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INSTITUCIÓN EDUCATIVA AURES
GUÍA DE TRABAJO N°4 DE GEOMETRÍA – TERCER PERIODO
NOMBRE DE LA UNIDAD: Perímetros y Áreas de Figuras Planas.
LONGITUD DE ARCO DE UNA CIRCUNFERENCIA
Un “Arco” en Geometría es la porción de Circunferencia que está comprendido por dos puntos distintos de ella. Así por ejemplo, si
en la siguiente figura se tienen dos puntos distintos A y B de una circunferencia, el arco AB (denotado como AB) está señalado
como se indica:
De igual manera, así como en la guía anterior vimos que a una circunferencia le corresponde un círculo, ocurre que a
una porción de circunferencia o arco le corresponde una porción de círculo. Esta porción de círculo se denomina
“Sector Circular” y se define como la porción de círculo que está comprendido por el arco y los radios trazados hacia
los puntos que conforman el arco. Lo anterior se ilustra en la siguiente figura:
Como último aspecto conceptual en esta guía, todo sector circular está determinado por un ángulo comprendido por
los dos radios que conforman dicho sector. Este ángulo se llama “Ángulo Central”, y el arco que subtiende dicho
ángulo tiene como medida el ángulo central correspondiente. En la figura siguiente, α es el ángulo central, y
m( ̂ ) = α.
Arco AB ó ̂
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Para determinar la Longitud de un Arco de una Circunferencia, existe una expresión o fórmula que permite calcularla, cuya
deducción se obtiene de la siguiente manera:
Consideremos las siguientes dos figuras:
En esta figura, el arco corresponde a toda la Circunferencia
de radio r, cuyo perímetro es P = , y el ángulo
subtendido por la circunferencia es de 360°. Formando una
razón entre el perímetro y el ángulo subtendido, tenemos:
En esta figura, tenemos una porción de circunferencia o
arco ̂ que determina un sector circular de radio r. La
longitud de dicho arco se representa por L, y el ángulo
subtendido por el arco ̂ es el ángulo . Formando una
razón entre la longitud de arco y el ángulo subtendido,
tenemos:
Mediante la aplicación de un teorema de la Geometría referente a los sectores circulares, igualamos el par de razones
obtenidas en ambos lados, formando así una proporción, cuya expresión es la siguiente:
Finalmente, despejando variables y simplificando, obtenemos la expresión final o fórmula para calcular la longitud de arco.
ó también:
Longitud de Arco (L)
Finalmente, se tendrán en cuenta dos observaciones: (1) El ángulo α se medirá en notación sexagesimal y en sentido
contrario a las manecillas del reloj (sentido antihorario), pues los ángulos de esta forma son positivos; y (2) el arco se
identifica según el orden de las letras de los dos puntos que lo conforman. De este modo, si A y B son dos puntos de la
circunferencia, entonces habrán dos arcos en ella, llamados ̂ y ̂ .
Ejemplo Ilustrativo: Determine la longitud de arco ̂ en cada uno de los siguientes sectores circulares:
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Ejemplos de Aplicación:
1. Construya con regla, compás y trasportador un sector circular, cuyo radio es igual en todos los casos a 6 cm, y las
medidas de los ángulos se indican en cada caso. Calcule para cada caso la longitud del arco ̂ correspondiente.
a. α = 60° b. α = 150° c. α = 210° d. α = 240° e. α = 315°
2. Construya con regla, compás y trasportador un sector circular, cuyo radio es igual a 6 cm, y m( ̂ ) = 57,3°.
Verifique que la longitud del arco ̂ equivale aproximadamente al valor del radio.
Observación: Si en un sector circular ocurre que el arco tiene la misma longitud que el radio, surge a partir de este
sector una nueva unidad angular llamada “radián”. En este caso, el ángulo subtendido por dicho arco equivale a 1
radián (abreviado 1 rad), y de este modo la equivalencia entre el radián y el grado sexagesimal es 1 rad = 57,3°. El
desarrollo de esta unidad angular es tratado ampliamente en un campo de la matemática conocida como la
Trigonometría.
3. ¿Cuál es el radio de una circunferencia, si la longitud de un arco de 45° es 3π? Sugerencia: Tenga en cuenta el
siguiente diagrama triangular para determinar el radio o el ángulo a partir de la expresión de la longitud de arco:
4. El minutero de un reloj en la torre de un edificio público tiene 2 m de largo. Determine la distancia que recorre la
punta del minutero en 5 minutos. ¿Cuántos centímetros recorrerá la punta del minutero en 1 minuto?
Actividad:
1. Construya con regla, compás y trasportador un sector circular, cuyo radio sea igual en todos los casos a 5 cm, y las
medidas de los ángulos se indican en cada caso. Calcule para cada caso la longitud del arco ̂ correspondiente:
a. θ = 45° b. θ = 120° c. θ = 225° d. θ = 300° e. θ = 330°
2. Construya con regla, compás y trasportador un sector circular, cuyo radio sea igual a 7 cm, y m( ̂ ) = 180°.
Verifique que la longitud del arco ̂ equivale aproximadamente a π veces el valor del radio. (Por esta razón, el
ángulo de 180° también se denomina “phi radianes”, escrito como “π rad”).
3. Utilizando el diagrama triangular para la longitud de arco, resuelva los siguientes problemas: