Ch 3: Quelques distributions usuelles
La loi normale est le modèle le plus utilisé en statistique. Elle possède l’avantage d’approcher des distributions de sommes de variables indépendantes. Elle fut découverte par Karl Friedrich Gauss (1777-1855).
Définition : On dit qu’une variable aléatoire X suit une loi normale de paramètres et , si sa densité est de la forme :
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pour tout x dans IR
La loi normale de paramètres et est notée:
Résultats:
Soit X une variable aléatoire distribuée selon une loi
normale de paramètres et : .
Alors on montre que:
et
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1.1 Graphe d’une loi normale : La courbe a une forme de cloche. Elle est symétrique par rapport à la droite verticale passant par la moyenne. L’écart type représente la distance entre l’axe de symétrie et le point d’inflexion de la courbe (changement de courbure).
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Effet de la moyenne : lois normales de variances égales mais de moyennes différentes.
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Effet de la variance : lois normales de même moyenne mais de variances différentes.
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1.2 Loi normale centrée réduite
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La loi normale de moyenne et de variance
est appelée loi normale centrée réduite.
La variable aléatoire qui suit une normale centrée
réduite.
Sa densité est alors:
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1.3 Fonction de répartition de la loi normale
centrée réduite
La fonction de répartition de la loi normale N(0,1)
nous permet le calcul des probabilités par la table
de la loi normale. Elle est définie par :
et représente la surface, située à gauche de x, entre la courbe de densité et l’axe des abscisses :
où ,
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Résultat : Si alors .
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2. La loi de khi-carré
Soit X une v.a continue. On dit que X suit la loi de
Khi-carré à d.d.l notée si sa fonction densité est :
où est une constante positive.
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Résultat
étant p variables indépendantes et distribuées selon la loi normales centrée et réduite.
Alors
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3. La loi de Student
Soit X une v.a continue. On dit que X suit la loi de Student à ( ) degrés de liberté (d.d.l) si sa fonction densité est :
où t est une constante positive.
On montre que:
E(X)=0 et Var(X)= si
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Résultat
Soient U et X deux v.a indépendantes telles que
et
alors
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4. La loi de Fisher
Soit X une v.a continue. On dit que X suit la loi de
Fisher à et d.d.l notée si sa fonction densité est :
où C est une constante positive.
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Résultat
Soient X et Y deux v.a indépendantes telles que
et
Alors
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