ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
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(Grupo 7)Integrantes:
Italo Pilatasig
Roberto Pineda
Christopher Castro
Contenido:
ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
MATEMÁTICA AVANZADA
Introducción a las Ecuaciones en Derivadas Parciales
Definición 1.1 Una ecuación diferencial en derivadas parciales (EDP) es aquella ecuación diferencial cuyas incógnitas son funciones de diversas variables, con la peculiaridad de que en dicha ecuación figuran no sólo las propias funciones sino también sus derivadas.
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Definición 1.2 (Orden) El orden de una EDP es el orden superior de las derivadas parciales que figuran en la ecuación.
Definición 1.3 (Solución) Toda ecuación diferencial en derivadas parciales de primer orden posee una solución dependiente de una función arbitraria, que se denomina usualmente solución general de la EDP.
Una solución completa es una solución particular de la EDP que contiene tantas constantes arbitrarias independientes como variables independientes intervienen en la ecuación que frecuentemente pueden obtenerse por el método de separación de variables.
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Una ecuación diferencial en derivadas parciales simple puede ser:
donde u es una función de x e y. Esta relación implica que los valores de u(x, y) son completamente independientes de x. Por lo tanto la solución general de esta ecuación diferencial es:
donde f es una función arbitraria de y.
La ecuación diferencial ordinaria (Similar a la EDP, pero con funciones de una variable) análoga es
que tiene la siguiente solución
Donde c es cualquier valor constante (independiente de x). Estos dos ejemplos ilustran que las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales ordinarias se mantienen con constantes, pero las soluciones de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales generan funciones arbitrarias. Una solución de una ecuación en derivadas parciales generalmente no es única; de tal forma que se tienen que proporcionar condiciones adicionales de contorno capaces de definir la solución de forma única. Por ejemplo, en el caso sencillo anterior, la función {\displaystyle \scriptstyle f(y)\,} puede determinarse si {\displaystyle \scriptstyle u\,} se especifica sobre la línea {\displaystyle \scriptstyle x=0\,}.
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Donde c es cualquier valor constante (independiente de x). Estos dos ejemplos ilustran que las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales ordinarias se mantienen con constantes, pero las soluciones de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales generan funciones arbitrarias.
Una solución de una ecuación en derivadas parciales generalmente no es única; de tal forma que se tienen que proporcionar condiciones adicionales de contorno capaces de definir la solución de forma única.
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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
Definición 2.1 La ecuación en derivadas parciales se llama lineal, si ésta es lineal respecto a la función buscada y todas sus derivadas que forman parte de la ecuación. En caso contrario se llama no lineal.
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Definición 2.2 La EDP de segundo orden para la función de dos variables independientes “x” e “y” en el caso general tiene la forma:
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Siendo A(x, y), B(x, y), C(x, y), a(x, y), b(x, y), c(x, y) funciones de las variables “x” e “y” en una región D ⊂ R2 , y la función incógnita
u = u(x, y). Si f(x, y) = 0 en D ⊂ R 2 , la ecuación EDP se llama homogénea (EDPH)
Notas
Si designamos el primer miembro de la ecuación EDP por L[u] tenemos:
L[u] = f(x, y)
y su correspondiente homogénea L[u] = 0
El operador L es el operador diferencial definido en todo caso en el espacio lineal C2(D) mediante u = u(x, y).
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Propiedades de las soluciones de las EDP
Debido al carácter de linealidad del operador L los siguientes teorema son válidos y representan las propiedades de las soluciones de las EDPH.
Teorema 2.1 Si u(x, y) es la solución de la EDPH L[u] = 0 entonces ku(x, y) es también solución de la homogénea para
k ∈ R.
Teorema 2.2 Si u1(x, y), u2(x, y) son las soluciones de la EDPH L[u] = 0 entonces u1(x, y)+ u2(x, y) es también solución de esta ecuación.
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Teorema 2.3
Sea L[u] = f(x, y)
a) Si u(x, y) es solución de L[u] = f, y v(x, y) es la solución de la homogénea L[u] = 0, entonces u(x, y) + v(x, y) es la solución de L[u] = f.
b) Si u1(x, y) es solución de L[u] = f1 y u2(x, y) es solución de L[u] = f2, entonces u1(x, y)+u2(x, y) es solución de la ecuación L[u] = f1+f2 (Principio de Superposición) Nota La demostración en ambos casos es inmediata debido al carácter de linealidad del operador L.
Clasificación de las EDP de segundo orden de dos variables independientes
Definición 2.3 Sea la EDP de segundo orden:
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en una cierta región Ω ⊂ R 2 (plano OXY ). Se dice:
Hiperbólica en Ω, si ∆ = B2 − AC > 0 en Ω.
Parabólica en Ω, si ∆ = B2 − AC = 0 en Ω.
Elíptica en Ω, si ∆ = B2 − AC < 0 en Ω.
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FORMAS CANÓNICAS
Forma canónica de la ecuación de tipo hiperbólico
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Forma canónica de la ecuación de tipo elíptico
Forma canónica de la ecuación de tipo parabólico
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Casos Particulares
Ecuación de tipo Hiperbólico
Varios de los fenómenos oscilatorios que ocurren en la naturaleza como vibraciones de cuerdas, oscilaciones electromagnéticas, son descritas por ecuaciones de tipo hiperbólicas
Siendo x la coordenada espacial, t el tiempo y a 2 = T/ρ , donde T es la tensión de la cuerda y ρ su densidad lineal.
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Ecuaciones de tipo Parabólico
Las ecuaciones parabólicas son las usadas para la descripción del proceso de conductividad térmica y de difusión.
La forma más simple de la ecuación de conductividad térmica es:
Aquí , donde ρ es la densidad del medio, c es el calor especıfico y K es el coeficiente de conductibilidad térmica.
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Ecuación de tipo Elíptica
Cuando las funciones no dependen del tiempo y se caracterizan por tener ciclos fijos, se determinan por las ecuaciones de tipo elíptica.
La representación típica de esta ecuación es la ecuación de Laplace
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Se puede comprobar que la solución de la ecuación de tipo hiperbólico es:
Las soluciones de la ecuación de tipo parabólico es:
siendo A, α ∈ R arbitrarias y λ es el parámetro numérico.
Las funciones de valor real Pn(x, y), Qn(x, y) que se determinan a partir de la relación .......................... son las soluciones de la ecuación del tipo elíptico para n = 0, 1, 2, . . .
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Este último resultado es un caso particular de la afirmación general que las partes real e imaginaria de la funcion analitica f(z) = u(x, y) + i v(x, y) de la variable compleja z = x + i y son cada una de las soluciones de la ecuación de del tipo elíptico.
Para describir completamente uno u otro proceso fisico es insuficiente solo la ecuacion diferencial del proceso, hace falta plantear las condiciones iniciales de este proceso y el regimen o concidiones iniciales de frontera en la curva S de la región Ω ∈ R n, en la cual tiene lugar el proceso.
Esto se debe a la no unicidad de la solución de las ecuaciones diferenciales .
Se distinguen tres tipos principales de problemas para las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales:
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Planteamiento de problemas para las Ecuaciones Diferenciales Parciales de segundo orden
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a) El problema de Cauchy para las ecuaciones de tipo hiperbólico y parabólico: se plantean las condiciones iniciales, la región coincide con todo el espacio Rn, las condiciones de frontera se omiten.
b) El problema de contorno para las ecuaciones de tipo elíptico: se plantean las condiciones de la frontera S de la región , las condiciones iniciales se omiten.
c) El problema mixto para las ecuaciones de tipo hiperbólico y parabólico: se plantean las condiciones iniciales y las de frontera,
Ω Rn.
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Método de Separación de Variables
Con el método de separación de variables el objetivo es encontrar una solución particular en forma del producto de una función de X y una función de Y.
Mediante esta suposición, con frecuencia es factible reducir una EDP lineal de dos variables en dos EDO. Con este objetivo en mente podemos observar
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EJEMPLO 1
Encuentre las soluciones al producto de
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Formula de Rayleigh – Jeans
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BIBLIOGRAFÍA
- Carlos Sánchez del Rio. FISICA CUANTICA. EDI PIRAMIDE.
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