Page 1 of 7

Sở GD-ĐT Phú Yên ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 2012-2013

Trường PT cấp 2-3 Võ Thị Sáu Môn: Toán 12

ĐỀ CHÍNH THỨC (Thời gian 90 phút không kể thời gian phát đề)

PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ THÍ SINH (8 điểm)

Câu 1. (3đ) Cho hàm số y = x

3 − 3x

2 + 2 (∗).

1. (2đ) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (∗).

2. (1đ) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng

d : y = −3x + 4.

Câu 2. (3đ)

1. (1đ) Giải phương trình 3.9

x − 4.3

x + 1 = 0.

2. (1đ) Giải phương trình log4

(x + 1) + 2 log16(x − 2) = 1.

3. (1đ) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = e

x

(x

2 − x − 5) trên đoạn

[1; 3].

Câu 3. (2đ) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Cạnh bên tạo với

mặt đáy (ABCD) một góc 600

.

1. Xác định đường cao của hình chóp và góc tạo bởi cạnh bên với mặt đáy.

2. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

PHẦN RIÊNG (2 điểm). Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần riêng

(phần A hoặc phần B)

A. Theo chương trình Chuẩn

Câu 4a. (1đ) Tìm m để đồ thị hàm số y = x

4 − 2mx2 + 3 có 3 điểm cực trị tạo thành tam

giác vuông.

Câu 5a. (1đ) Tính diện tích xung quanh của hình nón có góc ở đỉnh bằng 900 và bán

kính đường tròn đáy bằng a

√

2.

B. Theo chương trình Nâng cao

Câu 4b. (1đ) Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y =

2x

2 + (m − 2)x + 1 − m

x − 1

lần

lượt cắt trục Ox, Oy tại A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 4.

Câu 5b. (1đ) Cho hình chóp tam giác S.ABC có G là trọng tâm của tam giác SBC. Một

đường thẳng đi qua G và song song với BC lần lượt cắt SB, SC tại D và E. Tính tỉ số giữa

thể tích khối chóp A.BCED với thể tích khối chóp S.ABC.

HẾT

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Số báo danh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Page 2 of 7

ĐÁP ÁN

Câu Ý Nội dung Điểm

1 3,00

1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 2,00

• Tập xác định: D = R. 0,25

• Sự biến thiên:

Ta có y

0 = 3x

2 − 6x.

y

0 = 0 ⇔ 3x

2 − 6x = 0 ⇔

"

x = 0

x = 2

Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2), đồng biến trên các khoảng (−∞; 0)

và (2; +∞).

0,50

• Cực trị

Hàm số đạt cực đại tại xCĐ = 0, yCĐ = y(0) = 2

Hàm số đạt cực tiểu tại xCT = 2, yCT = y(2) = −2

0,25

• Giới hạn

lim

x→+∞

y = lim

x→+∞

(x

3 − 3x

2 + 2) = +∞.

lim

x→−∞

y = lim

x→−∞

(x

3 − 3x

2 + 2) = −∞.

0,25

• Bảng biến thiên

x −∞ 0 2 +∞

f

0

(x) + 0 − 0 +

f(x) −∞%

2&−2%

+∞

0,25

• Đồ thị:

Bảng giá trị

x −1 0 2 3

y −2 2 −2 2

Page 3 of 7

0,50

2 Viết phương trình tiếp tuyến... 1,00

Gọi M(x0, y0) là điểm thuộc đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến của (C)

tại M có dạng

y = y

0

(x0)(x − x0) + y0.

0,25

Vì tiếp tuyến song song với d : y = −3x + 4 nên

y

0

(x0) = −3

⇔ 3x

2

0 − 6x0 = −3

⇔ 3x

2

0 − 6x0 + 3 = 0

⇔ x0 = 1.

0,25

Với x0 = 1 thì y0 = 13 − 3.1

2 + 2 = 0. 0,25

Vậy phương trình tiếp tuyến là y = −3(x − 1) + 0 ⇔ y = −3x + 3. 0,25

2 3,00

1 Giải phương trình 3.9

x − 4.3

x + 1 = 0. 1,00

Ta có 3.9

x − 4.3

x + 1 = 0 ⇔ 3.(3x

)

2 − 4.3

x + 1 = 0. 0,25

Đặt t = 3x

. Điều kiện t > 0. Phương trình đã cho trở thành

3t

2 − 4t + 1 = 0 ⇔

"

t = 1

t =

1

3

0,25

Với t = 1 thì 3

x = 1 ⇔ x = 0.

Với t =

1

3

thì 3

x =

1

3

⇔ x = −1.

0,25

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: x = 0, x = −1. 0,25

2 Giải phương trình log4

(x + 1) + 2 log16(x − 2) = 1. 1,00

Page 4 of 7

Điều kiện (

x − 2 > 0

x + 1 > 0

⇔ x > 2. 0,25

Khi đó log4

(x + 1) + 2 log16(x − 2) = 1 ⇔ log4

(x + 1)(x − 2) = 1 0,25

⇔ (x + 1)(x − 2) = 4 ⇔ x

2 − x − 6 = 0 ⇔

"

x = −2

x = 3

0,25

Đối chiếu với điều kiện, ta có nghiệm của phương trình là x = 3. 0,25

3 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = e

x

(x

2 − x − 5) trên [1; 3] 1,00

Ta có y

0 = e

x

(x

2 − x − 5) + e

x

(2x − 1) = e

x

(x

2 + x − 6). 0,25

Khi đó

y

0 = 0

⇔ e

x

(x

2 + x − 6) = 0

⇔ x

2 + x − 6 = 0

⇔

"

x = 2 ∈ [1; 3]

x = −3 ∈/ [1; 3]

0,25

Tính toán ta được

y(1) = −5e,

y(2) = −3e

2

,

y(3) = e

3

.

0,25

Vậy max

[1;3]

y = y(3) = e

3 và min

[1;3]

y = y(2) = −3e

2

. 0,25

3 2,00

1 1,00

0,50

Page 5 of 7

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên (ABCD).

Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên H là tâm đường tròn ngoại

tiếp hình vuông ABCD. Vậy H chính là giao điểm của 2 đường chéo AC

và BD.

Đường cao của hình chóp là SH.

0,25

Cạnh bên SB cắt mặt đáy (ABCD) tại B. Vậy góc tạo bởi cạnh bên và

mặt đáy là góc SBH [ = 600

.

0,25

2 1,00

Diện tích hình vuông là B = AB2 = a

2

(đvdt). 0,25

Ta có BH =

1

2

BD =

1

2

√

BC2 + CD2 =

a

√

2

2

. 0,25

Tam giác SHB vuông tại H nên

SH = BH.tan SBH [ =

a

√

2

2

.tan 600 =

a

√

2

2

.

√

3 =

a

√

6

2

.

0,25

Vậy thể tích khối chóp là V =

1

3

B.SH =

1

3

a

2

.

a

√

6

2

=

a

3

.

√

6

6

(đvtt). 0,25

PHẦN A: Theo chương trình chuẩn.

4a

Tìm m để đồ thị hàm số y = x

4 − 2mx2 + 3 có 3 điểm cực trị tạo thành

tam giác vuông.

1,00

Ta có y

0 = 4x

3 − 4mx = 4x(x

2 − m).

Hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi phương trình y

0 = 0 có 3 nghiệm phân

biệt. Tức là m > 0.

0,25

Tọa độ các điểm cực trị là: A(0; 3), B(−

√

m; −m2 + 3), C(

√

m; −m2 + 3).

Ta có −→AB = (−

√

m; −m2

) và −→AC = (√

m; −m2

).

0,25

Ba điểm cực trị của đồ thị hàm số trùng phương tạo thành một tam giác

cân tại đỉnh thuộc trục Oy. Do đó, tam giác ABC cân tại A. Suy ra tam

giác ABC vuông khi và chỉ khi

−→AB⊥

−→AC ⇔

−→AB.−→AC = 0 ⇔ −m + m4 = 0 ⇔ m(m3 − 1) = 0 ⇔

"

m = 0

m = 1

.

0,25

Vì m > 0 nên giá trị m cần tìm là m = 1. 0,25

5a 1,00

Page 6 of 7

0,25

Theo đề bài ta có góc giữa đường sinh OM và trục OI là

MOI [ =

900

2

= 450

.

0,25

Tam giác OIM vuông tại I nên OM =

a

√

2

sin 450

= 2a. 0,25

Vậy diện tích xung quanh của hình nón là

Sxq = π.IM.OM = π.a√

2.2a = 2√

2.π.a2

(đvdt).

0,25

PHẦN B: Theo chương trình nâng cao.

4b

Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y =

2x

2 + (m − 2)x + 1 − m

x − 1

lần lượt cắt trục Ox, Oy tại A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng

4.

1,00

Ta có y = 2x + m +

1

x − 1

.

lim

x→±∞

[y − (2x + m)] = lim

x→±∞

1

x − 1

= 0. Suy ra đường thẳng y = 2x + m

là tiệm cận xiên.

0,25

Gọi A(a; 0) là giao điểm của tiệm cận xiên với Ox. Ta có

0 = 2a + m ⇔ a = −

m

2

.

Vậy A(−

m

2

; 0).

Gọi B(0; b) là giao điểm của tiệm cận xiên với Oy. Ta có

b = 2.0 + m ⇔ b = m.

Vậy B(0; m).

0,25

Page 7 of 7

Theo đề bài ta có

SOAB = 4 ⇔

1

2

OA.OB = 4

⇔

−

m

2

.|m| = 8 ⇔ m2 = 16 ⇔

"

m = 4

m = −4

0,25

Vậy các giá trị m cần tìm là: m = 4, m = −4. 0,25

5b 1,00

0,25

Gọi M là trung điểm của BC. Vì DE//BC nên

SD

SB =

SE

SC =

SG

SM =

2

3

.

0,25

Ta có VS.ADE

VS.ABC

=

SA

SA.

SD

SB .

SE

SC = 1.

2

3

.

2

3

=

4

9

.

0,25

Vậy VA.BCED

VS.ABC

=

VS.ABC − VS.ADE

VS.ABC

= 1 −

4

9

=

5

9

.

0,25