Problemas del teorema de Bolzano

1Demuestra que la función f(x) = x2 − 4x + 2 corta al eje de las abscisas en el intervalo [0,2].¿Se puede decir lo mismo de la función:  ?

2Sea la función:

¿Se puede afirmar que f(x) está acotada en el intervalo [1,4]?

3Sea la función f(x)= x2 + 1. ¿Se puede afirmar que la función toma todos los valores del intervalo [1,5]?

4Utilizando el teorema de Bolzano, demostrar que la ecuación: x3 + x − 5 = 0, tiene al menos una solución x = a tal que 1 < a < 2.

5Sea la función f(x) = x3 − x2 + 1. ¿Se puede afirmar que existe al menos un punto c en el interior del intervalo [1,2] tal que f(c) = 0?

6Justificar que la función polinómica f(x) = x3 + x + 1 tiene un cero comprendido entre −1 y 0.

7Demostrar que la ecuación e−x + 2 = x tiene al menos una solución real.

8Demostrar que existe algún número real x tal que sen x = x.

9Dada la función:

Demuestra que existe un punto del intervalo abierto (2, 4) en el que f toma el valor 1.

EJERCICIOS   DE TEOREMA DE BOLZANO Y OTROS TEOREMAS DE CONTINUIDAD

1Dada la función f(x) = x3, estudiar si está acotada superiormente e inferiormente en el intervalo [1, 5] e indica si alcanza sus valores máximos y mínimos.

2Probar que la función f(x) = x + sen x − 1 es continua para toda  y probar que existe al menos una raíz real de la ecuación x + sen x − 1 = 0.

3Sean f y g dos funciones continuas en [a, b] y tales que f(a) > g(a) y f(b) < g(b). Demostrar que  c  (a, b) tal que f(c) = g(c).