Inlämningsuppgift 2

Hannes Rydén (830709-4857)

2010-10-13

Uppgift a)

Vi har produktionsfunktionen:

q = K0.5 * L0.6 

Denna kan skrivas om för att lösa ut K:

K0.5 = q / L0.6

K = (q / L0.6)2

Vi kan sedan sätta in q = 5 resp. q = 6:

K1 = (5 / L0.6)2

K2 = (6 / L0.6)2

Detta ger oss våra isokvanter.

För isokostlinjen vet vi lutningen:

-w/r

-2.5/5 = -0.5

Vi kan rita in en rät linje med denna lutning och sedan följa den tills den tangerar K1 och K2. Genom att se vid vilken K och L som tangeringspunkten ligger på kan vi ta reda på hur mycket som ska produceras för kostnadsminimum.

I det här fallet kan vi utläsa att det ska produceras följande för K1:

Ka ≈ 2.6

La ≈ 6.5

Genom att sätta in detta i isokostfunktionen får vi ut de totala kostnaderna för K1:

C = wL + rK

C = 2.5 * 6.5 + 5 * 2.6

C = 29.25

Vi gör samma för K2:

Kb ≈ 3.1

Lb ≈ 7.7

C = wL + rK

C = 2.5 * 7.7 + 5 * 3.1

C = 34.75

De totala kostnaderna för att producera 5 resp. 6 enheter är alltså ca 29.25 resp. 34.75.

Uppgift b)

Eftersom vi har en fast nivå av kapital vid K = 2.7 så kan vi sätta in detta i vår produktionsfunktion och lösa ut L:

q = K0.5 * L0.6 

q = 2.70.5 * L0.6 

L0.6 = q / 2.70.5 

(L0.6)5/3 = q5/3 / (2.70.5)5/3

L = q5/3 / 2.28807262

Eftersom kapitalet är fast så har är de variabla kostnaderna (VC) endast beroende av arbete:

VC(L) = wL

Vi kan sätta in vårt L i VC:

VC(q) = 2.5 * (q5/3 / 2.28807262)

Fasta kostnader (FC) får vi reda på genom:

FC(K) = rK

FC = 5 * 2.7

FC = 13.5

De totala kostnaderna (C) med kapitalet fast vid 2.7 på kort sikt blir alltså:
C = VC + FC

C = 2.5 * (q5/3 / 2.28807262) + 13.5

För q = 6 gäller:

C = 2.5 * (65/3 / 2.28807262) + 13.5

C ≈ 21.65 + 13.5

C = 35.15

Vi kan inte rita upp en isokostlinje för kortsiktiga kostnader, eftersom isokostlinjen kräver att båda produktionsfaktorerna är rörliga.

Uppgift c)

q = K0.5 * L0.6 

w = 2.5

r = 5

Kostnadsminimering:

min. C = wL + rK

biv. q = K0.5 * L0.6 

Vi ställer upp Lagrange-funktionen:

ℒ (λ, K, L) = wL + rK + λ(q - K0.5 * L0.6)

Deriverar med avseende på L:

∂ℒ / ∂L = w - λ * 0.6K0.5 * L-0.4 = 0 (1)

Deriverar med avseende på K:

∂ℒ / ∂K = r - λ * 0.5K-0.5 * L0.6 = 0 (2)

Deriverar med avseende på λ:

∂ℒ / ∂λ = q - K0.5 * L0.6 = 0 (3)

Löser ut λ i (1) och (2):

(1):

w - λ * 0.6K0.5 * L-0.4 = 0

λ * 0.6K0.5 * L-0.4 = w

λ = w / (L-0.4 * 0.6K0.5)

(2):

r - λ * 0.5K-0.5 * L0.6 = 0

λ * 0.5K-0.5 * L0.6 = r

λ = r / (0.5K-0.5 * L0.6)

Villkor för kostnadsminimering:

w / (L-0.4 * 0.6K0.5) = r / (0.5K-0.5 * L0.6)

Vi löser ut K:

w / (L-0.4 * 0.6K0.5) = r / (0.5K-0.5 * L0.6)

(L-0.4 * 0.6K0.5) * r = (0.5K-0.5 * L0.6) * w

L-0.4 * 0.6K0.5 * r / 0.5K-0.5 = L0.6 * w

L-0.4 * 1.2K * r = L0.6 * w

1.2K * r = L0.6 * w / L-0.4

1.2K * r = L * w

1.2K = Lw / r

K = w / 1.2r * L

Vi löser ut L:

w / (L-0.4 * 0.6K0.5) = r / (0.5K-0.5 * L0.6)

(L-0.4 * 0.6K0.5) * r = (0.5K-0.5 * L0.6) * w

L-0.4 * 0.6K0.5 * r / 0.5K-0.5 = L0.6 * w

L-0.4 * 1.2K * r = L0.6 * w

1.2K * r = L0.6 * w / L-0.4

1.2K * r = L * w

L = 1.2r / w * K

Vi sätter in K och L separat i (3) (lambda/produktionsfunktionen) för att göra dem till funktioner av q:

Vi sätter in K och löser ut L från resultatet:

q - K0.5 * L0.6 = 0

q - (w / 1.2r * L)0.5 * L0.6 = 0

(w / 1.2r * L)0.5 * L0.6 = q

(w / 1.2r)0.5 * L0.5 * L0.6 = q

(w / 1.2r)0.5 * L1.1 = q

L1.1 = q / (w / 1.2r)0.5 

(L1.1)10/11 = (q / (w / 1.2r)0.5)10/11

L = (q / (w / 1.2r)0.5)10/11

Vi sätter in L och löser ut K från resultatet:

q - K0.5 * L0.6 = 0

q - K0.5 * (1.2r / w * K)0.6 = 0

K0.5 * (1.2r / w * K)0.6 = q

K0.5 * (1.2r / w)0.6 * K0.6 = q

K1.1 * (1.2r / w)0.6 = q

K1.1 = q / (1.2r / w)0.6 

(K1.1)10/11 = (q / (1.2r / w)0.6)10/11

K = (q / (1.2r / w)0.6)10/11

Vi sätter nu in L och K i isokostfunktionen:

C = wL + rK

C = w * (q / (w / 1.2r)0.5)10/11 + r * (q / (1.2r / w)0.6)10/11

C är vår långsiktiga kostnadsfunktion.

För att ta reda på den långsiktiga kostnaden för att producera 6 enheter så sätter vi in antal enheter och pris i kostnadsfunktionen:

q = 6

w = 2.5

r = 5

Detta ger oss:

C = w * (q / (w / 1.2r)0.5)10/11 + r * (q / (1.2r / w)0.6)10/11

C = 2.5 * (6 / (2.5 / (1.2 *5))0.5)10/11 + 5 * (6 / ((1.2 * 5) / 2.5)0.6)10/11

C = 34.7868386

Den lägsta kostnader för att producera 6 enheter är 34.7868386 på lång sikt.

Uppgift d)

Skillnaden mellan grafisk lösning och algebraisk är att den algebraiska ger oss ett mer exakt svar medan den grafiska ger oss ett snabbare svar. Kostnaderna på kort sikt går snabbare att räkna ut algebraiskt än lång sikt eftersom en variabel är låst, men går inte att lösa grafiskt på samma sätt.

Diagram ritade med GeoGebra