Test di autovalutazione: Successioni e serie di funzioni.
Il presente test ha funzione puramente autovalutativa. È vivamente consigliato agli studenti: in nessun modo ne sarà tenuto conto per l'esame finale del corso di Analisi Matematica II.
Per ciascuna affermazione indicare se è vera oppure falsa. Ogni risposta esatta vale 2 punti, ogni risposta errata un punto negativo, le risposte non date valgono 0 punti. Gli esiti saranno raccolti e pubblicati nella pagina web del corso.
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Si consideri la successione di funzioni
definita per ogni n intero naturale. Sia poi f la funzione limite della successione.
V
F
La successione converge puntualmente su tutto l'asse reale.
La successione converge uniformemente su [-5, 17]
La funzione f è continua
La funzione f è derivabile
La funzione f non è integrabile sull'intervallo [-5, 35]
Non vale la formula di passaggio al limite sotto il segno di integrale su [0,1]
Non vale la formula di passaggio al limite sotto il segno di integrale su [-5,5]
Vale la formula di passaggio al limite sotto il segno di integrale su [1,3]
Si ha convergenza uniforme solo su insiemi di tipo [-a, 0) oppure (0, a], con a>0.
Si ha che f(1)=1
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Sia data la successione di funzioni:
definita per ogni n>0. Sia poi f la funzione limite della successione.
V
F
La successione converge puntualmente su tutto l'asse reale.
La successione converge uniformemente sui compatti di tipo [a, b], con b>a>1.
La funzione f è continua.
La funzione f è limitata.
La funzione limite non è integrabile sull'intervallo [5, 35]
Non vale la formula di passaggio al limite sotto il segno di integrale su [1, 2]
Vale la formula di passaggio al limite sotto il segno di integrale su tutti gli intervalli compatti di R.
Non vale la formula di passaggio al limite sotto il segno di integrale su [1,3]
La funzione f è derivabile.
Si ha che f(x)=0, per ogni x>0
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Sia data la serie di funzioni:
e sia S(x) la sua funzione somma.
V
F
La serie non converge puntualmente per nessun valore di x.
La serie converge puntualmente su tutto l'asse reale.
La serie converge assolutamente per x<0.
La serie converge totalmente sui compatti contenuti in R
La serie converge uniformemente sui compatti con estremi entrambi negativi
Si ha che S(0)=0
Si ha che S(1)=1
Non è possibile applicare la formula di integrazione termine a termine sull'intervallo [-73, -21]
La serie converge puntualmente ma non assolutamente in [0,1]
La serie converge puntualmente ma non assolutamente per x<0.
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Sia data la serie di funzioni:
e sia S(x) la sua funzione somma.
V
F
La serie non converge puntualmente per nessun valore di x.
La serie converge puntualmente per x>0.
La serie converge assolutamente per x<0.
La serie converge totalmente sui compatti contenuti in R
La serie converge uniformemente sugli intervalli limitati inferiormente e illimitati superiormente.
Si ha che S(0)=log 2
Non è vero che S(1)=1
È possibile applicare il teorema di integrazione termine a termine sull'intervallo [4, 6]
La serie converge puntualmente ma non assolutamente in [0,1]
La serie converge uniformemente ma non assolutamente per x<0.
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Sia data la serie di potenze:
e sia S(x) la sua funzione somma.
V
F
La funzione S è continua in [0, log3]
La funzione S è continua in [-2, 2]
La serie converge puntualmente in (0, log3)
La serie converge totalmente sui compatti contenuti in [0, log 3]
È possibile applicare il teorema di derivazione termine a termine alla serie data.
Non è possibile applicare il teorema di integrazione termine a termine alla serie data.
La serie converge per x=0
La serie diverge negativamente per x=log3
Si ha che S(0.25)<0
Si ha che S(x)=-1/(e^x-1)^2
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Sia data la funzione:
prolungata per periodicità su tutto l'asse reale. Sia poi S(x) la somma della sua serie di Fourier e siano a_k e b_k i suoi coefficienti di Fourier.
V
F
La funzione S è continua.
Si ha che a_17=1/3
Si ha che b_3=2/3
La serie converge uniformemente ad f sui compatti contenuti in (-π, π)
Lo sviluppo di Fourier contiene solo seni
Si ha che S(0)=0
Si ha che S(9π)=0
Si ha che S(-7π)=π
Si ha che S(1)=sin(1)
La serie converge puntualmente ad f su tutto l'asse reale.
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