Теорема ПІФАГОРА
У прямокутному трикутнику Квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів
Обернена ТЕОРЕМА до теореми Піфагора
Якщо у трикутнику сума квадратів двох сторін дорівнює квадрату третьої сторони, то такий трикутник є прямокутним
Більше про Теорему Піфагора на TedEx
Розвʼязання
У ΔABD (∠A=90° ) AB=9 см, AD=40 см, BD- гіпотенуза.
За т. Піфагора BD²=AB²+AD²,
ВІДПОВІДЬ: 41 см
Розвʼязання
Нехай ABCD - заданий ромб, AC, BD його діагоналі, AC∩ BD=O.
АС⊥BD, AO=½ AC, BO=½ BD за властивістю діагоналей ромба. AB=26 см, AC=48 см за умовою, тоді AO=½・48=24 (см).
У ΔAOB (∠O=90° ) за т. Піфагора AB²=BO²+AO² →
Отже, BD=2・10 = 20 (см)
ВІДПОВІДЬ: 20 см
Висота рівностороннього трикутника дорівнює половині його сторони, помноженій на корінь з трьох
Діагональ квадрата у корінь з 2 разів більша за його сторону і навпаки, сторона квадрата у корінь з двох разів менша за його діагональ
Розвʼязання
Нехай B∉ AC, BD丄AC, AB,AC- похилі, AD та DC їх похилі. За умовою AB:BC=5:6, AD=7 см, DC =18 см. Відстанню від точки B до прямої AC є довжина відповідного перпендикуляра, то ж BD- шукана відстань.
Із ΔADC (∠D=90°) за теоремою Піфагора AB²=AD²+BD² →BD²=AB²-AD² (1);
Із ΔCDB (∠D=90°) за теоремою Піфагора BC²=DC²+BD² →BD²=BC²-DC² (2).
Так, як ліві частини рівностей (1) та (2) рівні, то і праві їх частини теж рівні. AB²-AD² = BC²-DC² . Нехай х - коефіцієнт пропорційності, тоді AB=5х см, а BC=6х см . Маємо: (5х)²-7² = (6х)²-18²;
324-49=36х²-25х²;
275=11х²;
х²= 25;
х=±√25;
х=±5
х=-5 не задовольняє умову задачі. Отже, AB=5х=5・5=25 см. Тоді
ВІДПОВІДЬ: 24 см
Чи буде прямокутним трикутник із сторонами 12 см, 13 см та 5 см?
Розвʼязання
12²+5² 13²;
144+25 169;
169 169
Отже, трикутник із заданими сторонами буде прямокутним за Теоремою Оберненою до теореми Піфагора.
ВІДПОВІДЬ: так
Єгипетський трикутник - прямокутний трикутник із співвідношенням сторін 3:4:5
Особливістю такого трикутника, відомою ще з античних часів, є те, що всі його сторони цілочисельні, а згідно з теоремою, оберненою до теореми Піфагора, він є прямокутним. Єгипетський трикутник є найпростішим (і першим відомим) із трикутників з цілочисельними сторонами і площами. Радіус вписаного в трикутник кола рівний одиниці.
ПІФАГОРОВІ трійки
Єгипетський трикутник - прямокутний трикутник із співвідношенням сторін 3:4:5
ПІФАГОРОВІ трійки
Теорема ПІФАГОРА
У прямокутному трикутнику Квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів
Обернена ТЕОРЕМА до теореми Піфагора
Якщо у трикутнику сума квадратів двох сторін дорівнює квадрату третьої сторони, то такий трикутник є прямокутним
BC=CD за властивістю бісектриси гострого кута прямокутного трикутника, тобто CD= 12 см.
Розвʼязання
Нехай ABCD (BC॥AD) - задана прямокутна трапеція. BC= 12 см, AD= 18 см за умовою, ∠D- гострий за побудовою, тоді BD- бісектриса ∠D і його діагональ.
Проведемо висоту CK, CK丄AD. ABCK- прямокутник, бо BC॥AK, як сторони, що лежать на основах трапеції і BA॥CK, як дві прямі , що перпендикулярні до однієї прямої AD, тоді AK=BC=12 см , KD=AD-AK=18-12 = 6 (см) , CK=AB.
Розглянемо ΔCKD (∠К= 90°): CD = 12см, KD=6 см. За теоремою Піфагора CD²=CK²+KD²;
Розглянемо ΔABD (∠A= 90°): AD = 18 см, AB=6√3 см. За теоремою Піфагора BD²=AB²+AD²;
ВІДПОВІДЬ: 12√3 см
Розвʼязання
Нехай К (О; ОВ) задане. CD, EF хорди , CD॥EF, CD= 48 см, EF= 24, GH= 12 см за умовою. Проведемо радіус OB丄CD, OB丄EF. GD=½ CD, HF=½ EF за властивістю хорд перпендикулярних до радіуса, звідси GD=½ 48=24 (см), HF=½ 24=12(см).
Із ΔOGD (∠G= 90°) за теоремою Піфагора OD²=OG²+GD² (1);
Із ΔOHF (∠H= 90°) за теоремою Піфагора OF²=OH²+HF² (2);
OD=OF, як радіуси кола, тоді OD²=OF². Із (1) і (2) маємо: OG²+GD² = OH²+HF².
Нехай OG=х см, OH=OG+GH= (х+12)см, тоді х²+24²=(х+12)²+12²;
х²+576=х²+24х+144+144;
288 = 24х;
х=12
Отже, OD²=OG²+GD² =12²+24²=144+576=720;
OD=√720=12√5 (см)
ВІДПОВІДЬ:12√5 см
Розвʼязання
Нехай CDEF (DE‖CF, ∠C=90°) - задана трапеція, К(О;ОА) - вписане у неї. Позначимо A, I, H, G точки дотику кола до сторін трапеції. За умовою CA=20см, AF=25 см
CA=CI, DI=DH, HE=EG, GF=FA за властивістю відрізків дотичних, проведених з однієї точки до кола. DC- висота трапеції, HA- діаметр вписаного кола за побудовою, DC=HA, як перпендикуляри між двома паралельними прямими. Тоді CI=DI=DH=20 см, GF= 25 см
Проведемо висоту EK. EK=DC=2CI= 2・20 = 40 (см). DE=DH+HE, EF=EG+GF, KF=AF-AK із основної властивості довжини відрізка. Нехай HE=EG=x см, тоді DE=(20+x)см, EF=(х+25) см, KF=(25-х) см.
Розглянемо ΔEKF (∠K= 90°) за теоремою Піфагора EF²=EK²+KF² .
Маємо: (х+25)²=40²+(25-х)²;
х²+50х+625=1600+625-50х+х²;
х=16
Отже, DE=20+x= 20+16=36 (см), EF=х+25=16+25=41(см). P=CD+DG+EF+CF=40+36+41+45= 162 (см)
ВІДПОВІДЬ: 162 см