秘密中的秘密

大家知道，不同的人會有不同的身分證號碼，所以身分證號碼是一個用來識別巿民的最簡單方法。在日常生活之中，我們有無數的場合需要這個號碼。正因為它簡單，亦正因為它重要，所以我們不應該在記錄或抄寫的過程之中，將身分證號碼搞錯，否則可能會帶來非常嚴重的後果。
但從前我們印發身分證的時候，所有號碼都是緊貼在一起的，例如： “H856249” 這號碼之前的 “H856248” 和之後的 “H856250” 都屬於另一個人。萬一我們誤將 “H85624。9” 錯寫為 “H85624。8”，那麼便會有麻煩了！但是，這只是一個數字之差，有時候亦不容易察覺得到。

為了解決以上的問題，我們引入了括號內的數字。術語上，我們稱之為「校驗位」（ check digit）。引入這個校驗位的基本目的，是將原本緊貼在一起的號碼分開。因為我們會從0 至 9 或 A 中選擇其中一個數作為校驗位，所以每個身分證號碼之間，彷彿多了一點的「距離」。
另外，當我們將身分證號碼輸入電腦時，我們同時可以指示電腦檢查那身分證的號碼是否正確，從而防止輸入資料時的人為錯誤。事實上，檢查身分證號碼是否正確的方法，比計算校驗位的方法直接得多，方法如下：

首先，我們依舊將身分證號碼中第一部分的英文字母轉換成數字。然後將身分證號碼中的每一個數字（包括校驗位），由左至右，分別乘以每個位的「位值倍數」，即 8、7、 6、5、4、3、2 和 1（亦即是將校驗位乘以 1），並將結果加起來，成為「核對值」。最後，將這個核對值除以 11。留意當初校驗位的選取，就是要令得這個「核對值」能夠被 11 整除。因此，如果我們發覺核對值不能被 11 整除，那麼輸入的身分證號碼便一定有錯了（注意：電腦的運算速度非常之高，將身分證號碼輸入電腦後，一按鍵，它便可以完成有關的驗算，相信連操作電腦的人，亦不會察覺到電腦其實已經做了多次的運算呢！）。
例如：“H856249(2)” 是一個正確的號碼，按上述方法計算出的核對值等於 220。

H 8 5 6 2 4 9 2
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
8 × 8 + 8 × 7 + 5 × 6 + 6 × 5 + 2 × 4 + 4 × 3 + 9 × 2 + 2 × 1 = 220

明顯， 220 這個數能夠被 11 整除。假如在輸入資料時，將其中 1 個位的數字或字母弄錯，例如：變成 “。K856249(2)”、“H856。049(2)” 或 “H856249(。A)”，那麼計算出來的核對值便會分別地變成 244、212 和 228。由於這些數值都不能被 11
整除，因此我們便知道這些號碼有錯了。

事實上，如果一個身分證號碼的正確核對值為 D，由右邊數起第 k 位的數字原本是 a，但在輸入資料時，錯誤地輸入成 b（ a ≠ b），那麼該核對值便會變成

D − a × k + b × k = D + (b − a) × k 。
留意在這裏，除非錯誤發生在第一個位的英文字母上，否則 (b − a) 的絕對值和 k 都只會是 1 至 10 之間的數，不會大於 11，故此 (b − a) × k 這部分，不可能被 11 整除。但因為 D 本身可以被 11 整除，所以整個核對值 D + (b − a) × k 便不能被 11 整除了。由此可以知道輸入的資料有錯。

當然，應用核對值的方法有一個「死穴」，就是在輸入頭一個字母時，如果錯誤地輸入了一個和原本字母相隔 11 個位
的字母，例如：將 “H856249(2)” 錯誤地輸入成 “。S856249(2)”
（其核對值為 308，可以被 11 整除），那麼電腦亦無法知道輸入的資料有錯了。

還有，如果輸入資料時出現 2 處或以上的錯誤，例如：將 “H856249(2)” 錯誤地輸入成 “H856。049(。A)”，那麼我們亦無法將錯誤檢查出來（當然，如果太容易出現 2 處的輸入錯誤，那麼我認為最佳的解決辦法，就是更換那位輸入員，改用另一位更可靠的人選了！）。

另一個秘密

留意在前面的討論中，那個與位值對應的倍數 k 其實沒有多大的作用。事實上，如果我們不乘上任何的倍數，而直接將所有數字加起來，並將這個和當作是一個核對值，我們依然可以檢查出有 1 處輸入錯誤的資料。那麼，我們為甚麼仍要加入這些與位值對應的倍數呢？
原來這是用來防止一個一般人容易犯上的錯誤，就是誤將其中兩個數字的位置對調。例如：將 “H856249(2)” 錯誤地變成 “H8562。9。4(2)”，即將從右方數起的第 2 和第 3 個數字對調了。

我們再假設正確身分證號碼的核對值為 D，第 k 位的數字為 a，第 k + n 位的數字為 b（ a ≠ b； 1 ≤ n），如果我們錯誤地將 a、b 兩個數字對調了，那麼該核對值便會變成

D − a × k − b × (k + n) + a × (k + n) + b × k = D + (a − b) × n 。

同理， (a − b) 的絕對值和 n 都只會是 1 至 9 之間的數，故此 (a − b) × n 這個部分，以及整個核對值，都不能被 11 整除，由此可知輸入的資料有錯了。如果沒有這個位值倍數，那麼我們便無法偵測出對調位置的錯誤。總括而言，身分證號碼中的校驗位，是一個簡單但非常聰明的設計，它可以讓我們很容易地偵測出輸入資料時兩種常犯的錯誤，從而減少輸入不可靠資料的機會。在整個過程中，亦請大家留心欣賞 11 這個數字的功用。由於 11 是一個質數（而且剛好大於 10），任何兩個小於它的整數相乘，都不能被它整除，因此才能夠在上述運算中發揮作用。如果換了一個合成數，那麼情況便不同了。例如： 12，我們知道 4 和 6 都小於 12，但 4 × 6 = 24 卻能被 12 整除，因此 12 不可以用來做核對過程中的除數。

來源：梁子傑（2008）。

數學百子櫃系列（四）談天說地話數學。

香港：教育局課程發展處數學教育組。