Page 1 of 90
GIAI TICH 1 - CHUONG 5 170
DAÕY VAØ CHUOÃI SOÁ THÖÏC
CH
ÖÔNG NAÊM
Ñeå xaây döïng moät raøo ngaên khaùn
giaû traøn vaøo saân thi ñaáu boùng ñaù,
ta caàn tính chu vi p cuûa moät hình
nhö beân caïnh. Hình naøy goàm hai
cung troøn vaø hai ñoaïn thaúng, moãi
cung laø moät phaàn tö cuûa moät
ñöôøng troøn coù baùn kính 60 meùt.
60
a
b
b
a
Duøng caùc coâng thöùc ñôn giaûn ta tính ñöôïc
p (60 120 2) meùt
Page 2 of 90
GIAI TICH 1 - CHUONG 5 171
Neáu baïn hoïc toaùn ñeå ñaït huy chöông Field, thì coâng
thöùc treân quaù toát. Nhöng khi ñöa vaøo caùc ñeà aùn thi coâng
thöïc teá, chuùng ta phaûi duøng moät trong caùc giaù trò cuûa
p
nhö sau
p= 60
3,14 + 120
1,41 ;
p = 60
3,141 + 120
1,414 ;
p = 60
3,1416 + 120
1,4142 .
Nhö vaäy trong thöïc teá, moät soá soá thöïc thöôøng ñöôïc thay
theá baèng caùc giaù trò xaáp xó cuûa chuùng.
Thí duï , ngöôøi thöôøng ñoàng nhaát
vôùi moät trong caùc soá
{3,14; 3,141; 3,1416}, vaø vôùi moät trong caùc soá
{1,41; 1,414; 1,4142}
2
Page 3 of 90
GIAI TICH 1 - CHUONG 5 172
Ñònh nghóa . Cho f laø moät aùnh xaï töø
Õ vaøo
— , ñaët
a
n
=
f(
n) vôùi moïi n
Õ , ta noùi
a
n
laø moät daõy soá thöïc.
Thí duï 1.
{sin
(
n
3 + 2n
)
} laø moät daõy soá thöïc
Thí duï 2. Ñaët
a1 = 3,14,
a2 = 3,141,
a3 = 3,1415 ,
a4 = 3,14159 ,
a5 = 3,141592 ,
a6 = 3,1415926 ,
a7 = 3,14159265 ,
a8 = 3,141592653 ,
a9 = 3,1415926535 ,
. . . . Ñaây laø daõy soá giuùp chuùng ta choïn caùc giaù trò gaàn
ñuùng cuûa soá
p theo caùc sai soá cho pheùp trong caùc tính
toaùn cuï theå .
Nay ta xem caùch moâ hình yù töôûng treân cuûa caùc nhaø toaùn
hoïc .
Page 4 of 90
GIAI TICH 1 - CHUONG 5 173
Ñònh nghóa . Cho
{
x
n
} laø moät daõy soá thöïc vaø moät soá
thöïc
a.
Ta noùi daõy
{
x
n } hoäi tuï veà
a neáu vaø chæ neáu
> 0
N(
)
Õ sao cho
| x
n
-
a | < n > N(
)
a
x
a-
a+
x
x
x
x
x
x
x
x
3 4 5 N( )+m
1 N( )+1 N( )+k 37
2
Ta xem moâ hình toaùn hoïc cuûa yù töôûng ñoàng nhaát moät soá
thöïc
a vôùi moät daõy caùc giaù tri xaáp xó cuûa noù nhö sau
Page 5 of 90
GIAI TICH 1 - CHUONG 5 174
Baøi toaùn 18. Chöùng minh
{
n-1
} hoäi tuï veà 0 .
> 0
N(
)
Õ sao cho
| x
n
-
a | < n > N(
)
Cho moät
> 0 tìm moät N(
)
Õ sao cho
| x
n
-
a | < n > N(
)
0
-
1
2
1
3
1
N k ( )+
4
1
N( )+1
1
Chuùng ta neân moâ hình toaùn hoïc nhö sau : ñaët
x
n =
n-1 vôùi
moïi soá nguyeân döông, vaø chöùng minh {
x
n} hoäi tuï veà 0.
Page 6 of 90
GIAI TICH 1 - CHUONG 5 175
Cho moät
> 0 tìm moät N(
)
Õ sao cho
| x
n
-
a | < n > N(
)
Cho moät
> 0 tìm moät N(
)
Õ sao cho
| n-1 - 0 | < n > N(
)
Cho moät
> 0 tìm moät N(
)
Õ sao cho
n-1 < n > N(
)
Cho moät
> 0 tìm moät N(
)
Õ sao cho
-1 <
n
n > N(
)
0
-
1
2
1
3
1
N k ( )+
4
1
N( )+1
1
Page 7 of 90
GIAI TICH 1 - CHUONG 5 176
Cho moät
> 0 tìm moät N(
)
Õ sao cho
-1 <
n
n > N(
)
(R18) (Tính chaát Archimeøde) Neáu x > 0 vaø 0 < y, luùc
ñoù coù moät soá nguyeân döông N sao cho
y < Nx . (hay N -1y < x
)
y =
-1 vaø x =1
Coù moät soá nguyeân döông
N(
) :
-1 <
N(
) .1
Cho moät
> 0 coù N(
)
Õ sao cho
-1 <
n
n > N(
)
-1 <
N(
) .1 <
n
n > N(
)
Page 8 of 90
GIAI TICH 1 - CHUONG 5 177
Baøi toaùn 19. Cho
{
x
n
} laø moät daõy soá thöïc sao cho coù
moät soá thöïc döông C ñeå cho
| x
n
|
§
n-1C
n
Õ .
Chöùng minh
{
x
n
} hoäi tuï veà 0 .
Cho moät
> 0 tìm moät N(
)
Õ sao cho
| x
n
- 0 | < n > N(
)
Cho moät
> 0 tìm moät N(
)
Õ sao cho
| x
n
| < n > N(
)
Cho moät
> 0 tìm moät N(
)
Õ sao cho
n-1C < n > N(
)
Cho moät
> 0 tìm moät N(
)
Õ sao cho
-1C < n
n > N(
)
Page 9 of 90
GIAI TICH 1 - CHUONG 5 178
Baøi toaùn 20. Chöùng minh {2-n} hoäi tuï veà
0 .
Chöùng minh coù moät soá thöïc
C sao cho
| x
n
| §
n-1
n
Õ .
P
n : n
§ 2 n
n
Õ (
2-n
§
n-1 ; 2-k - n
§
2-k .n-1
)
P1 : 1
§ 2 1 = 2 ñuùng
P
n ñuùng : n
§ 2
n
Pn+1 : n +1
§ 2
n+1
n +1 = ( n ) + 1
§ 2
n + 1
§
2
n + 2
n
§ 2. 2
n =
2
n+1
Chuùng ta moâ hình toaùn hoïc nhö sau : ñaët
x
n =
2-n
n
Õ .
Chöùng minh {
x
n } hoäi tuï veà
0 .
Page 10 of 90
GIAI TICH 1 - CHUONG 5 179
’>0,
M(
’)
Õ sao cho
|x
n
-
a | §
’ n > M(
’)
> 0
N(
)
Õ sao cho
| x
n
-
a | < n > N(
)
?
> 0
N(
)
Õ sao cho
| x
n
-
a | < n > N(
)
> 0
N(
)
Õ sao cho
| x
n
-
a| § n > N(
)
?
’>0
M(
’)
Õ sao cho
|x
n
-
a | §
’ n > M(
’)
> 0
N(
)
Õ sao cho
| x
n
-
a | < n > N(
)
’>0
M(
’)
Õ sao cho
|x
n
-
a | §
’ n > M(
’)
> 0
N(
)
Õ sao cho
| x
n
-
a | < n > N(
)
Page 11 of 90
GIAI TICH 1 - CHUONG 5 180
’>0
M(
’)
Õ sao cho
|x
n
-
a | §
’ n > M(
’)
> 0
N(
)
Õ sao cho
| x
n
-
a | < n > N(
)
Cho moät
’ > 0 ta coù moät M(
’)
Õ sao cho
| x
n
-
a |
§
’ n > M(
’)
Cho moät
> 0 tìm N(
)
Õ sao cho
| x
n
-
a | < n > N(
)
Page 14 of 90
GIAI TICH 1 - CHUONG 5 183
Ñònh nghóa . Cho
g laø moät aùnh xaï töø taäp hôïp caùc soá
nguyeân döông
Õ vaøo
Õ . Ñaët
n
k = g(k)
k
Õ .
Ta duøng
{
n
k
} thay cho
{
x
n
} vì ta thöôøng kyù hieäu caùc
soá nguyeân döông laø
n
g
(
k) = 12
k
Õ
n
k = 12
k
Õ
g
(
k) =
k2
-
8
k+100
k
Õ
n
k = k2
-
8
k + 100
k
Õ
g
(
k) = 3
k
k
Õ
n
k = 3k
k
Õ
g
(
k) = k
k
Õ
n
k = k
k
Õ
Page 19 of 90
GIAI TICH 1 - CHUONG 5 188
Baøi toaùn 21. Cho moät daõy soá thöïc
{
a
n}. Chöùng minh
ba ñieàu sau ñaây töông ñöông
(1)
{
a
n} hoäi tuï veà a trong
— .
(2)
{
an - a } hoäi tuï veà 0 trong
— .
(3) {|
an - a |} hoäi tuï veà 0 trong
— .
> 0
N(
)
Õ sao cho
| x
n
-
a | < n > N(
)
’ > 0
M(
’)
Õ sao cho
| (
x
m
-
a ) - 0 | < m > M(
’)
” > 0
K(
”)
Õ sao cho
| |
x
k
-
a | - 0 | < k > K(
”)
Page 24 of 90
GIAI TICH 1 - CHUONG 5 193
Cho moät
> 0 ta coù N(
)
Õ sao cho
| a
n
-
a | < n > N(
)
Cho moät
’ > 0 ta coù M(
’)
Õ sao cho
| b
m
-
b | <
’ m > M(
’)
Cho moät
” > 0 tìm K(
”)
Õ sao cho
| (
a
k +
b
k
) - (a +b )| <
”
k > K(
”)
(
a
k +
b
k
) - (a +b ) = (
a
k
-
a
) + (
b
k -b
)
|(
a
k +
b
k
) -(a +b )|
§ | a
k
- a | + | b
k - b |
|(
a
k +
b
k
) -(a+b )| <
+
’
k > N(
) vaø
k > M(
’)
|(
a
k +
b
k
) -(a+b )| <
+
’
k > max
{N(
), M(
’)
}
Page 27 of 90
GIAI TICH 1 - CHUONG 5 196
Cho moät
> 0 ta coù N(
)
Õ sao cho
| a
n
-
a | < n > N(
)
Cho moät
’ > 0 ta coù M(
’)
Õ sao cho
| b
m
-
b | <
’ m > M(
’)
Cho moät
” > 0 tìm K(
”)
Õ sao cho
| a
k .b
k
- a.b | <
”
k > K(
”)
a
k .b
k
- a.b = (
a
k
-
a
)
b
k +
a
(
b
k -b
)
|a
k .b
k
-a.b|
§ | a
k
- a ||
b
k| + |
a||
b
k - b |
|a
k .b
k
– a.b| <
|b
k|+ |a|’
k > N(
) vaø
k > M(
’)
Xöû lyù |
b
k| |b
k|
| b
k
-
b| + |
b| <
’ + |
b|
k > M(
’)
|a
k .b
k– a.b| < ’ +
|b|+ |a|’
k > N(
) vaø
k > M(
’)
Page 29 of 90
GIAI TICH 1 - CHUONG 5 198
Cho
> 0, coù N(
)
Õ sao cho |
a
n
-
a| < n > N(
)
Cho
’ > 0, tìm M(
’)
Õ sao cho |
c
m
-
a
-
1| <
’
m
>M(
’)
Baøi toaùn 23b. Cho soá thöïc
a khaùc khoâng vaø daõy soá
thöïc
{
a
n
} sao cho
a
n khaùc khoâng vôùi moïi
n . Giaû söû
{
a
n
} hoäi tuï veà a. Ñaët vôùi moïi soá nguyeân
döông n . Chöùng minh
{
c
n
} hoäi tuï veà
a-1 .
1
n n
c a
1 1 1
m
m
m m
a a
c a
a a aa
Xöû lyù
1
m
a a
| | Ñaët
2
a
0 |a |m |a|
|a|
2=|a|-
|a|+
Coù N(
)
Õ sao cho |
a
n
-
a| <
n > N(
)
| a
n| |a| - |
a
-
a
n | >
|a| -
= 2-1|a|
n > N(
)
Page 30 of 90
GIAI TICH 1 - CHUONG 5 199
Cho
> 0, coù N(
)
Õ sao cho |
a
n
-
a| < n > N(
)
Cho
’ > 0, tìm M(
’)
Õ sao cho |
c
m
-
a
-
1| <
’
m
>M(
’)
1 1 1
m
m
m m
a a
c a
a a aa
Xöû lyù
1
m
a a
| | Ñaët
2
a
Coù N(
)
Õ sao cho |
a
n
-
a| <
n > N(
)
| a
n| |a| - |
a
-
a
n | > |
a| -
= 2-1|a|
n > N(
)
1
2 2
2| |
2 | | | | max{ ( ), ( )} || || m n
m
m
aa aa ca m N N
aa a a