Grados de libertad.docx

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Grados de libertad:

se dice que un grado metálico tiene un grado de libertad, si podemos expresar su

posición geométrica en cualquier instante mediante un solo número. Sea, por ejemplo,

un embolo que se mueve confinado en un cilindro. Como su posición, en cualquier

instante, puede determinarse por su distancia desde el extremo del cilindro, tenemos,

por lo tanto, un sistema con un grado de libertad. Otro ejemplo es el caso de un cigüeñal

que descansa en unos cojinetes rígidos.

Aquí, la posición del sistema queda completamente determinada por el ángulo de forma

cualquiera de sus codos con el plano vertical. Un peso suspendido en un resorte, de tal

suerte que se vea restringido por guías que le permitan desplazarse solamente en

dirección vertical, en un sistema típico de vibraciones con un solo grado de libertad

(Fig. 1).

En general, podemos decir que si para especificar la posición de un sistema mecánico

se requieren n números, el sistema tiene n grados de libertad. Un disco que se mueve en

plano sin restricción alguna tiene tres grados de libertada que son: los desplazamientos x

y y del centro de gravedad y el ángulo de rotación con respecto a su centroide. Un

cilindro que rueda por un plano inclinado tiene un grado de libertad. Si por otro lado, su

descenso consiste tanto en rodamiento como en deslizamiento, tendrá dos grados de

libertad: uno debido a la traslación y el otro a la rotación.

Un cuerpo rígido que se mueve libremente en el espacio, tiene seis grados de libertad:

tres por las traslaciones y tres por las rotaciones. En consecuencia, para definir su

posición se requieren tres números o coordenadas se denominan, generalmente x, y, z,

ᵩ,, X . Un sistema de dos cuerpos rígidos unidos por medio de un resorte o cualquier

otra sujeción, de tal suerte que cualquier cuerpo pueda moverse solamente en una línea

recta sin poder girar, tiene dos grados de libertad (fig. 2).

El par de magnitudes que determina la posición de este sistema que puede escogerse de

manera mas o menos arbitraria. Por ejemplo, podemos llamar x1 a la distancia desde un

punto fijo O al primer cuerpo y x2 a la distancia desde el punto O al segundo cuerpo.

Luego x1 y x2 serán las coordenadas y denominarlas y1. Para la otra coordenada

podemos escoger la distancia entre los dos cuerpos, y2=x2-x1.

El par de números x1, x2 describe completamente su posición; pero también queda

determinada con el par y1, y2. esta ultima selección tiene en esta caso una cierta ventaja

practica, ya que, en general, no suele interesarnos tanto la posición del sistema en

conjunto, como los esfuerzos dentro de el. El esfuerzo de resiste de la figura 1 queda

completamente determinado por y2, así es que para su calculo no se requiere de el valor

e y1. una selección adecuada de las coordenadas de un sistema con varios grados de

libertad pueden simplificar considerablemente los cálculos.

No debemos suponer que un sistema con un solo grado de libertad sea siempre muy

sencillo. Poe ejemplo, un motor de gasolina de 12 cilindros con un cigüeñal rígido y un

bloque de cilindros rígidamente montado, tiene un solo grado de libertad con todos sus

émbolos movibles. Vástagos, válvulas, árbol de levas, etc. Esto resulta así porque un

solo numero determina completamente la posición de cada una de las partes móviles del

motor. Sin embargo, si el bloque de cilindros esta montado en bloques de resortes

flexibles que le permitan moverse en cualquier dirección, el sistema tiene grados de

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libertad, que son los seis pertenecientes al bloque como el cuerpo rígido libre en el

espacio y el Angulo de cigüeñal como la séptima coordenada.

Un sistema completamente flexible tiene un numero infinito de grados de

libertad. Considere, por ejemplo, un viga flexible con dos apoyos. Mediante una

solicitación de carga adecuada, es posible pandear la viga haciéndola una curva de

cualquier configuración (fig. 2). La descripción de esta curva requiere función y=f(x),

que es equivalente a un numero infinito de pares de valores. En cada punto x de la viga,

se puede obtener la fleca y independientemente de las otras partículas de la viga (dentro

de los limites de elasticidad de la viga). Así pues, la determinación completa de su

posición requiere tantos valores de y como puntos tiene el eje de la viga. En el caso de

la fig. 1 , la función y=f(x) no es único conjunto de números de que se puede disponer

para definir su posición. Otro termino para determinar su elasticidad seria especificar

todos los valores de los coeficientes en y bn de su serie de Fourier la que, una vez mas,

es numéricamente infinita.

Obtención de la ecuación diferencial.

Considere una masa m suspendida de un techo rígido por medio de un resorte, como se

muestra en la figura 3. la rigidez del resorte esta dado por su constante de resorte k, que,

por definición, es el numero de kilogramos de tención necesarios para largar el resorte 1

cm. Entre la masa y la pared rígida hay también un mecanismo amortiguador de aire o

aceite. Se supone que este no transmite fuerza alguna ala masa, siempre y cuando este

en reposo; pero, tan pronto como se mueva la masa, la fuerza de amortiguamiento del

mecanismo es cx o cdx/dt, es decir, proporcional a la velocidad y en dirección opuesta.

La magnitud c se conoce como constante de amortiguamiento o, sin abreviación, como

coeficiente de amortiguamiento viscoso.

El amortiguamiento que tiene efecto en los sistemas mecánicos reales no

siempre sigue una ley tan sencilla como la relación cx. Casos mucho más complicados

se presentan con frecuencia. Pero entonces, la teoría matemática resulta muy

complicada, mientras que con amortiguamiento “viscoso” el análisis resulta

relativamente sencillo.

Sea mas fuerza exterior alterna P0 sen ωt actuando sobre una masa, originada

por algún mecanismo que no necesitamos especificar en detalle. Para una visualización

mental suponga que esta fuerza se ha obtenido por alguien que empuja y tira de la masa

artificialmente.

El problema consiste en calcular el movimiento de la masa m debido a esta

fuerza exterior. O, en otras palabras, si x es la distancia entre cualquier posición

instantánea de la masa durante su movimiento y su posición de equilibrio, tendremos

que obtener x en función del tiempo. La ecuación del movimiento que vamos a derivar

no es otra que la expresión matemática de la segunda ley de newton.

Fuerza = masa X aceleración

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Todas las fuerzas que actúan sobre la masa se consideran positivas cuando se ejercen

Asia abajo y negativas cuando de ejercen hacia arriba.

La fuerza del resorte es magnitud kx, puesto que es cero cuando no hay ningún

alargamiento x. cuando x=1cm, la fuerza del resorte es, por definición, de k kg y, como

consecuencia, la fuerza del resorte para cualquier otro valor de x ( en centímetros) será

kx ( en kilogramos), dado que el resorte sigue la ley de proporcionalidad de Hooke entre

la fuerza y la deformación.

El signo de la fuerza del resorte es negativo, puesto que el resorte tira hacia

arriba de la masa, cuando el desplazamiento es hacia abajo, o bien la fuerza del resorte

es negativa, cuando x es positiva. Así pues, la fuerza del resorte esta expresada por – kx.

La fuerza de amortiguamiento que actúa sobre la masa también es negativa, siendo su

valor –cx, ya que esta rígida contra la velocidad x; actúan hacia arriba, mientras que x

esta dirigida hacia abajo. Las tres fuerzas que actúan sobre la masa hacia abajo son

-kx – cx + P0sen ωt

La ley de newton nos da

Esta ecuación tan importante se conoce como la ecuación diferencial del

movimiento de un sistema con un solo grado de libertad. Los cuatro términos de la

ecuación 1 son las fuerzas de inercia, la fuerza de amortiguamiento, la fuerza del resorte

y la fuerza exterior.

Antes de proceder a calcular x en la ecuación 1, es decir, a la solución de la

ecuación diferencial, es conveniente considerar algunos otros problemas que nos lleven

a la misma ecuación.

Otros casos.

La figura 4 representa un disco con momento de inercia I sujeto a una flecha con rigidez

torsional k, definida como el momento en kilogramos-centímetro necesario para lograr

un giro torsional de l disco de 1 radian. Considere el movimiento de torsión del disco

bajo la influencia de un par de torsiónT0 sen ωt, aplicado externamente. Una vez más

este es un problema con un solo grado de libertad, ya que el desplazamiento torsional

del disco desde su posición de equilibrio puede expresarse con una sola magnitud: el

ángulo φ. La ley de newton, aplicada a un cuerpo que gira, establece que

Par de torsión = momento de inercia X aceleración angular

Como en problemas anteriores, hay tres pares de torsión actuando sobre el disco:

el par de resorte, el par de amortiguamiento y el par exterior. El par de resorte es – kφ;

donde φ esta dada en radianes. El signo negativo es evidente por la misma razón que el

de la fuerza del resorte fue – kx en el caso anterior. El par del amortiguamiento es – c,

originado por el mecanismo amortiguador, que no se muestra en la figura. La constante

de amortiguamiento c en este problema es el par de torsión originado por un par de

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torsión exterior es T0 sen ωt, de tal suerte que la ley de newton nos lleva a la ecuación

diferencial

que tiene la misma estructura que la ecuación 1.

Como un tercer ejemplo, considere un circuito eléctrico con un generador de

corriente alterna, un condensador C, una resistencia R y una inductancia L, todas

conectadas en serie. En lugar de la ley de newton, utilizaremos la relación que establece

que le voltaje instantáneo del generador e=E0 sen ωt es igual a la suma de los tres

voltajes al través de C, R y L. sea i el valor instantáneo de la corriente del circuito son la

dirección indicada en la fig. 5. De acuerdo con la ley de ohm, el voltaje al través de la

resistencia es V3 – V4 = Ri. El voltaje al través de la inductancia es V2—V3 = L di/dt.

En el condensador, la relación Q=CV es valida, donde Q es la carga, C la capacitancia y

V el voltaje. La carga Q se puede expresar en función de i, como sigue: si la corriente i

fluye durante un elemento de tiempo dt, la cantidad de electricidad transportada en el

circuito es i dt. Esta no fluye al través del condensador, sino que, simplemente aumenta

su carga, de tal suerte que

Y, por ende, o

Para demostrar que este circuito eléctrico se comporta análogamente a la masa

en vibración de la figura 3, es preferible trabajar con la carga Q, mas bien que con la

corriente i, que es mas usual.

Las diferentes caídas del potencial pueden escribirse

Como la suma de las caídas de estos tres voltajes debe ser igual al voltaje del generador,

la ecuación diferencial es

la que es exactamente de la misma estructura que la ecuación 1.

Por lo tanto, los casos lineales, torsionales y eléctricos hasta ahora discutidos nos

llevan al misma ecuación diferencial. La transcripción de uno a otro caso se sigue

directamente con la tabla que se muestra a continuación.

Todas las proporciones mecánicas planteadas tienen sus analogías eléctricas

correspondientes y viceversa. Por ejemplo, se estableció que el voltaje a través de la

inductancia L es Ldi/dt. En lenguaje mecánico esto se expresaría como la fuerza de la

masa m es m dv/dt.

Una proporción mecánica seria la energía almacenada en la masa ½ mv². La analogía

eléctrica es la energía almacenada en la inductancia es ½ Li².

No son estos los únicos tres casos que están determinados por la ecuación 1.

cualquier sistema con inercia, elasticidad, y amortiguamiento proporcional a la

velocidad, en el que el desplazamiento pueda describirse mediante una sola magnitud,

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pertenece a esta categoría. Por ejemplo, considere dos discos con momentos de inercia

I1 e I2 unidos por una flecha con rigidez torsional k kg-cm/radianes (figura 6).

En el primer disco en par torsional T0 sen ωt actúa mientras hay un amortiguamiento

con c constante, proporcional a la velocidad de torsión en la flecha. ¿Cuál será el

movimiento? Hay dos discos, cada uno de los cuales puede tomar una posición angular

independiente de la otra mediante una torsión de la flecha. Parece, por lo tanto, que se

trata de un sistema con dos grados de libertad.

Empero, la magnitud en la cual se interesa más el ingeniero es el Angulo d torsión de la

flecha, es posible expresar el movimiento exclusivamente en función de esa magnitud.

Sean y los desplazamientos angulares de los dos discos. Entonces - será la torsión de la

flecha, k(- ) será el par de torsión de la flecha, y c() el par de amortiguamiento.

Aplicando la ley de newton en el primer disco.

Vibraciones libres sin amortiguamiento.

Es útil considerar primero los casos más sencillos .

1. Si no hay ninguna fuerza exterior aplicada a P 0 sen W t ni amortiguamiento (c=0 )

Donde la expresión es:

Mx + kx= 0

X = - x

La deformación x es una función del tiempo tal que al obtener su segunda derivada, se

obtiene una vez más la misma función multiplicada por una constante negativa aun

desconociendo las ecuaciones diferenciales.

Esta fórmula describe todos los movimientos que son capaces de lograr el sistema de

masa y resorte.

X=C 1 sen t + C 2 cos t

Entre otros, está el caso para el cual c 1 = c 2 dando x=0 lo que significa que la masa

permanece en reposo.

Cuando la masa se ha desplazado de su posición de equilibrio a x= x 0 y después se ha

liberado sin velocidad inicial. Midiendo el tiempo desde el instante que se libera,

las dos condiciones son:

t=0 x= x 0 x=0

sustituyendo la primera condición en la ecuación anterior obtenemos:

x 0 =C 1 .0+ C 2 .1 o C 2 = X 0

para la segunda condición debemos derivar primero la ecuación X=C 1 sen t + C 2 cos t

obteniendo después:

0= C 1 .1 – C 2 . . 0 o C 1 = 0

Sustituyendo estos resultados en la formula anterior lograremos llegar a la solución

especifica.

X= X 0 cos t

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Esto representa una vibración sin amortiguamiento, un ciclo de la cual ocurre cuando t

varía a través de 360°.

Denominando t al tiempo por ciclo o periodo tendremos

.t =2π o t= 2π

Es usual denominar a frecuencia circular natural.

Si partimos de la suposición de que el movimiento es armonico, la frecuencia puede

calcularse en forma muy sencilla de la consideración de energía. En el centro de una

oscilación la masa tiene una energía cinetica considerable, mientras que en las

posiciones extremas permanece instantáneamente en reposo, careciendo entonces de

energía cinética. En este instante el resorte está en estado de tensión o compresión y por

ende con energía elástica almacenada en el. En cualquier posición entre el punto medio

y el extremo tiene simultáneamente energía cinética y elástica ,la suma de las cuales es

constante, puesto que las fuerzas exteriores no efectúan trabajo alguno en el sistema, en

consecuencia la energía cinética en el punto medio de su recorrido deberá ser igual a la

energía elástica almacenada en su posición extrema.

Vibraciones libres con amortiguamiento viscoso.

El análisis de sistemas con amortiguamientos resulta muy complicado; sin embargo,

existen modelos de amortiguamiento ideal que se adaptan bien a ciertos casos

particulares. Uno de ellos es el que permite el tratamiento matemático más simple y se

basa en la hipótesis de quela fuerza del amortiguador es proporcional a la velocidad. Se

suele llamar amortiguamiento viscoso.

Hemos visto que una vibración libre sin amortiguamiento continúa perennemente.

Es obvio que esto nunca ocurre en la naturaleza todas las vibraciones libres acaban por

sucumbir después de cierto tiempo.

El termino del amortiguamiento viscoso se asocia usualmente con la expresión cx

puesto que representa acertadamente las condiciones del amortiguamiento debidas a la

viscocicidad del aceite en un amortiguamiento.

La solución de la ecuación mx+cx+kx=0,si consideramos la función x=e st donde t es el

tiempo y s una constante desconocida se ve que al obtener la derivada resulta la misma

función pero multiplicada por una constante. sustituyendo la función en esta fórmula

nos permite dividir por el e st lo que nos lleva a una ecuación algebraica en lugar de una

ecuación diferencial,lo cual es una gran simplificación, suponemos que la solución es e st

con este supuesto la ecuación resulta:

(ms 2 +cs+k) e st

2.8- VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSO

 Para determinar las ecuaciones que la gobiernan a este movimiento

consideremos un sistema masa, resorte y amortiguador sometido a una fuerza

periódica externa P =P 0 senΩ, tal como se muestra en la figura.

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 Aplicando al DCL la segunda ley de Newton, se obtiene.

 La ecuación diferencial (1)* es una ecuación diferencial lineal, de segundo

orden, no homogénea y con coeficientes constantes. Su solución se obtiene

sumando una solución complementaria y una solución particular. La solución

complementaria satisface a la ecuación homogénea y la solución particular es

una función cualquiera que satisface la ecuación diferencial. Por lo tanto, la

solución total se escribe

 La solución complementaria depende del coeficiente de amortiguamiento. Así si

el movimiento es subamortiguado

0 (1)

xxFma

Psentkxcxmx

mxcxkxPsent









̇̇̇

()()() (2)CPxtxtxt

0 (3)tdxxeSent

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0102030405060708090100-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

 La solución complementaria estudiada anteriormente, se extingue rápidamente

según el valor del coeficiente de amortiguamiento. Por el contrario la solución

particular o permanente o de estado estacionaria es la que se mantiene, siendo

esta de carácter armónico y viene expresada por

 Derivando esta ecuación se obtiene

 Remplazando (4), (5) y (6), resulta

 Elevando al cuadrado ambos miembros de las dos ecuaciones anteriores y

sumándolos, resulta

 De la ecuación se obtiene la amplitud la misma que está dada por

 El desfasaje está dado por

 (4)Pmxxsent



2

cos (5)

(6)

xxt

xxsent







̇̇

20cosmmmmxsentcxtkxsentPsent

222220mkmcxP





kmc





km





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 Bajo estas circunstancias la solución particular se escribe

 Pero la frecuencia natural está dada por,  = k/m , y el valor del coeficiente

crítico de amortiguamiento es c cr = 2mω n , el factor de amplificación será

 En la figura, se muestra el factor de amplificación en función de la razón de

frecuencias para distintos valores de la razón de amortiguamiento.

022

xsent

kmc





2220

1/2//

ncrn

cc









2

2//

crn

tg











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2.9 Instrumentos para medir frecuencias

Una vibración es, a veces, una onda de configuración más bien complicada.

Cuando esta onda se ha trazado en el papel, puede conocerse todo lo concerniente a la

vibración, aunque todo lo concerniente a la vibración, aunque en muchos casos no se

requiere un conocimiento tan completo. Puede que nuestro deseo sea conocer

solamente la frecuencia o la amplitud del movimiento o su aceleración. Para satisfacer

estos requisitos parciales pueden construirse instrumentos mucho más sencillos y

baratos que los que se requieren para registrar la completa configuración de la onda.

Consideremos primero los métodos para medir exclusivamente la frecuencia. En la

mayoría de los casos, la vibración es bastante pura, es decir, la armónica fundamental

tiene una amplitud mucho mayor que cualquiera de las armónicas más altas. En tales

casos, puede medirse fácilmente la frecuencia, cuyos resultados pueden darnos una

sugerencia para determinar la causa de la vibración. Los medidores de frecuencias se

basan casi siempre en el principio de resonancia. Para frecuencias aproximadamente

inferiores a cien ciclos por segundo, son útiles los tacómetros de lengüeta, de los que

existen dos tipos: los de una sola y los de varias lengüetas.

Medidor de frecuencia de una sola lengüeta consiste en una cinta elástica de acero en

cantiléver, empotrada en un extremo y con el otro libre. La longitud de la parte libre de

esta cinta puede ajustarse haciendo girar una tuerca que opera un mecanismo en el

empotre. Así, la frecuencia natural de esta cinta puede ajustarse a voluntad, marcándose

para cada longitud la frecuencia natural en ciclos por segundo. Al usarlo, el extremo

empotrado se presiona firmemente contra el objeto en vibración, de tal suerte que la

base de la lengüeta participe de la vibración que vamos a medir. Se gira entonces el

tornillo lentamente, variando así la longitud libre de la lengüeta, hasta que, para una

longitud particular, se encuentre en resonancia con la vibración imprimida y nos

muestre una gran amplitud en el extremo libre. En ese instante leemos la frecuencia.

Un instrumento de este tipo lo fabrica y distribuye en el mercado la Westinghouse

Corporation.

Los otros tipos de medidores de frecuencias emplean un gran número de lengüetas y se

conocen con el nombre de tacómetros de Frahm. Consisten en una ligera caja b que

contiene varias cintas elásticas de acero en cantiliver a, colocadas en una o más hileras.

Cada lengüeta tiene una frecuencia natural un poco mayor que la vecina de su izquierda,

de manera que se cubre una gama total de frecuencias naturales. Al operar, la caja se

coloca en la maquina en vibración y resultara que la mayoría de las lengüetas apenas se

moverán. Empero, una o dos de ellas, cuyas frecuencias naturales sean sumamente

cercanas ala de la vibración imprimida, oscilaran con una amplitud considerable. Esto se

hace visible pintando de negro la parte interior de la caja y de color blanco las puntas c

de los extremos libres de estas de estas lengüetas. Los tacómetros de este tipo se

utilizaran ampliamente.

2.10- Instrumentos Sísmicos

Para medir la amplitud de las vibraciones se usa generalmente un instrumento sísmico,

que consiste en una masa montada sobre resortes dentro de una caja. La caja se coloca a

continuación en la maquina en vibración y la amplitud del movimiento relativo entre la

caja y la masa.

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Un acelerómetro es un instrumento sísmico con una frecuencia natural por lo menos

doble de la mayor frecuencia de la aceleración que se desea registrar. Esta proposición

lleva en si la posibilidad de una dificultad práctica, ya que un movimiento impuro

contiene armónicas de frecuencias más altas que la fundamental y puede muy bien

resultar que una de estas frecuencias sea muy cercana a la frecuencia natural del

instrumento. Esta dificultad es característica del acelerómetro. Un vibrometro está

exento de ella, puesto que las armónicas de una onda son siempre frecuencia más alta

que la onda principal o fundamental, de manera que existe el peligro de resonancia

solamente cuando la frecuencia principal registrada es más baja que la frecuencia

natural del instrumento. Para eliminar esta particular dificultad, es necesario introducir

un amortiguamiento en el acelerómetro.

Históricamente, los instrumentos sísmicos más antiguos son los sismógrafos, que se

usan para registrar las vibraciones en los terremotos. La masa en estos dispositivos esta

elásticamente suspendida y es, a veces, sumamente baja: del orden de una sola vibración

cada 10 segundos.

Para las aplicaciones técnicas, existe en el mercado una gran variedad de instrumentos

portátiles que pesan, desde 10kg los de uso general, hasta una onza o menos para los

trabajos de aviación. Las diferencias principales entre los instrumentos consisten en la

forma de registrar. Los mas sencillos tienen acoplado un calibrador circular al marco

del instrumento,, con su base descansado en la masa sísmica. El movimiento vibratorio

es, en general, tan rápido que la guja del calibrador aparece como si fueran dos agujas

con una región turbia entre ellas, siendo la distancia entre dos posiciones de la guja el

doble de la amplitud de la vibracion.

Instrumentación de Mediciones Eléctricas

El rápido desarrollo en la técnica de la radio durante las últimas décadas ha

hecho posible la creación de un número de instrumentos que son en general más

pequeños y más sensibles que los antiguos de tipo mecánico discutidos en los artículos

precedentes. La mayoría de estos instrumentos eléctricos son todavía instrumentos

sísmicos, ya sea para vibraciones lineales o torsionales, y operan bajo los mismos

principios que los dispositivos descritos en los anteriores; pero, a diferencia de estos,

tienen embobinados eléctricos que transforman las vibraciones mecánicas en voltaje

eléctrico el que, a su vez, puede amplificarse y registrarse por medio de un oscilógrafo.

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Este instrumento es un cuerpo de revolución, y puede concebirse como si se hubiera

generado mediante un giro con respecto a su eje vertical central. La parte a es una pieza

de acero sísmicamente sustentada sobre resortes c. Un articulo importante que no se

muestra en la figura son las guías de la masa a, cuyo movimiento está restringido

completamente a la dirección vertical. No permite ningún movimiento lateral de a. En

el hueco interior de a se ha instalado una bobina b alrededor del núcleo cilíndrico

central. Esta bobina adquiere su energía por medio de una corriente directa, que

convierte a a en un imán. A veces, por sencillez, la bobina d se omite y la parte a se

ajusta como un imán permanente de alguna aleación de acero especial. Siendo el imán a

un cuerpo de revolución, tiene su entrehierro en forma de anillo con un campo

magnético radial, en el cual se inserta un cilindro de papel delgado e, con una bobina a

su alrededor de cable sumamente delgado. El cilindro de papel e esta acoplado a la

cubierta de la casilla d y todo el aparato se supone acoplado a la máquina de la cual se

adquiere medir la vibración. Este voltaje, que es proporcional a la velocidad del

movimiento relativo, alimenta a un amplificador y, después de una amplificación

suficiente, se registra en la película de un oscilógrafo.

Un torsiografo registrador de un tipo análogo se ilustra

Este elemento sísmico se ha construido de manera que sea un imán permanente con su

polo norte y sur tal como se indica en la figura. Puede girar libremente en un resorte

torsional blando alrededor del núcleo d, que esta rígidamente sujeto a la flecha de la

cual queremos medir la vibración. El núcleo d porta una bobina de la voz e. El campo

magnético se desplaza del polo note al polo sur al través del núcleo d y cualquier

movimiento torsional relativo entre a y d originara variaciones de voltaje en la bobina

de la voz e, cuya intensidad es proporcional a la velocidad angular del movimiento

relativo.

Los registradores de cada uno de estos instrumentos, obtenidos por el oscilógrafo,

indican, por lo tanto, velocidad más bien que amplitud. Esto no constituye en si

ninguna desventaja, pero para algunas aplicaciones resulta más conveniente tener el

registro directo de la amplitud en lugar de tener que efectuar la integración por métodos

gráficos o numéricos sobre el registro. Esto puede conseguirse eléctricamente por

medio del llamado circuito integrador. En esta figura e es, una vez más, la bobina de la

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voz con un voltaje proporcional a la velocidad. Este voltaje se suministra a un circuito

en serie C-R, de tal suerte proporcionado que, el voltaje al través de la resistencia sea

varias veces (digamos diez) mayor que el voltaje al través del condensador. El voltaje

al través de la resistencia es iRy el voltaje al través del condensado es fi dt, y si el

primer voltaje es mucho mayor que el segundo es licito decir que el voltaje iR es

prácticamente igual al voltaje V de la bobina de la voz. Por lo tanto V es directamente

proporcional a i (o a la velocidad), y el voltaje al través del condensador es directamente

proporcional a fi dt ( o a la integral de la velocidad), que es precisamente la magnitud

que deseamos obtener.

Para vibraciones de frecuencia muy bajas, se ha utilizado otro principio eléctrico

conocido como variación de reluctancia, las dos piezas a están rígidamente unidas entre

si y constan de unas bobinas c a las que se les proporciona energía mediante un voltaje

constante con una frecuencia que resulta alta comparada con las frecuencias que

deseamos medir.

El nucleo b fabricado de hojas de acero laminado como las piezas a en forma de U, esta

montado entre ellas de tal suerte que el espacio de aire entre las mismas es lo mas

estrecho que la practica permite. La pieza a, variando asi el entrehierro con la misma

frecuencia que la vibración. El instrumento se ha conectado a un circuito con un puente

de Wheatstone,

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En el que las boninas están e balanceadas mendiante dos impedancias iguales d. Para

entrehierros igulaes y, como consecuencia, para iguales voltajes, al través de c, el

instrumento del puente de Wheatstone marcara cero en su lectura y esta lectura del

instrumento seta proporcional a la diferencia entre los dos entrehierros, si el instrumento

se sustituye por un osilografo, se obtendrá un registro como

Un dispositivo que a resultado de suma importancia es el calibrador de alammbre

sensitivo a ala resistencia y a la deformación. La longitud total es, aproximadamente de

2.54cm; y su resistencia eléctrica total, de unos 500 ohnms. El calibrador se pega al

objeto de metal bajo prueba, y si el metal se deforma variara su resistencia eléctrica. El

factor de sensibilidad de la deformación, que es el porcentaje de cambio en resistencia

dividido entre el porcentaje de cambio en su longitud, es, aproximadamente 3.

La siguiente figura se muestra como puede conectarse el calibrador dentro del circuito.

El voltaje de la batería se divide entre el voltaje del calibrador a y la resistencia fija b. si

la deformación y, por lo0 tanto, la resitencia de a varia con el tiempo variara también el

voltaje atravéz de sus terminales. Esta variación de voltaje se pone en la rejilla del

primer bulbo en un amplificador y de alli pasa a un oscilógrafo.

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La figura muestra la adaptación de este método para medir la torsion de una flecha.

El estroboscopio es un dispositivo que produce rayos de luz intermitentes por medio del

cual los movimientos de vibraciones rapidas pueden verse como si estuvieran en reposo

o moviéndose lentamente.

El objeto se vera como si estuviera en una posición determinada; después estará oscuro

y, en consecuencia el objeto resulta invisible mientras se mueve al traves de un ciclo. Si

la frecuencia de esta luz intermitente difiere someramente de la frecuencia del

movimiento, la vibración parecerá que tiene lugar con suma lentitud.

Un torsiografo consiste en una rueda delgada (digamos de 0.0625), con un gran numero

de dientes equiespaciados (digamos trecientos) montados en la flecha giratoria. Dos

pequeños electoimanes, cuyos embobinados se colocan cerca de la rueda dentada,

operan en forma análoga en un electrico invertido. Los dientes generan al pasar un

voltaje alterno, con una frecuencia igual a la del paso de los dientes por las bobinas.

Esta frecuencia es constante solamente si la flecha gira uniformemente, esta corriente de

salida de frecuencia variable alimenta a una caja y se mezcla con una corriente de

frecuencia constante cuya frecuencia promedio esta generada por un oscilador de bulbo

al vacio.

TEORIA DEL AISLAMIENTO DE VIBRACIONES

Una maquina desequilibrada debe instalarse en una estructura donde se desean

vibraciones. Esta situación es bastante común. Ejemplos de este tipo son el motor

elevador de corriente alterna de un hospital o de un hotel los de los motores de los

automóviles. Su solución general consiste en el montaje adecuado de la maquina sobre

resortes

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La ordenada de la figura 2.18 representa la razón del desplazamiento máximo x n de la

masa con respecto al desplazamiento estatico x est = P o /k. asi pues, (imagen) k 2

Lo ideal es que esta razón sea 0, aunque una meta practica es hacerla suficientemente

pequeña. Algunas veces sin embargo, se utilizan para este fin calzas de huele o de

corcho.

Ahora la fuerza transmitida esta constituida no solamente por las fuerzas del resorte kx 0 ,

si no también por la fuerza de amortiguamiento c  x 0 . En consecuencia, su suma, que

será la fuerza total transmitida

X 0 2

La amplitud x 0 esta dada por la formula de tal manera que la resuelta

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2.13 Aplicaciones a las maquinas eléctricas de una sola fase

Los casos prácticos de aislamiento por medio de resortes se presentan en muchas

maquinas. Sin embargo, el campo principal de aplicación descansa en el aparato que

esta inherentemente desequilibrado o que tenga inherentemente un momento de torsión

no uniforme. Entre estos últimos, los mas importantes son los generadores eléctricos de

una sola fase o os motores y maquinas de combustión interna.

Discutiremos primeramente las maquinas de una sola fase. Como es sabido, el par de

torsión de cualquier maquina eléctrica esta originado por la tracción del campo

magnético en los conductores que transmiten la corriente. El campo magnético en si

mismo, se origina por la corriente que fluye atreves del campo magnético de los

conductores que transmiten la corriente. Si la maquina se opera con una corriente

alterna de una sola fase, digamos de 60 ciclos por segundo, es evidente que la corriente

que fluye en una maquina ( y atrae vez del campo de las bobinas) resultara cero 120 por

segundo. Pero con una corriente cero se tendrán un campo magnético cero y, por lo

tanto, un par de torsión cero. Incluso sin tener el mas mínimo conocimiento acerca del

mecanismo de una maquina de este tipo, debemos esperar que el par que de torsión sea

alguna función periódica alterante de 120 ciclos por segundo.

Un análisis mas exacto es el que sigue: en cualquier maquina eléctrica la potencia

instantánea en watts (que tiene las dimensiones de trabajo por seg) es igual al producto

del voltaje por la corriente, o

Watts = ei

Esto parece consistir de dos términos, uno de dos términos, uno independiente del

tiempo, que representa un flujo continuo de potencia (para cuyo fin se ha construido la

maquina) y otra armónicamente alterno de frecuencia 2w. este ultimo termino no

suministra potencia durante un largo periodo de tiempo, ya que sus elementos positivos

son neutralizados por sus correspondientes partes negativas el par de torsión puede

obtenerse por medio de la potencia como sigue:

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Los motores pequeños de una sola fase se usan ampliamente en los aparatos domésticos.

Existen en el mercado varias adaptaciones en donde se satisfacen estos dos requisitos.

Dos de ellos se describirán aquí. Su característica común es que las chumaceras del

rotor están construidas sólidamente dentro del estator. Donde las chumaceras están

sólidamente montadas al piso. De manera que los resortes quedan entre las chumaceras

del rotor y estator.

Esta solida unidad rotor estator esta montada sobre resortes a la base del piso. Sin

embargo, la forma en que se efectúa esto varia considerablemente. En la primera

construcción cada extremo del estator esta montado sobre un montado sobre un pesado

anillo de hule a sustentado por el cimiento b remachado al piso.

El segundo método para lograr los mismo resultados es análogamente y se muestra en la

figura 2.46 la chumacera esta sustentada por una solera de acero, doblada de manera que

tenga dos secciones a 45 graos y tres secciones horizontales siendo una sola pieza el

resorte y el cimiento sustentador.

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2.14 aplicaciones a los automóviles: “potencia flotante”

Las maquinas de combustión interna tienen un diagrama del par de torsión contra el

tiempo que no difiere apreciablemente del de la fig. 2.42

En un motor de cuatro tiempos la frecuencia es n/2 x (rpm) ciclos por minuto, donde n,

es el numero de cilindros. Con el motor rígidamente montado en el marco, estas

variaciones del par torsional transmiten reacciones al vehículo, que pueden resultar

sumamente incomodas. La solución obvia es montar el motor de una manera que la

vibración rotativa libre con respecto al eje del par de torsión tenga lugar sumamente

despacio, o bien dicho con mayor precisión.

Esto puede lograrse de manera conveniente montando todo el block del motor sobre

dos muñones, delante y atrás sustentado en chumaceras adjuntas al chasis, ue permiten

girar al block con respecto a un eje prácticamente paralelo al eje del par de torsión y que

pasa po el centro de gravedad como se muestra en la figura 2.47