BAB 2

Fungsi Persamaan, dan Pertidaksamaan Kuadrat

Fungsi

A. Fungsi atau Pemetaan

Fungsi atau pemetaan adalah relasi himpunan A ke himpunan B yang memasangkan setiap anggota himpunan A dengan tepat pada satu anggota pada himpunan B.

B. Daerah Asal, Daerah Kawan, dan Daerah Hasil

Misalkan f sebuah fungsi yang memetakan tiap anggota himpunan A ke himpunan B (f : A → B), maka:

1. himpunan A dinamakan daerah asal (domain) fungsi f,
2. himpunan B dinamakan daerah kawan (kodomain) fungsi f,
3. himpunan semua anggota B yang dipasangkan dengan tiap anggota himpunana A dinamakan wilayah hasil (range) fungsi f.

C. Beberapa Macam Fungsi Khusus

1. Fungsi Konstan

Fungsi konstan adalah suatu fungsi y = f (x) dengan f(x) sama dengan sebuah konstanta (tetapan) untuk semua nilai x dalam sebuah daerah asalnya.

f : x → f(x) = k

dengan x ∈ R dan k adalah sebuah konstanta atau nilai tetapan.

2. Fungsi Identitas

Fungsi identitas adalah fungsi y = f (x) dengan f(x) = x untuk semua nilai x dalam daerah asalnya.

3. Fungsi Linear

Fungsi linear adalah y = f(x) dengan f(x) = ax + b (a dan b ∈ R, a ≠ 0) untuk semua x dalam daerah asalnya.

4. Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat adalah fungsi y = f(x) = ax² + bx + c ∈ R, a ≠ 0) untuk semua nilai x dalam daerah asalnya.

Grafik fungsi kuadrat f (x) = ax² + bx + c dikenal sebagai parabola.

5. Fungsi Modulus atau Fungsi Nilai Mutlak

Fungsi modulus atau fungsi nilai mutlak adalah fungsi y = f (x) dengan f(x) = 1 x 1 untuk semua nilai x dalam daerah asalnya. Bentuk 1 x 1 dibaca sebagai “nilai mutlak x” dan didefinisikan sebagai berikut.

D. Fungsi Surjektif, Fungsi Injektif, dan Fungsi Bijektif

2. Fungsi Injektif

3. Fungsi Bijektif

Fungsi linear adalah fungsi y = f(x) dengan f(x) = ax + b (a dan b ∈ R, a ≠ 0) untuk semua x dalam daerah asalnya.

Fungsi linear juga dikenal sebagai fungsi polinom atau fungsi suku banyak berderajat satu dalam variabel x.

Fungsi Linear

Fungsi Kuadrat

Contoh:

• f(x) = x² - 1
• f(x) = 2x² - 6x
• f(x) = x² - 4x + 3
• f(x) = -3x² + 4x – 3

Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat

• Jika b² − 4ac > 0, maka grafik fungsi f memotong sumbu X di dua titik

yang berlainan.

• Jika b² − 4ac = 0, maka grafik fungsi f memotong sumbu X di dua titik

yang berimpit.

• Jika b² − 4ac < 0, maka grafik fungsi f tidak memotong maupun

menyinggung sumbu X.

• Jika c > 0, maka grafik fungsi f memotong sumbu Y di atas titik asal 0.
• Jika c = 0, maka grafik fungsi f memotong sumbu Y tepat di titik asal 0.
• Jika c < 0, maka grafik fungsi f memotong sumbu Y dibawah titik asal 0.

b. Titik Potong dengan Sumbu Y

2. Titik Puncak atau Tititk Balik dan Persamaan Sumbu Simetri

Menggambarkan Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat

Langkah 1

Tentukan titik potong dengan sumbu X dan sumbu Y.

Langkah 2

Tentukan titik puncak atau titik balik serta persamaan sumbu simetrinya.

Langkah 3

Gambarkan koordinat titik-titik hasil Langkah 1 dan Langkah 2 pada bidang koordinat. Kemudian hubungkan titik-titik itu dengan kurva yang mulus, dengan memperhatikan apakah parabola itu terbuka ke atas atau ke bawah.

Membentuk Fungsi Kuadrat

Bentuk Umum Persamaan Kuadrat

Dalam persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0,

- a adalah koefisien dari x²

- b adalah koefisien dari x

- c adalah suku tetapan

Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Untuk menyelesaikan (menentukan akar-akar) persamaan kuadrat dengan cara:

1. memfaktorkan
2. melengkapkan kuadrat sempurna,
3. menggunakan rumus kuadrat, dan
4. menggambarkan sketsa grafik fungsi f(x) = ax² + bx + c.

Diskriminan Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat ax² + bx + c dengan nilai diskriminan D = b² − 4ac,

1. Jika D > 0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar real yang

berlainan.

2. Jika D = 0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar yang sama

(akar kembar), real, dan rasional.

3. Jika D < 0, maka persamaan kuadrat tidak mempunyai akar real atau

kedua akarnya tidak real (imajiner).

a) Jika D berbentuk kuadrat sempurna, maka kedua akarnya rasional.

b) Jika D tidak berbentuk kuadrat sempurna, maka kedua akarnya

irasional.

Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Akar-akar persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) ditentukan dengan rumus kuadrat:

Jika x dan x adalah akar-akar persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0; dengan a ≠ 0,

Jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat itu ditentukan dengan rumus:

Menyusun Persamaan Kuadrat

Pertidaksamaan Kuadrat

Bentuk baku dari pertidaksamaan kuadrat dalam variabel x ada 4 macam, yaitu:

1. ax² + bx + c < 0

2. ax² + bx + c ≤ 0

3. ax² + bx + c > 0

4. ax² + bx + c ≥ 0

dengan a, b, c bilangan-bilangan real dan a ≠ 0.

Penyelesaian atau himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat dalam variabel x dapat ditentukan dengan dua cara, yaitu:

1. Sketsa grafik fungsi kuadrat
2. Garis bilangan

Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat dengan Menggunakan Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat

Langkah 1

Gambarlah sketsa grafik kuadrat f(x) = ax² + bx + c atau parabola y = ax² + bx + c

Langkah 2

Berdasarkan sketsa grafik yang diperoleh pada Langkah 1, kita dapat menetapkan

selang atau interval yang memenuhi pertidaksamaan kuadrat ax² + bx + c < 0,

ax² + bx + c ≤ 0, ax² + bx + c > 0, atau ax² + bx + c ≥ 0.

Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat dengan Menggunakan Garis Bilangan

Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat x² − 4x + 3 < 0

Carilah nilai-nilai nol (jika ada) dari bagian ruas kiri pertidaksamaan

x² − 4x + 3 = 0

⇔ (x − 1)(x − 3) = 0

⇔ x = 1 atau x = 3

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah HP = {xl1 < x < 3}