Медіана, бісектриса і висота трикутника. Властивість бісектриси рівнобедреного трикутника

Ольга ФЕНЕНКО

Медіана трикутника

Медіаною трикутника називають відрізок, що сполучає вершину трикутника із серединою протилежної сторони.

У будь-якому трикутнику медіани перетинаються в одній точці (її називають центроїдом трикутника) і діляться цією точкою у відношенні 2:1,починаючи від вершини.

Бісектриса трикутника

Бісектрисою трикутника називають відрізок бісектриси кута трикутника, що сполучає вершину трикутника з точкою протилежної сторони.

У будь-якому трикутнику бісектриси перетинаються в одній точці (її називають інцентром трикутника).

Висота трикутника

Висотою трикутника називають перпендикуляр, проведений з вершини трикутника до прямої, що містить його протилежну сторону.

У будь-якому трикутнику три висоти або їхні продовження перетинаються в одній точці (її називають ортоцентром трикутника).

Властивість бісектриси рівнобедреного трикутника

Теорема (властивість бісектриси рівнобедреного трикутника).

У рівнобедреному трикутнику бісектриса, проведена до основи, є медіаною і висотою.

Наслідок. Медіана рівнобедреного трикутника, проведена до основи, є висотою і бісектрисою.

Наслідок. Висота рівнобедреного трикутника, проведена до основи, є медіаною і бісектрисою.

Приклад. У рівнобедреному трикутнику ABC з основою BC проведено бісектрису AN, AN = 12 см. Знайти периметр трикутника ANB, якщо периметр трикутника ABC дорівнює 36 см.

Розв’язання.

1) Оскільки ∆ABC – рівнобедрений, а AN – бісектриса, що проведена до основи цього трикутника, то AN є також і медіаною. Тому BN = NC.

​

№ 372. (Усно.) Як називають відрізок AK у трикутнику ABC?

Висота

Бісектриса

Медіана

№ 374. У трикутнику ABC відрізок AK – висота. Знайдіть градусні міри кутів BKA і CKA.

№ 376. У трикутнику ABC відрізок AK – медіана, BC = 12 см. Знайдіть довжини відрізків BK і KC.

За властивістю медіани трикутника:

BK = KC = BC : 2 = 12 : 2 = 6 см.

№ 377. Накресліть трикутник. За допомогою лінійки з поділками проведіть його медіани.

D

K

M

№ 379. Накресліть тупокутний трикутник. За допомогою креслярського косинця проведіть його висоти.

K

L

M

№ 381. На малюнку відрізок AK – висота рівнобедреного трикутника ABC з основою BC. Запишіть три пари рівних кутів і дві пари рівних відрізків, що є на цьому малюнку.

∠B = ∠C – як кути при основі рівнобедреного трикутника;

∠AKC = ∠AKB – за властивістю перпендикулярних прямих AK і BC;

∠CAK = ∠BAK – за властивістю висоти рівнобедреного трикутника, вона є і бісектрисою;

AC = AB – як бічні сторони рівнобедреного трикутника;

CK = BK – за властивістю висоти рівнобедреного трикутника, вона є і медіаною.

​

№ 383. (Усно.) Чому не можна стверджувати, що три висоти трикутника завжди перетинаються в одній точці?

Наприклад, у тупокутному трикутнику в одній точці перетинаються не висоти, а їхні продовження.

Тобто прямі, що їх містять.

№ 385. (Усно.) Які елементи трикутника або їхні частини сумістяться, якщо його зігнути по:

1) бісектрисі; 2) висоті?

1. Частина сторін кута, з вершини якого проведено бісектрису;
2. Частина сторони до якої проведено висоту.

№ 386. Доведіть, що коли бісектриса трикутника є його висотою, то трикутник – рівнобедрений.

Нехай AN – бісектриса та висота трикутника BAC.

Розглянемо ∆BAN і ∆CAN:

∠BAN = ∠CAN – за властивістю бісектриси трикутника;

∠ANB = ∠ANC – за властивістю перпендикулярних прямих AN і BC;

AN – спільна.

∆BAN = ∆CAN – за стороною і двома прилеглими кутами.

З рівності трикутників слідує рівність відповідних сторін: AB = AC.

Отже, ∆BAC – рівнобедрений.

Фізкультхвилинка

https://www.youtube.com/watch?v=cirq7zY9-jk

​

№ 387. Доведіть, що коли медіана трикутника є його висотою, то трикутник – рівнобедрений.

Нехай BD – медіана та висота трикутника ABC.

Розглянемо ∆BAD і ∆BCD:

∠ADB = ∠CDB – за властивістю перпендикулярних прямих AC і BD;

BD – спільна;

AD = CD – за властивістю медіани трикутника.

∆BAD = ∆BCD – за двома сторонами і кутом між ними.

З рівності трикутників слідує рівність відповідних кутів: ∠A = ∠C.

Отже, ∆ABC – рівнобедрений.

№ 388. AD і A1D1 – відповідно бісектриси рівних трикутників ABC і A1B1C1. Доведіть, що ∆ADC =

∆ A1D1C1.

Розглянемо ∆ADC і ∆A1D1C1:

За властивістю рівних трикутників:

∠C = ∠C1;

AC = A1C1;

∠CAD = ∠C1A1D1 – як половини рівних кутів A і A1.

∆ADC = ∆A1D1C1 – за стороною і двома прилеглими кутами.

№ 389. Доведіть, що в рівнобедреному трикутнику медіани, проведені до бічних сторін, – рівні.

Розглянемо ∆CBE і ∆BCD:

∠C = ∠B – як кути при основі рівнобедреного трикутника;

BC – спільна;

CE = BD – як половини рівних сторін.

∆CBE = ∆BCD – за двома сторонами і кутом між ними.

З рівності трикутників слідує рівність відповідних сторін: CD = BE.

E

№ 391. У рівнобедреному трикутнику ABC з основою AC проведено висоту BD. Знайдіть периметр трикутника ABC, якщо BD = 10 см, а периметр трикутника ABD дорівнює 40 см.

№ 393. Доведіть, що коли медіана трикутника є його бісектрисою, то трикутник – рівнобедрений.

Продовжимо BD за точку D, на продовженні відкладемо відрізок BD = DF.

Розглянемо ∆ADB і ∆CDF:

∠ADB = ∠CDF – за властивістю вертикальних кутів;

BD = DF – за побудовою;

AD = CD – за умовою.

Рефлексія «Назви одним словом»

Кожен має підсумувати хід уроку одним словом.

Цікаво

Захопливо

Нудно

Весело

Клас

Продуктивно

Успіх

Співпраця

Пізнання