ผลการเรียนรู้

การแจกแจงความน่าจะเป็น

หน่วยการเรียนรู้ที่

2

โดยปกติแล้ว เราจะเขียน ปริภูมิตัวอย่าง (sample space) ของการทอดลูกเต๋าพร้อมกัน 2 ลูก 1 ครั้ง ได้เป็น

ตัวแปรสุ่ม

1

ตัวแปรสุ่ม

1

แต่ถ้าเราสนใจ ผลรวมของแต้มบนลูกเต๋าที่เกิดจากการทอดลูกเต๋าพร้อมกัน 2 ลูก 1 ครั้ง เราจะเขียนปริภูมิตัวอย่างได้เป็น

ตัวแปรสุ่ม

1

ตัวแปรสุ่ม

1

ตัวแปรสุ่ม

1

ตัวแปรสุ่ม

1

เป็นสับเซตของจำนวนเต็ม

เป็นช่วงของจำนวนจริง

การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม

2

การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม

2

หรือเขียนเป็นฟังก์ชัน f ได้ดังนี้

การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม

2

ฟังก์ชัน f เป็นฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มชนิดไม่ต่อเนื่อง X

ถ้าสำหรับแต่ละค่า x ที่เป็นไปได้ของ X

การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม

2

2) ให้พิจารณาว่า f เป็นฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็นหรือไม่

กำหนด X เป็นตัวแปรสุ่มชนิดไม่ต่อเนื่อง

และ x เป็นค่าของตัวแปรสุ่ม X

1) ให้สร้างตารางแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม X พร้อมทั้งเขียนกราฟ

กำหนด X เป็นตัวแปรสุ่มชนิดไม่ต่อเนื่อง

และ x เป็นค่าของตัวแปรสุ่ม X

โดยที่

การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม

2

กำหนด X เป็นตัวแปรสุ่มชนิดไม่ต่อเนื่อง

และ x เป็นค่าของตัวแปรสุ่ม X

โดยที่

การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม

2

การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม

2

กำหนด X เป็นตัวแปรสุ่มแทนจำนวนลูกแก้วสีแดงที่ได้

1) ให้สร้างตารางแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม X

2) ให้หาฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม X

จากการหยิบลูกแก้ว 4 ลูกพร้อมกัน 1 ครั้ง

จากกล่องที่มีลูกแก้วสีแดง 5 ลูก และลูกแก้วสีฟ้า 7 ลูก

การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม

2

กรณีหยิบลูกแก้วแล้วได้ลูกแก้วสีแดง 0 ลูก ได้ลูกแก้วสีฟ้า 4 ลูก

กรณีหยิบลูกแก้วแล้วได้ลูกแก้วสีแดง 3 ลูก ได้ลูกแก้วสีฟ้า 1 ลูก

จากการหยิบลูกแก้ว 4 ลูกพร้อมกัน 1 ครั้ง

จากกล่องที่มีลูกแก้วสีแดง 5 ลูก และลูกแก้วสีฟ้า 7 ลูก

กำหนด X เป็นตัวแปรสุ่มแทนจำนวนลูกแก้วสีแดงที่ได้

การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม

2

กำหนด X เป็นตัวแปรสุ่มแทนจำนวนลูกแก้วสีแดงที่ได้

จากการหยิบลูกแก้ว 4 ลูกพร้อมกัน 1 ครั้ง

จากกล่องที่มีลูกแก้วสีแดง 5 ลูก และลูกแก้วสีฟ้า 7 ลูก

จากตารางแจกแจงความน่าจะเป็น

ดังนั้น f เป็นฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็น

การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม

2

กำหนด X เป็นตัวแปรสุ่มแทนจำนวนลูกแก้วสีแดงที่ได้

จากการหยิบลูกแก้ว 4 ลูกพร้อมกัน 1 ครั้ง

จากกล่องที่มีลูกแก้วสีแดง 5 ลูก และลูกแก้วสีฟ้า 7 ลูก

การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม

2

พิจารณาตารางแจกแจงความถี่สัมพัทธ์ของน้ำหนักของนักเรียนโรงเรียนอักษรวิทยา

การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม

2

ให้ X เป็นตัวแปรสุ่มแทนน้ำหนักของนักเรียนโรงเรียนอักษรวิทยา ซึ่งมีค่าอยู่ระหว่าง 30 กิโลกรัม ถึง 90 กิโลกรัม

การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม

2

นักเรียนสามารถสร้างฮิสโทแกรมจากข้อมูลข้างต้นได้ ดังนี้

การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม

2

45

60

75

90

น้ำหนัก

ความถี่สัมพัทธ์

40

70

การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม

2

ตัวแปรสุ่มชนิดต่อเนื่อง X อาจจะมีการแจกแจงเป็นกราฟของฟังก์ชัน f

โดยพื้นที่ใต้กราฟเท่ากับ 1 ซึ่งแทนข้อมูลทั้งหมด

โดยจะเรียกฟังก์ชัน f ว่า ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น (probability density function, p.d.f.)

และหาความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม X บนช่อง (a, b) ได้โดย

การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม

2

นอกจากนี้ จากสมบัติของการหาปริพันธ์ จะได้ว่า

ฟังก์ชัน f เป็นฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มชนิดต่อเนื่อง X

สำหรับแต่ละค่า x ที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม X

การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม

2

เพราะ ณ ที่จุด ๆ เดียว จะไม่เกิดพื้นที่ใต้กราฟ

การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม

2

ฟังก์ชันการแจกแจงสะสมของตัวแปรสุ่ม

3

จากนิยามของฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็นสะสม (cumulative distribution function, c.d.f.)

จะเห็นว่า โดเมนของ F เป็น เซตของจำนวนจริง

ฟังก์ชันการแจกแจงสะสมของตัวแปรสุ่ม

3

1. ให้หาฟังก์ชันการแจกแจงสะสมของตัวแปรสุ่ม X

3. วาดกราฟของฟังก์ชัน F

ฟังก์ชันการแจกแจงสะสมของตัวแปรสุ่ม

3

ฟังก์ชันการแจกแจงสะสมของตัวแปรสุ่ม

3

ฟังก์ชันการแจกแจงสะสมของตัวแปรสุ่ม

3

ฟังก์ชันการแจกแจงสะสมของตัวแปรสุ่ม

3

ค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่ม

4

ค่าคาดหมายหรือค่าเฉลี่ย เป็นค่ากลางของตัวแปรสุ่ม โดยแนวโน้มของผลลัพธ์จากการทดลองจะมีค่าใกล้เคียง

ค่ากลางนี้

ค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่ม X เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ E(X) หาได้จากผลบวกของผลคูณของค่าที่เป็นไปได้

กับความน่าจะเป็นของค่านั้น

ค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่ม

4

ให้หาค่าคาดหมายของเงินที่ได้รับจากรางวัลเลขท้าย 2 ตัว ของการซื้อสลากกินแบ่งรัฐบาล 1 ใบ

วิธีทำ

เนื่องจากการซื้อสลากกินแบ่งรัฐบาล 1 ใบ

ถ้าถูกรางวัลจะได้รับเงิน 2,000 บาท เมื่อหักค่าสลากที่ซื้อ 80 บาท

จะเหลือ 1,920 บาท

ถ้าไม่ถูกรางวัลจะเสียเงิน 80 บาท

ให้ X เป็นตัวแปรสุ่มแทนเงินที่จะได้รับจากรางวัลเลขท้าย 2 ตัว ของการซื้อสลากกินแบ่งรัฐบาล 1 ใบ

ค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่ม

4

ค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่มชนิดไม่ต่อเนื่อง

ให้ X เป็นตัวแปรสุ่มชนิดไม่ต่อเนื่องที่มี f เป็นฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็น

ให้หา E(X)

วิธีทำ

ให้หา 1) ตารางแจกแจงความน่าจะเป็น

ค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่ม

4

ให้ X เป็นตัวแปรสุ่มแทนจำนวนครั้งที่เหรียญออกหัว เมื่อโยนเหรียญเที่ยงตรง 1 เหรียญ จำนวน 3 ครั้ง

2) ค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่ม

วิธีทำ

2) ค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่ม

ค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่ม

4

สำหรับตัวแปรสุ่มชนิดต่อเนื่องก็สามารถนิยามได้ในทำนองเดียวกัน ดังนี้

ค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่มชนิดต่อเนื่อง

ค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่ม

4

วิธีทำ

ให้หาค่าคาดหมายของน้ำหนักของนักเรียนในโรงเรียนเจริญทัศน์

ค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่ม

4

สมบัติของค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่มชนิดต่อเนื่อง

กำหนด X เป็นตัวแปรสุ่มชนิดต่อเนื่องที่มี f เป็นฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น จะได้

จากสมบัติของค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่ม ให้ a และ b แทนจำนวนจริงใด ๆ จะได้ว่า

ค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่ม

4

1. ให้หาค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่ม X

2. ถ้าแต้มแต่ละหน้าบนลูกเต๋าเปลี่ยนเป็น 5, 8, 11, 14, 17 และ 20 ตามลำดับ ให้หาค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่มนี้

วิธีทำ

ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม

5

ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มเป็นค่าที่ใช้บ่งบอกว่าผลลัพธ์ที่ได้จากการทดลองสุ่มมีแนวโน้มว่าห่างจากค่าคาดหมาย (ค่าเฉลี่ย)

ประมาณเท่าใด โดยมีบทนิยาม ดังนี้

จากความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม X และสมบัติของค่าคาดหมาย สามารถจัดรูปความแปรปรวน

ของตัวแปรสุ่ม X ได้ ดังนี้

ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม

5

ให้ X เป็นตัวแปรสุ่มแทนจำนวนครั้งที่เหรียญออกหัว เมื่อโยนเหรียญเที่ยงตรง 1 เหรียญ 3 ครั้ง

วิธีที่ 1

ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม

5

วิธีที่ 2

ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม

5

วิธีที่ 1

ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม

5

วิธีที่ 2

ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม

5

สมบัติของความแปรปรวน

วิธีทำ

พิจารณาตัวแปรสุ่มต่อไปนี้

การแจกแจงความน่าจะเป็นชนิดไม่ต่อเนื่องบางชนิด

6

การแจกแจงความน่าจะเป็นชนิดไม่ต่อเนื่องบางชนิด

6

การแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่อง

การแจกแจงความน่าจะเป็นชนิดไม่ต่อเนื่องบางชนิด

6

ในกรณี X เป็นตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่อง จะได้ E(X) และ V(X) ดังทฤษฎีบทต่อไปนี้

การแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่อง

การแจกแจงความน่าจะเป็นชนิดไม่ต่อเนื่องบางชนิด

6

วิธีทำ

การแจกแจงความน่าจะเป็นชนิดไม่ต่อเนื่องบางชนิด

6

ครั้งที่ 1

ครั้งที่ 2

ครั้งที่ 3

ครั้งที่ n

การแจกแจงความน่าจะเป็นชนิดไม่ต่อเนื่องบางชนิด

6

ในการหาฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มทวินาม จะใช้ความรู้ว่า

เพราะว่าในการทดลองแต่ละครั้งของตัวแปรสุ่ม X นั้นอิสระต่อกัน

การคำนวณความน่าจะเป็นของการทดลอง n ครั้ง จึงเกิดจากการคูณกันของความน่าจะเป็นในการทดลองแต่ละครั้ง

การแจกแจงความน่าจะเป็นชนิดไม่ต่อเนื่องบางชนิด

6

ในการทำข้อสอบปรนัย 5 ตัวเลือก จำนวน 4 ข้อ อย่างสุ่ม

วิธีทำ

การแจกแจงความน่าจะเป็นชนิดไม่ต่อเนื่องบางชนิด

6

สำหรับกรณีอื่น ๆ สามารถหาความน่าจะเป็นได้จาก

ดังนั้น

การแจกแจงความน่าจะเป็นชนิดไม่ต่อเนื่องบางชนิด

6

การแจกแจงทวินาม

และสามารถหาค่าคาดหมายและความแปรปรวนได้ดังทฤษฎีบทต่อไปนี้

การแจกแจงทวินาม

การแจกแจงความน่าจะเป็นชนิดไม่ต่อเนื่องบางชนิด

6

ในการทดลองทวินาม 20 ครั้ง โดยโอกาสที่จะเกิดความสำเร็จแต่ละครั้ง คือ 0.2 ให้หา

1) โอกาสที่จะเกิดความสำเร็จไม่เกิน 7 ครั้ง

2) โอกาสที่จะเกิดความสำเร็จ 7 ครั้ง

3) โอกาสที่จะเกิดความสำเร็จมากกว่า 7 ครั้ง

4) โอกาสที่จะเกิดความไม่สำเร็จอย่างน้อย 13 ครั้ง

รายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 เล่ม 2 หน้า 213

การแจกแจงความน่าจะเป็นชนิดไม่ต่อเนื่องบางชนิด

6

วิธีทำ

VDO

การแจกแจงความน่าจะเป็นชนิดต่อเนื่องบางชนิด

7

วิธีทำ

การแจกแจงความน่าจะเป็นชนิดต่อเนื่องบางชนิด

7

การแจกแจงความน่าจะเป็นชนิดต่อเนื่องบางชนิด

7

จากตัวอย่างข้างต้น สามารถสรุปเกี่ยวกับค่าคาดหมายและความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มเอกรูปชนิดต่อเนื่องได้ ดังนี้

วิธีทำ

การแจกแจงความน่าจะเป็นชนิดต่อเนื่องบางชนิด

7

การแจกแจงความน่าจะเป็นชนิดต่อเนื่องบางชนิด

7

ถ้าตัวแปรสุ่ม X มีการแจกแจงแบบปกติ จะสามารถเขียนกราฟของฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นได้เป็นเส้นโค้งปกติ

การแจกแจงความน่าจะเป็นชนิดต่อเนื่องบางชนิด

7

การแจกแจงปกติ

การแจกแจงความน่าจะเป็นชนิดต่อเนื่องบางชนิด

7

ทำให้หาผลลัพธ์จากการอินทิเกรตยาก จึงมีวิธีการแก้ คือ ปรับเส้นโค้งปกติให้เป็นเส้นโค้งปกติมาตรฐาน

การแจกแจงความน่าจะเป็นชนิดต่อเนื่องบางชนิด

7

จากตารางที่ 2 ในหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร์ ม.6 เล่ม 2 หน้า 217 จะได้ว่า

การแจกแจงความน่าจะเป็นชนิดต่อเนื่องบางชนิด

7