Le operazioni tra numeri naturali
L’addizione
Eseguire un’addizione
> L’addizione
Simbolo dell’addizione
Addendi
3 + 4 = 7
Somma
Le operazioni tra numeri naturali
Che cosa significa eseguire un’addizione
L’addizione è l’operazione che associa a due numeri, detti addendi, un terzo numero, detto somma, che si ottiene contando successivamente al primo numero tanti numeri
consecutivi al primo quante sono le unità indicate dal secondo.
Presi due numeri naturali qualunque, la loro somma è sempre un numero naturale
L’addizione è un’operazione interna all’insieme dei numeri naturali. L’insieme N è chiuso rispetto all’addizione.
> L’addizione
Le operazioni tra numeri naturali
Che cosa significa eseguire un’addizione
Lo 0 lascia sempre invariato il termine a cui viene addizionato
Lo 0 è l’elemento neutro dell’addizione.
In simboli: n + 0 = n e 0 + n = n
> L’addizione
L’addizione in colonna
Le operazioni tra numeri naturali
Le proprietà dell’addizione
Le proprietà dell’addizione
> Le proprietà dell’addizione
commutativa
L’addizione gode delle proprietà:
dissociativa
a + b = b + a
associativa
a + b + c =
= (a + b) + c =
= a + (b + c)
a + b =
= a + c + d
dove
c + d = b
Le operazioni tra numeri naturali
La proprietà commutativa
La somma non cambia se si cambia l’ordine degli addendi.
In simboli:
a + b = b + a
> Le proprietà dell’addizione
Le operazioni tra numeri naturali
La proprietà associativa
La somma non cambia se al posto di alcuni addendi si sostituisce la loro somma
In simboli:
a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)
= d + c = a + e
dove a + b = d e b + c = e
> Le proprietà dell’addizione
Le operazioni tra numeri naturali
La proprietà dissociativa
La somma non cambia se al posto di alcuni addendi si sostituisce la loro somma
In simboli:
a + b = a + c + d dove c + d = b
> Le proprietà dell’addizione
Le operazioni tra numeri naturali
La sottrazione
Eseguire una sottrazione
> La sottrazione
Simbolo della sottrazione
Sottraendo
7 - 3 = 4
Differenza
Minuendo
Le operazioni tra numeri naturali
Eseguire una sottrazione
La sottrazione è l’operazione inversa dell’addizione.
> La sottrazione
La sottrazione è l’operazione che associa a due numeri, detti minuendo e sottraendo, con il primo maggiore o
uguale al secondo, un terzo numero, detto differenza,
che addizionato al sottraendo dà il minuendo.
In simboli:
a - b = c se c + b = a
Le operazioni tra numeri naturali
Eseguire una sottrazione
La sottrazione non ha l’elemento neutro in N.
La sottrazione in colonna
Lo zero si comporta come elemento neutro solo quando occupa il posto del sottraendo.
> La sottrazione
Le operazioni tra numeri naturali
Le proprietà della sottrazione. Le prime espressioni
La proprietà invariantiva
Il risultato di una sottrazione non cambia se si addiziona o si sottrae uno stesso numero sia al minuendo sia al sottraendo. Nel caso in cui si sottragga lo stesso numero, questo deve essere minore o uguale al sottraendo.
In simboli:
a - b = (a + c) - (b + c) a - b = (a - d) - (b - d) con d < b
> Le proprietà della sottrazione. Le prime espressioni
La proprietà invariantiva è utile per rendere rapido il calcolo mentale
Le operazioni tra numeri naturali
Espressioni con addizioni e sottrazioni
Se l’espressione contiene solo addizioni e sottrazioni, senza parentesi, le operazioni devono essere eseguite nell’ordine in cui sono scritte.
Un’espressione è una scrittura aritmetica, costituita da una sequenza di operazioni in cui possono comparire delle parentesi.
> Le proprietà della sottrazione. Le prime espressioni
Le operazioni tra numeri naturali
Espressioni con addizioni e sottrazioni
Un’espressione può contenere anche le parentesi, che indicano l’ordine in cui vanno eseguiti i calcoli.
> Le proprietà della sottrazione. Le prime espressioni
Le operazioni tra numeri naturali
La moltiplicazione e le prime proprietà
Eseguire una moltiplicazione
> La moltiplicazione e le prime proprietà
Simbolo della moltiplicazione
Fattori
2 · 3 = 6
Prodotto
Le operazioni tra numeri naturali
Eseguire una moltiplicazione
La moltiplicazione è l’operazione che associa a due numeri, detti fattori, un terzo numero, detto prodotto, ottenuto addizionando tanti addendi uguali al primo numero
quante sono le unità del secondo.
> La moltiplicazione e le prime proprietà
Le operazioni tra numeri naturali
La proprietà commutativa
Il prodotto non cambia se si cambia l’ordine dei fattori.
In simboli:
a · b = b · a
La moltiplicazione possiede
un elemento neutro
un elemento assorbente
1
0
> La moltiplicazione e le prime proprietà
Le operazioni tra numeri naturali
La moltiplicazione in colonna e alcune proprietà
La moltiplicazione in colonna
> La moltiplicazione in colonna e alcune proprietà
Per eseguire una moltiplicazione in colonna, non è importante incolonnare le unità dello stesso ordine dei due fattori.
Le operazioni tra numeri naturali
La proprietà associativa
Il prodotto non cambia se ad alcuni fattori si sostituisce il loro prodotto.
In simboli:
a · b · c = (a · b) · c = a · (b · c)
= d · c = a · e
> La moltiplicazione in colonna e alcune proprietà
Le operazioni tra numeri naturali
La proprietà dissociativa
Il prodotto non cambia se a un fattore se ne sostituiscono altri, il cui prodotto è uguale al fattore sostituito.
In simboli:
a · b = a · c · d dove c · d = b
> La moltiplicazione in colonna e alcune proprietà
Le operazioni tra numeri naturali
Le proprietà della moltiplicazione rispetto ad addizione e sottrazione
La proprietà distributiva
> Le proprietà della moltiplicazione rispetto ad addizione e sottrazione
Proprietà distributiva
della moltiplicazione
rispetto all’addizione
rispetto alla sottrazione
Le operazioni tra numeri naturali
Il raccoglimento a fattor comune
> Le proprietà della moltiplicazione rispetto ad addizione e sottrazione
Le operazioni tra numeri naturali
La divisione
Eseguire una divisione
> La divisione
Simbolo della divisione
Divisore
15 : 3 = 5
Quoziente
Dividendo
Le operazioni tra numeri naturali
Eseguire una divisione
La divisione è l’operazione che associa a due numeri naturali, detti dividendo e divisore, con il secondo diverso da zero, un terzo numero naturale, se questo esiste, detto quoziente, che moltiplicato per il divisore dà il dividendo.
In simboli:
a : b = c se c ·b = a con b ≠ 0
La divisione
> La divisione
Le operazioni tra numeri naturali
La divisione con il resto
Nella divisione tra due numeri naturali:
> La divisione
Le operazioni tra numeri naturali
La divisione in colonna e le proprietà.
Le espressioni
La divisione in colonna
> La divisione in colonna e le proprietà. Le espressioni
Per eseguire una divisione in colonna:
Le operazioni tra numeri naturali
La proprietà invariantiva
Per dividere una somma o una differenza per un numero diverso da 0, possiamo dividere ciascun termine per il divisore e addizionare o sottrarre i quozienti ottenuti.
In simboli:
(a + b) : c = a : c + b : c
(d - e) : f = d : f - e : f
> La divisione in colonna e le proprietà. Le espressioni
Le operazioni tra numeri naturali
La proprietà distributiva a destra
Se si moltiplicano o si dividono per uno stesso numero, diverso da 0, il dividendo e il divisore di una divisione, il quoziente non cambia.
In simboli:
a : b = (a · c) : (b · c) con c ≠ 0
a : b = (a : d) : (b : d) con d ≠ 0
> La divisione in colonna e le proprietà. Le espressioni
Le operazioni tra numeri naturali
Espressioni con moltiplicazioni e divisioni
Se un’espressione contiene solo moltiplicazioni e divisioni senza parentesi, le operazioni devono essere eseguite nell’ordine in cui sono scritte.
Se compaiono delle parentesi, si eseguono prima le operazioni nelle parentesi tonde, poi quelle nelle quadre e infine quelle nelle graffe.
> La divisione in colonna e le proprietà. Le espressioni
Le operazioni tra numeri naturali
Le espressioni con le quattro operazioni
Le espressioni
> Le espressioni con le quattro operazioni
Espressioni senza parentesi
1. Le moltiplicazioni e le divisioni, nell’ordine in cui compaiono
2. Le addizioni e sottrazioni, nell’ordine in cui compaiono
Si eseguono, in sequenza:
Le operazioni tra numeri naturali
Le espressioni
Espressioni con le parentesi
1. Le operazioni nelle parentesi tonde, poi quelle nelle quadre e infine quelle nelle graffe
2. Le operazioni all’interno di ogni parentesi nel solito ordine
Si eseguono, in sequenza:
> Le espressioni con le quattro operazioni
Le operazioni tra numeri naturali
Le espressioni
> Le espressioni con le quattro operazioni
Le operazioni tra numeri naturali
A che cosa servono le espressioni
Le espressioni traducono frasi matematiche.
> Le espressioni con le quattro operazioni
Le operazioni tra numeri naturali