Простейшие геометрические задачи на ЕГЭ по математике

Кривошеин О.В.

Учитель математики МОУ «Харламовская СОШ»

Окружность

• Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности. Центральный угол равен радианной/градусной мере дуги, на которую опирается.
• Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность. Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую опирается.
• Любые две точки окружности делят ее на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. Мерой дуги может служить мера соответствующего ей центрального угла.
• Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.

​

Окружность - множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки - центра окружности

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны

Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр.

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной �около этого треугольника окружности.

Касательная

Свойства касательной

Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания. Радиус ОА перпендикулярен касательной АС на рисунке.

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

Хорда

• Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
• Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к  этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

​

Хорда - отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда

• Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
• Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Хорда

• Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
• У равных дуг равны и хорды. 
• Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны: АЕ*ВЕ=СЕ*DE

Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

AB = AC, угол ВАО равен углу САО

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки. Справедливо равенство АВ*АВ=АС*АD

Секущие, проведённые из одной точки вне круга. Справедливо равенство АF*АE=АС*АD

​

Теорема о бабочке

Через середину G  хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд   AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Задание 5 (№ 51355)

Хорда делит окружность на две дуги, градусные меры которых относятся как 1:2. Под каким углом видна эта хорда из точки , принадлежащей меньшей дуге окружности? Ответ дайте в градусах.

Решение. На чертеже построена хорда АВ и точка С, лежащая на меньшей дуге. Необходимо найти под каким углом видна эта хорда из точки С, то есть угол АСВ.

Градусная мера полной окружности 360°. Хорда делит эту окружность на две дуги, градусные меры которых относятся как 1:2. То есть, если в меньшей дуге х градусов, то в большей 2х градусов. Тогда во всей окружности х+2х=3х градусов. Получаем 3х= 360°. х= 120°. Большая дуга будет равна 240°. Угол АСВ вписанный и опирается на эту дугу, равен её половине.

Ответ 120.

Прототип задания 7 (№ 27857)

Найдите величину острого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную радиусу окружности. Ответ дайте в градусах.

Прототип задания 7 (№ 27858)

Найдите хорду, на которую опирается угол равный 30 градусам, вписанный в окружность радиуса 3.

Прототип задания 7 (№ 27859)

Чему равен тупой вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности? Ответ дайте в градусах.

Прототип задания 7 (№ 27862)

Найдите хорду, на которую опирается угол равный 120 градусам, вписанный в окружность, радиус которой равен корню квадратному из трёх.

Прототип задания 7 (№ 27864)

Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна 0,2 длины окружности. Ответ дайте в градусах.

Прототип задания 7 (№ 27866)

Дуга окружности AC, не содержащая точки B, имеет градусную меру 200, а дуга окружности BC, не содержащая точки A, имеет градусную меру 80. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Прототип задания 7 (№ 27867)

Хорда AB делит окружность на две дуги, градусные меры которых относятся как 5:7. Под каким углом видна эта хорда из точки C, принадлежащей меньшей дуге окружности? Ответ дайте в градусах.

Прототип задания 7 (№ 27868)

Точки A, B, C, расположенные на окружности, делят ее на три дуги, градусные меры которых относятся как 1:3:5. Найдите больший угол треугольника ABC. Ответ дайте в градусах.

Прототип задания 7 (№ 27869)

АС и BD  — диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 38 градусам. Найдите угол АОD. Ответ дайте в градусах.

Прототип задания 7 (№ 27870)

В окружности с центром O AC и BD  — диаметры. Центральный угол AOD равен 110 градусам. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах

Прототип задания 7 (№ 27871)

Угол A четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 58 градусам. Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Прототип задания 7 (№ 27872)

Стороны четырехугольника ABCD AB, BC, CD и AD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно 95, 49, 71, 145. Найдите угол B этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Прототип задания 7 (№ 27873)

Точки A, B, C, D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги AB, BC, CD и AD, градусные величины которых относятся соответственно как 4:2:3:6. Найдите угол A четырехугольника ABCD. Ответ дайте в градусах.

Прототип задания 7 (№ 27874)

Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 105 градусам, угол CAD равен 35 градусам. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Прототип задания 7 (№ 27875)

Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 75 градусам, угол CAD равен 35 градусам. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

Прототип задания 7 (№ 27876)

Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 110 градусам, угол ABD равен 70 градусам. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.

Прототип задания 7 (№ 27877)

Хорда AB стягивает дугу окружности в 92 градуса. Найдите угол ABC между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку B. Ответ дайте в градусах.

Прототип задания 7 (№ 27878)

Угол между хордой AB и касательной BC к окружности равен 32 градусам. Найдите величину меньшей дуги, стягиваемой хордой AB. Ответ дайте в градусах.

Прототип задания 7 (№ 27879)

Через концы A, B дуги окружности в 62 градуса проведены касательные AC и BC. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Прототип задания 7 (№ 27880)

Касательные CA и CB к окружности образуют угол ACB, равный 122 градусам. Найдите величину меньшей дуги AB, стягиваемой точками касания. Ответ дайте в градусах.

Прототип задания 7 (№ 27884)

Угол ACO равен 24 градусам. Его сторона CA касается окружности с центром в точке O. Найдите градусную меру большей дуги AD окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.

Прототип задания 7 (№ 27885)

Найдите угол ACB, если вписанные углы ADB и DAE опираются на дуги окружности, градусные меры которых равны соответственно 118 и 38. Ответ дайте в градусах.

Прототип задания 7 (№ 27886)

Угол АСВ равен 42 градусам. Градусная мера дуги окружности, не содержащей точек D и E, равна 124 градусам . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

Прототип задания 7 (№ 27887)

Найдите угол АВС. Ответ дайте в градусах.

Решение. Воспользуемся тем, что равные хорды опираются на равные дуги. С помощью построенного красного квадрата легко понять, что дуга АС составляет четверть всей окружности, а значит равна 90 градусам. Угол АВС – вписаный и равен половине этой дуги, то есть 45градусам.

Ответ 45

Прототип задания 7 (№ 27890)

Найдите градусную меру дуги АС окружности, на которую опирается угол АВС. Ответ дайте в градусах.

Прототип задания 7 (№ 27892)

Сторона правильного треугольника равна квадратному корню из трёх. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Прототип задания 7 (№ 27893)

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен квадратному корню из трёх. Найдите сторону этого треугольника.

Прототип задания 7 (№ 27894)

Высота правильного треугольника равна 3. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Прототип задания 7 (№ 27895)

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен 3. Найдите высоту этого треугольника.

Прототип задания 7 (№ 27896)

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 12. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Прототип задания 7 (№ 27897)

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен 4. Найдите гипотенузу этого треугольника.

Прототип задания 7 (№ 27898)

В треугольнике ABC АС=4, ВС=3, угол C равен 90 градусам. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Прототип задания 7 (№ 27900)

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 1, угол при вершине, противолежащей основанию, равен 120 градусам. Найдите диаметр описанной окружности этого треугольника.

Ещё об углах

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Ещё об углах

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Источники

• http://mathege.ru/or/ege/Main
• http://www.resolventa.ru/demo/training.htm
• http://www.univer.omsk.su/omsk/Edu/Rusanova/circles.htm
• https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0%BA%D1%80%D1%83%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C

Спасибо за внимание и работу!