Test di autovalutazione di Algebra Lineare
Il presente test ha il solo scopo di fornire allo studente uno strumento di autovalutazione sugli argomenti di Algebra Lineare studiati nel corso di Geometria. Non sarà tenuto in conto in nessun modo per l'esame finale. Non è obbligatorio rispondere a tutte le domande, si richiede però la massima serietà nella compilazione. Gli esiti saranno pubblicati in base all'identificativo, l'indirizzo email serve per ricevere una copia delle risposte date.
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IDENTIFICATIVO *
1)   Si consideri la matrice
V
F
La matrice A ha rango 2
Non è possibile calcolare il determinante di A
Non è possibile calcolare il rango di A
La trasposta di A è di tipo 4x3
L'elemento di A di posto 2,3 vale -1
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2)   Si consideri la matrice
V
F
La matrice B è simmetrica
La matrice B ha parte antisimmetrica nulla
La matrice B è invertibile
La matrice B ha rango massimo
Il determinante di B vale -5
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3)   Al variare del parametro reale k, si consideri la matrice
V
F
Per k=1 la matrice C è invertibile
Per k=0 la matrice C ha rango 2
Per k diverso da 0 la matrice C ha rango 3
Per k=0 i minori di ordine 2 di C sono tutti non nulli
Per k=-1 la matrice C ha rango 3
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4)   Siano date le matrici A e B quadrate di ordine 4 definite come
V
F
A è invertibile
B ha rango 3
La trasposta di B ha rango 2
Il determinante di A vale -1
Le colonne di B sono linearmente dipendenti
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5)   Si consideri il sistema lineare seguente:
V
F
S ha infinite soluzioni
S ha tre soluzioni date da x=-1, y=2 e z=1
S è impossibile
S è omogeneo
S ha la sola soluzione (-1,2,-1)
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6)   Al variare del parametro reale k, si consideri il sistema lineare seguente:
V
F
S è impossibile per k=0
S ha una sola soluzione per k diverso da 3
S ha tre soluzioni per k diverso da 3 e -3
Per k=-3 il sistema ha infinite soluzioni
Per k=-log(17) il sistema S è determinato
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7)   Al variare dei parametri reali a e b, si consideri il sistema lineare seguente:
V
F
Per a=1 e b=2 il sistema è indeterminato
Per a=b=0 il sistema è determinato con soluzione (0,1)
Il sistema ammette soluzioni per ogni valore di b
Il sistema è indeterminato per a=-1 e b=1
Il sistema è compatibile per ogni valore di a diverso da 2,1 e -1
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8)   Si dica se le seguenti affermazioni sono (in generale) vere o false:
V
F
Ogni matrice simmetrica ha rango massimo
Ogni matrice antisimmetrica è invertibile
Un sistema lineare di 3 equazioni in 4 incognite non può essere determinato
Un sistema lineare di 10 equazioni in 9 incognite ha al più infinito alla 1 soluzioni
Un sistema lineare di 13 equazioni in 7 incognite non può essere impossibile
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9)   Al variare del parametro reale k, siano dati lo spazio vettoriale V e i polinomi definiti come segue:
V
F
I polinomi p,q ed r sono linearmente indipendenti per k=1
I polinomi p,q ed r sono linearmente dipendenti per k=2
Per k=-3 i polinomi p,q ed r formano una base di V
Per k=2, lo spazio generato da p, q ed r ha dimensione 2
Per k=2, il polinomio f(x)=-4x+1 appartiene allo spazio generato da p, q ed r
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10)   Sono dati il sottospazio W di matrici di tipo 2x3
la matrice A e le equazioni (*) seguenti:
V
F
W ha dimensione 2
La matrice A può far parte di una base di W
Le (*) sono equazioni cartesiane di W
La matrice nulla non appartiene a W
Ogni base di W contiene 3 vettori
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11)   Sia k un parametro reale. Sono dati lo spazio vettoriale V e i suoi seguenti sottospazi U e W:
V
F
W ha dimensione 3 per k diverso da 0
W ha codimensione 2
U ha dimensione 2 per k=1
U ha dimensione 1 per k=0
È possibile costruire un complemento diretto di U di dimensione 1
L'intersezione di U e W ha dimensione 1 per ogni valore di k
Si ha U+W=V per ogni valore di k
Per k=0 gli spazi U e W non sono a somma diretta
Per k=1 non è verificata la formula di Grassmann relativamente a U e W
Per k=-1 gli spazi U e W non sono a somma diretta
Per k=0 il vettore (1,-1,0,0) costituisce una base dell'intersezione di U e W
Lo spazio W ha equazioni cartesiane date da x-t=0, x-3z-t=0
Per ogni valore di k il vettore (0,1,1,-1) è un generatore di U
W ha per base due qualsiasi dei suoi tre generatori dati nella traccia
Per k=-17 una base di U+W è data dai vettori della base canonica di V
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12)    Sia V uno spazio vettoriale di dimensione 8. Siano U e W due sottospazi di V di dimensione 3. Si dica se le seguenti affermazioni sono vere o false.
V
F
La somma di U e W può avere dimensione 3
La somma di U e W può avere dimensione 5
L'intersezione di U e W siffatti non può mai essere banale
U e W possono essere a somma diretta
L'intersezione di U e W ha al massimo dimensione 3
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13)    Sia V uno spazio vettoriale di dimensione 11. Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false
V
F
13 vettori di V sono linearmente dipendenti
Togliendo 4 vettori da 15 vettori di V linearmente dipendenti, si ottengono vettori linearmente indipendenti
5 vettori di V possono costituire un sistema di generatori di V
Aggiungendo ad un insieme di 6 vettori di V altri 7 vettori si ottengono dei generatori di V
Ogni base di V contiene 11 vettori non nulli
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14)    Siano A e B due matrici quadrate di ordine 57. Dire se le seguenti affermazioni sono (in generale) vere o false
V
F
Se A e B hanno determinante nullo, anche A+B ha determinante nullo
Se A ha determinante nullo, anche 3A ha determinante nullo.
Se A è simmetrica, anche la trasposta di A è simmetrica
Se A e B sono antisimmetriche, anche A-B è antisimmetrica
Il rango della matrice A+B è dato dalla somma del rango di A e del rango di B
Il determinante di A+B è dato dalla somma del determinante di A e del determinante di B
Se A e B sono matrici di rango massimo, anche A+3B ha rango massimo
Anche la matrice prodotto AB è quadrata di ordine 57
Se A è simmetrica e B è antisimmetrica, allora la somma A+B è la matrice nulla
Se A e B non sono invertibili, nemmeno A+B può essere invertibile
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