Підготовка до НМТ

з математики

​

Тема: «Логарифмічні рівняння, нерівності»

​

Підготувала Білицька В.Г.,

учитель математики ліцею № 35

​

Логарифмічні рівняння.

Рівняння, що містять змінну під знаком логарифма (в основі логарифма), називаються логарифмічними.

Наприклад.

Розглянемо деякі види логарифмічних рівнянь та методи їх розв’язання.

Але спочатку відео

Найпростіші логарифмічні рівняння

�

Приклад 1

1. Знаходимо (ОДЗ)
2. Використовуємо означення логарифма

ОДЗ:

Розв’язання

Х = 26

Приклад 2

Сторонній корінь

ОДЗ:

Розв’язання

Завдання ЗНО

3

4

Рівняння виду

або

Приклад:

Розв’язання

Х = -1

- 1,6

Зведення рівнянь до найпростіших за допомогою властивостей логарифмів

1. Знайти ОДЗ
2. За допомогою властивостей логарифмів звести рівняння до найпростішого
3. Розв’язати отримане рівняння, перевірити належність коренів ОДЗ.

ОДЗ:

Приклад:

Розв’язання

Помножимо обидві частини рівняння на 2

Не належить ОДЗ

Завдання ЗНО

Зведення логарифмічного рівняння до алгебраїчного

Логарифмічне рівняння можна звести до алгебраїчного заміною змінної

Приклад:

Розв’язання

�

ОДЗ:  x+4>0

x>−4

x∈(−4;+∞)�

0,5=x+4

0,5−4=x

x=−3,5

8=x+4

8−4=x

x=4�

x=−3,5 та x=4  обидва належать ОДЗ

Відповідь: −3,5;4

заміна

Обернена заміна

Логарифмування

Приклад:

�

Прологарифмуємо обидві частини

рівняння з основою 2�

�

Прологарифмуємо обидві частини

рівняння з основою 2�

Розв’язання

Розв’язання

ОДЗ:

x>0

�

x≠1

За теоремою Вієта

=2

=- 1

Обидва значення належать ОДЗ.

Завдання ЗНО

5,04

Логарифмічні нерівності

Логарифмічні нерівності - це нерівності, що містять змінну під знаком логарифма. Наприклад: log₃ (x² - 3 x + 3) > 1.

 Розв'язування логарифмічних нерівностей ґрунтується на властивості монотонності логарифмічної функції.

Тому розв'язування нерівностей виду logaf(x)>logag(x) зводиться до розв'язування відповідних нерівностей для функцій f(x) і g(x).

�

Приклад №1:

Оскільки 0 < 0,5 < 1, то при переході до підлогарифмічних функцій знак нерівності змінюємо на протилежний.

Врахуємо, що х – 2 > 0, тоді умова 2х – 3 > 0 справджується автоматично.

Х – 2 < 2х – 3,

Х – 2 >0

Розв’язання

Оскільки

то можна записати

Ця нерівність рівносильна :

Розв’язання

,

Звідси х > 8

Отже, маємо :

Х – 2 < 2х – 3,

Приклад №2:

Х > 1

Х > 2

Х > 2

ОДЗ:

ВІДЕО

Розв’язування більш складних логарифмічних нерівностей

За допомогою рівносильних перетворень задана нерівність зводиться до нерівності відомого виду

ОДЗ: 

Розв’язання

x>0

На цій ОДЗ задана нерівність рівносильна нерівностям

Заміна

Множина розв’язків

Обернена заміна

Тоді

-2 1

+ +

- t

U

Завдання ЗНО