Page 1 of 24

3.

ÎNCOVOIEREA BARELOR DREPTE

3.1 Generalităţi

Solicitarea de încovoiere apare într-o bară dreaptă, dacă în secţiunile ei

transversale se dezvoltă momente încovoietoare şi forţe tăietoare, dirijate după

axele principale de inerţie. În funcţie de tipul de efort care acţionează în secţiunea

transversală, solicitarea de încovoiere este:

• încovoiere pură, atunci când există numai moment încovoietor, iar în acest caz,

în secţiune se produc tensiuni normale;

• încovoiere simplă, atunci când există, concomitent, moment încovoietor şi forţă

tăietoare, iar în secţiune se produc şi tensiuni tangenţiale.

Încovoierea pură este o solicitare mai rar întâlnită, pe când încovoierea

simplă este cea mai răspândită. În acest capitol se prezintă încovoierea pură iar în

capitolul următor încovoierea simplă, numită de unii autori forfecarea cu

încovoiere datorită tensiunilor tangenţiale ce apar în secţiune.

3.2 Diagrame de eforturi la bare drepte supuse la

încovoiere

Barele drepte încărcate în plan vertical sunt supuse la încovoiere, iar

pentru acestea trebuie stabilită secţiunea periculoasă.

Trasarea diagramelor de eforturi este prima etapă în determinarea

oricărei cerinţe de calcul. Diagramele de eforturi sunt reprezentări grafice ale

variaţiei eforturilor în lungul axei barelor care alcătuiesc o structură, în vederea

stabilirii secţiunilor în care urmează a se efectua calcule de rezistenţă.

Page 2 of 24

ELEMENTE DE REZISTENŢA

MATERIALELOR

3.2.1 Relaţii diferenţiale între eforturi şi încărcare

Se consideră un element de lungime dx, detaşat dintr-o bară dreaptă

solicitată prin sarcini conţinute în planul Oxz. Eforturile T, M, T+dT şi M+dM se

obţin din suprimarea porţiunii din bară, din stînga şi din dreapta elementului

respectiv, conform figurii 3.1.

Fig. 3.1

Din ecuaţia de proiecţii a forţelor pe verticală rezultă

T - q⋅dx - ( T+dT ) = 0, de unde q =

dx

dT

− , (3.1)

adică derivata funcţiei forţei tăietoare în raport cu axa Ox este egală cu sarcina

distribuită q, luată cu semn schimbat.

Ecuaţia de momente scrisă faţă de secţiunea din dreapta este

M + T⋅dx - q⋅

2

dx dx ⋅ - ( M + dM ) = 0,

de unde, neglijând termenul infinit mic de ordin doi, rezultă

T =

dx

dM , (3.2)

adică derivata funcţiei momentului încovoietor în raport cu axa Ox este egală cu

forţa tăietoare.

Relaţiile: ; ; q,

dx

d M T

dx

dM

q

dx

dT

2

2

= − = = − (3.3)

reprezintă relaţiile diferenţiale între eforturi şi încărcare, la bare drepte.

Aceste relaţii conduc la o serie de concluzii utile pentru trasarea

diagramelor şi anume:

42

Page 3 of 24

3. ÎNCOVOIEREA BARELOR DREPTE

• valoarea sarcinii distribuite q dă panta curbei de variaţie a forţei tăietoare. Pe

porţiunea unde q = 0, forţa T este constantă;

• valoarea forţei tăietoare T într-o secţiune dă panta curbei de variaţie a

momentului încovoietor;

• pe intervalul în care forţa T este pozitivă, momentul încovoietor creşte şi

invers;

• pe intervalul pe care nu există sarcină distribuită, forţa tăietoare este

constantă, iar momentul încovoietor variază liniar;

• pe intervalul cu sarcină uniform distribuită, forţa tăietoare variază liniar, iar

momentul încovoietor variază parabolic. Parabola are o valoare de extrem în

acest interval, dacă în acea secţiune, forţa tăietoare se anulează (dreapta care

o reprezintă taie axa Ox);

• în punctele în care se aplică o forţă concentrată, diagrama T are un salt, iar

diagrama M îşi schimbă panta;

• în punctele în care este aplicat un cuplu, în diagrama T nu se înregistrează

nicio modificare, dar M are un salt.

3.2.2 Trasarea diagramelor de eforturi

Pentru trasarea diagramelor sunt necesare etapele enunţate mai jos.

1) Stabilirea expresiilor analitice ale eforturilor

Pentru stabilirea expresiilor analitice ale eforturilor se alege un punct de

plecare situat la unul din capetele barei şi se iau în considerare toate forţele

exterioare, care acţionează de la capătul barei până la o secţiune curentă (de abscisă

oarecare x).

Eforturile sunt următoarele:

♦ forţa tăietoare T, egală cu suma proiecţiilor pe normala Oz, faţă de axa barei,

ale tuturor forţelor care acţionează de la capătul barei până la secţiunea

considerată;

♦ momentul încovoietor M, egal cu suma cuplurilor şi a momentelor forţelor care

acţionează de la capătul barei până la secţiunea considerată.

Rezultă că pentru scrierea expresiei unuia din eforturi, se alege pentru

fiecare interval al barei o secţiune oarecare şi faţă de ea, se scrie expresia analitică

corespunzătoare.

2) Convenţia de semne este cea dată în capitolul 1.

3) Reprezentarea grafică a expresiilor analitice ale eforturilor

43