleri:

 

ivme sabittir

(1.6)

(1.7)

1.1 Maddesel Nokta Kinematiği / Doğrusal Hareket

10 of 22

DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor

10

23.08.2024

b-) Düzgün doğrusal hareket(DDH):

ivme sıfırdır.

 

 

 

 

(hız sabittir)

(1.10)

(1.11)

1.1 Maddesel Nokta Kinematiği / Doğrusal Hareket

Zamansız hız denklemi:

  • Dikkat: 1.6, 1.7 ve 1.9 denklemlerinin sabit ivmeli doğrusal hareket için geçerli olduğu unutulmamalıdır.
  • 1.8 denklemi ise doğrusal hareketin tüm durumları için geçerli genel bir ifadedir.

Sabit ivmeli doğrusal hareket için türetilmiş bir denklem şu şekilde elde edilir:

 

 

 

 

Doğrusal hareket genel denklemlerinden:

 

D.1.8 denklemi sabit ivme için yazarsak:

 

 

 

(1.9)

(1.8)

 

 

(sabit ivmeli doğrusal hareket problemlerinde t zaman değişkenini işe katmadan pratik çözüm sağlayan bir denklemdir. )

 

11 of 22

DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor

11

23.08.2024

Örnek 1.1.3

Düz bir otobonda 54km/h lik sabit hızla ilerlemekte olan bir otomobil, yol kenarındaki bir ağacın önünden geçtikten 10 saniye sonra bir benzinliğin girişine ulaşıyor. Benzinliğin yola cephesi 40m dir.

 

1.1 Maddesel Nokta Kinematiği / Doğrusal Hareket

(video 1.1b örnek 1.2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Şekil 1.1.3

12 of 22

DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor

12

23.08.2024

Çözüm:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

C

E

A-B arası

 

C-D arası

 

 

D-E arası

 

 

 

 

 

 

(1.11 den):

(1.6 dan)

(1.7 den):

1.1 Maddesel Nokta Kinematiği / Doğrusal Hareket

 

 

Şekil 1.1.4

13 of 22

DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor

13

23.08.2024

6 metre yükseklikte bir balkonda buluna Ayşe elindeki topu düşey doğrultuda, yukarı doğru 5m/s hızla fırlatıyor ve elini geri çekiyor. Buna göre;

6m

1.2m

 

C

B

A

y

x

 

y’

x’

1.1 Maddesel Nokta Kinematiği / Doğrusal Hareket

Örnek 1.1.4

(video 1.1b örnek 1.3)

 

Şekil 1.1.5

14 of 22

DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor

14

23.08.2024

6m

1.2m

 

C

B

A

y

x

 

y’

x’

1.1 Maddesel Nokta Kinematiği / Doğrusal Hareket

a-) Koordinat sistemi (x-y) topun yere vurduğu A noktasına yerleştirilirse:.

 

 

 

 

 

Çözüm:

Yerçekimi sabit ivmesi ile hareket olduğundan Düzgün değişen doğrusal harekettir.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Eksen takımı topun atıldığı ilk konumdaki x’-y’ eksen takımı seçilseydi, sonuç değişmezdi.

İlk konum:

 

Son konum:

 

(aynı denklem)

Herhangi bir t anı için konum((yani y koordinatı):

 

Şekil 1.1.6

15 of 22

DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor

15

23.08.2024

6m

1.2m

 

C

B

A

y

x

 

y’

x’

1.1 Maddesel Nokta Kinematiği / Doğrusal Hareket

b-)

 

 

 

 

 

 

yerden 4.4 metre yüksekten geçerken topun hızının hesabı:

c-)

C tepe noktasındaki hız:

 

 

 

 

 

 

 

 

Topun çıkacağı maksimum yüksekliğin hesabı:

 

Şekil 1.1.7

16 of 22

DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor

16

23.08.2024

1.1.2 Doğrusal Harekette farklı fonksiyonel ifadelere göre çözüm yolları:

 

verilmişse

 

 

 

 

bulunur.

 

 

 

bulunur.

 

verilmişse

 

 

 

 

bulunur.

 

 

bulunur.

 

verilmişse

 

 

 

bulunur.

 

 

 

 

 

bulunur.

veya

 

bulunmuştu.

 

 

 

bulunur.

(1.8 den):

1.1 Maddesel Nokta Kinematiği / Doğrusal Hareket

(1.8 den):

17 of 22

DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor

17

23.08.2024

 

20m

12m

 

 

 

 

 

 

A

 

Çözüm:

1.9 denkleminden zamansız hız formülünü kullanabiliriz:

1.1 Maddesel Nokta Kinematiği / Doğrusal Hareket

Örnek 1.1.5

(video 1.1b örnek 1.4)

O

(Denize dalış hızı)

 

+y aşağı yönde alınmıştır.

Şekil 1.1.8

18 of 22

DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor

18

23.08.2024

12m

A

B

 

h=?

 

1.1 Maddesel Nokta Kinematiği / Doğrusal Hareket

Denizin içindeki hareket: (A-B arası)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h<12m ..Dibe çarpmaz.

(B: Denizde geldiği son nokta)

Şekil 1.1.9

19 of 22

DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor

19

23.08.2024

 

​

​

 

 

 

 

 

a-)

 

 

 

 

 

 

 

 

b-)

c-)

 

 

Örnek 1.1.6

1.1 Maddesel Nokta Kinematiği / Doğrusal Hareket

*Cevaplı sınav soruları için bölüm 1’in sonuna bakınız.

 

20 of 22

DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor

20

23.08.2024

 

(Makine Müh. 2014 yaz okulu-1.Vize sorusu)

Soru 1.1.2 (*)

1.1 Maddesel Nokta Kinematiği / Doğrusal Hareket

21 of 22

DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor

21

23.08.2024

Hareketli iki cismin birbirlerine göre hareketine ise bağıl hareket denir.

Hem doğrusal hem bundan sonra gösterilecek eğrisel hareket için bağıl hareket söz konusu olabilir.

Bağıl Hız ve Bağıl İvme:

Hareketli iki cismin birbirlerine göre hız veya ivmeleridir.

Bağıl Hız, cisimlerin hız vektörlerinin farkı alınarak bulunur. Bağıl ivme de aynı şekilde bulunur.

Bunları 2 örnekle açıklayalım:

Hareketli bir cismin dışarıdaki sabit bir referans noktasına göre hareketine mutlak hareket demiştik.

1.1.3 Bağıl Hareket

 

 

Dışarıdaki sabit C ağacına göre hızlar

Adem’in Otomobile göre Bağıl Hızı:

 

 

 

Otomobilin Adem’e göre Bağıl Hızı:

 

 

 

Adem otomobile göre –x yönünde; otomobil ise Ademe göre + x yönünde aynı hızla uzaklaşır.

 

 

 

 

C

+x

 

1.1.3 Maddesel Nokta Kinematiği / Bağıl Hareket

Adem

Örnek 1.1.9

Otomobilin Mutlak Hızı:

+x yönünde 40km/saat hızla giden otomobilin yanındaki kaldırımdan Adem isimli bir öğrenci –x yönünde 5km/saat hızla yürüyor.

Adem’in Mutlak Hızı:

Şekil 1.1.10

22 of 22

DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor

22

23.08.2024

Örnek 1.1.7 : A ve B otomobillerinin sabit bir O noktasına göre bir t anında hız ve ivmeleri (mutlak hız ve mutlak ivmeleri) vektörel olarak veriliyor. B otomobilinin A otomobiline göre bağıl hız ve bağıl ivmesini hesaplayınız.

 

 

x

y

 

 

 

 

 

 

 

Mutlak hızlar:

Mutlak ivmeler:

B’nİn A’ye göre Bağıl hızı:

 

 

 

 

 

 

 

B’nin A’ya göre Bağıl İvmesi:

 

 

 

 

 

 

 

Not: Bağıl Hareket konusu Rijit Cisim Kinematiğinde de karşımıza çıkacaktır.

1.1 Maddesel Nokta Kinematiği / Bağıl Hareket

x

Şekil 1.1.11