Тригонометричні функції гострого кута прямокутного трикутника

На рисунку зображено прямокутний трикутник ABC (∠C = 90°). Нагадаємо, що катет BC називають протилежним куту A, а катет AC — прилеглим до цього кута.

Означення. Синусом гострого кута прямокутного трикутника називають відношення протилежного катета до гіпотенузи.

Синус кута A позначають так: sin A (читають: «синус А»). Для гострих кутів A і B прямокутного трикутника ABC маємо:

Для прямокутного трикутника, зображеного на рисунку,

можна записати:

Розглянемо прямокутний рівнобедрений трикутник ABC (∠C = 90°), у якому AC = BC = a

Якщо гострий кут одного прямокутного трикутника дорівнює гострому куту другого прямокутного трикутника, то синуси цих кутів рівні.

Справді, ці прямокутні трикутники є подібними за першою ознакою подібності трикутників. Тому відношення катета до гіпотенузи одного трикутника дорівнює відношенню відповідного катета до гіпотенузи другого трикутника.

Наприклад, запис sin 17° можна віднести до всіх кутів, градусні міри яких дорівнюють 17°. Значення цього синуса можна обчислити один раз, вибравши довільний прямокутний трикутник з гострим кутом 17°.

Отже, синус гострого кута залежить тільки від величини цього кута.

Означення. Косинусом гострого кута прямокутного трикутника називають відношення прилеглого катета до гіпотенузи.

Косинус кута A позначають так: cos A (читають: «косинус А»).

Для гострих кутів A і B прямокутного трикутника ABC можна записати:

Для прямокутного трикутника, зображеного на рисунку,

можна записати:

Катет прямокутного трикутника менший від його гіпотенузи, а тому синус і косинус гострого кута менші від 1.

Означення. Тангенсом гострого кута прямокутного трикутника називають відношення протилежного катета до прилеглого.

Тангенс кута A позначають так: tg A (читають: «тангенс А»).

Для гострих кутів A і B прямокутного трикутника ABC можна записати:

Для прямокутного трикутника, зображеного на рисунку,

можна записати:

Косинус і тангенс гострого кута залежать тільки від величини цього кута.

Тангенс гострого кута можна виразити через синус і косинус цього самого кута. Розглянемо прямокутний трикутник.

Цю формулу називають основною тригонометричною тотожністю.

Значення синуса, косинуса і тангенса для кутів 30°, 45° і 60° корисно запам’ятати.

581.° Катет і гіпотенуза прямокутного трикутника відповідно дорівнюють 8 см і 10 см. Знайдіть:

1. синус кута, який лежить проти меншого катета;
2. косинус кута, який прилягає до більшого катета;
3. тангенс кута, протилежного меншому катету.

582.° Катети прямокутного трикутника дорівнюють 3 см і 2 см.

Знайдіть:

1. тангенс кута, прилеглого до більшого катета;
2. синус кута, протилежного меншому катету;
3. косинус кута, прилеглого до більшого катета.

585.° У трикутнику ABC відомо, що ∠C = 90°, BC = 77 см, AB = 125 см. Знайдіть синуси гострих кутів трикутника.

586.° У трикутнику ABC відомо, що ∠C = 90°, BC = 41 см, AC = 20 см. Знайдіть косинуси гострих кутів трикутника.

590.^• Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 24 см, а бічна сторона — 13 см. Знайдіть синус, косинус і тангенс кута між бічною стороною трикутника та висотою, проведеною до його основи.

591.^• Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 17 см, а висота, проведена до основи, — 8 см. Знайдіть синус, косинус і тангенс кута при основі трикутника.

594.^• У трапеції ABCD відомо, що AB = CD = 9 см, BC = 10 см, AD = 14 см. Знайдіть синус, косинус і тангенс кута A трапеції.

595.^• У прямокутній трапеції ABCD відомо, що BC || AD, ∠A = 90°, AB = 4 см, BC = 8 см, AD = 12 см. Знайдіть кути трапеції.

596.^• Доведіть, що тангенси гострих кутів прямокутного трикутника є взаємно оберненими числами.

599.^•• Катети прямокутного трикутника дорівнюють 30 см і 40 см. Знайдіть синус, косинус і тангенс кута між медіаною та висотою, проведеними до гіпотенузи.

600.^•• У трикутнику ABC відомо, що AB = BC, BD і AM — висоти трикутника, BD : AM = 3 : 1. Знайдіть cos C.

602.^* Доведіть, що кути ABC і DEF, зображені на рисунку 184, рівні.

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

603. Бісектриси кутів A і B паралелограма ABCD перетинаються в точці M, AB = 6 см. Знайдіть радіус кола, яке проходить через точки A, B і M.

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

604. Хорди AB і BC кола перпендикулярні, а відстань між їхніми серединами дорівнює 12 см. Знайдіть радіус кола.

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

605. У трикутнику ABC відомо, що BK — висота, AM — бісектриса, BK = 26 см, AB : AC = 6 : 7. Із точки M опущено перпендикуляр MD на сторону AC. Знайдіть відрізок MD.

.

СПОСТЕРІГАЙТЕ, РИСУЙТЕ, КОНСТРУЮЙТЕ, ФАНТАЗУЙТЕ

606. Дано два круги, які не мають спільних точок. Чи існує точка, що не належить жодному з кругів, така, що будь-яка пряма, яка проходить через цю точку, перетинає хоча б один із цих кругів?