1 of 16

Численные методы решения уравнений

Солодова Светлана Владимировна, учитель информатики МАОУ-СОШ № 181

2 of 16

Немного истории

На протяжении многих веков человечество решало уравнения, так как они зачастую описывали объекты или процессы в жизни. Эвклид, Аль-Хорезми, Омар Хайям, Сципион даль Ферро, Джероламо Кардано, Франсуа Виет, Джозеф Луи Лагранж, Нильс Абель, Эварист Галуа – вот далеко не полный список ученых, посвятивших свои научные изыскания решению уравнений.

​

​

3 of 16

На языке алгебры формальные модели записываются с помощью уравнений, точные решения которых существуют только для некоторых уравнений определенного вида (тригонометрические, линейные, квадратные, и др.). Для большинства уравнений приходится использовать методы приближенного решения с заданной точностью. Так как задачи, взятые из жизни зачастую требовали «примерных» решений

​

4 of 16

Практическое значение

1. Нахождение площади геометрических фигур

1. Решение квадратного уравнения

2. Нахождение объёма

2. Решение уравнения третьей степени

3. Задачи баллистики

3. Решение квадратного и кубического уравнения

4. Кристаллография

4. Решение уравнений четвертой и пятой степени.

5. Полёт самолёт

5. Решение квадратного и кубического уравнения

5 of 16

Уравнение

УРАВНЕ́НИЕ - математическое равенство с одной или несколькими неизвестными величинами.

Корнями уравнения называется значения неизвестных, при подстановке которых в уравнение оно обращается в равенство. 

​

6 of 16

Способы решения уравнений:

​

​

  1. Разложение на множители;
  2. Введение нового неизвестного (например, биквадратное уравнение);
  3. Графический метод
  4. Приближенные методы

7 of 16

Этапы решения уравнений с помощью численных методов

  • отделение корней, т.е. отыскание достаточно малых областей, в каждой из которых заключен один и только один корень уравнения;
  • вычисление корня с заданной точностью.

8 of 16

Численные методы приближенного вычисления корней уравнения

  • Метод половинного деления
  • Метод касательных
  • Метод хорд
  • Метод секущих
  • Метод хорд и касательных

9 of 16

Отделение корней графическим методом

Пусть требуется найти приближенное решение уравнения ,так как его нельзя решить путем равносильных алгебраических преобразований.

  • Найдем отрезок [a, b], на котором отделен корень.
  • Для этого построим графики функций и

(получены из исходного уравнения путем равносильного преобразования)

10 of 16

Графики функций

11 of 16

С помощью графиков определяем координаты концов отрезков, содержащих точки пересечения графиков.

Например, a=0, b=1,5

Для того, чтобы проверить те ли точки выбраны, следует их подставить в исходное уравнение. Знаки полученных функций должны быть разные

Отделение корней графическим методом

12 of 16

Метод половинного деления

1 На отрезке [a, b] определяется  точка С, являющаяся серединой этого отрезка, c=(a+b)/2. (на рис точка С1)

Пусть на отрезке [a, b] отделен действительный корень уравнения f(x)=0.

13 of 16

Метод половинного деления

2 Вычисляется значение функции f(x) в точках  a, b, c. Если f(c)=0, то С - точный корень уравнения f(x)=0.

14 of 16

Метод половинного деления

3 В противном случае из двух образовавшихся отрезков [a,c] и [c,b] выбирается тот, на концах которого функция принимает противоположные знаки и новый отрезок обозначается через [a, b].

​

15 of 16

За приближенное значение корня принимается величина

X=(a+b)/2,

где a и b удовлетворяют условию   f(a)*f(b)<0 и

Abs (b-a)<=e, где е заданная погрешность 

Метод половинного деления

16 of 16

Реализация компьютерных моделей

​

​

Компьютерная модель

На языке программирования

Модель, созданная с помощью приложения