DOĞRU PARÇASI: Doğrunun A ve B noktaları ile bunların arasında kalan bütün noktalarından oluşan kümeye [AB] DOĞRU PARÇASI denir.
Doğrultusu (üzerinde bulunduğu doğru) ve uzunluğundan söz edilebilir.
[AB]=[BA]
|AB|=|CD| ise; [AB]≅ [CD] dir.
YÖNLÜ DOĞRU PARÇASI: Yönlendirilmiş doğru parçasıdır. [AB] de A başlangıç noktası, B bitim noktası seçilirse
AB yönlü doğru parçası belirtilmiş olur.
Doğrultusu, uzunluğu ve yönünden söz edilebilir.
BA AB ≠
EŞ YÖNLÜ DOĞRU PARÇALARI: Doğrultuları aynı (veya paralel), uzunlukları eşit ve yönleri aynı olan yönlü doğru parçalarına Eş Yönlü Doğru Parçaları denir.
SIFIR YÖNLÜ DOĞRU PARÇASI: Başlangıç ve bitim noktası aynı olan yönlü doğru parçalarına Sıfır Yönlü Doğru Parçası denir. 0 biçiminde gösterilir.
VEKTÖRLER
TOPLAMA: Birinin bitim noktası, diğerinin başlangıç noktası olan iki yönlü doğru parçasının toplamı; birincinin başlangıç noktasını başlangıç noktası, ikincinin bitim noktasını bitim noktası kabul eden yönlü doğru parçasıdır.
| BC AB + |≤| AB |+| BC |
Başlangıç noktaları aynı olan iki yönlü doğru parçasının toplamı; bu yönlü doğru parçalarını kenar kabul eden paralelkenarın başlangıç noktasından geçen köşegenidir. Başlangıç noktası ortak başlangıç noktası, bitim noktası karşı köşedir.
OC OB OA = +
OA BC ≡ ve OB AC ≡ olduğundan; OAOB BCOB ACOA OBOA + ≡ + ≡ + ≡ +
A
AB nin + işlemine göre TERSĠ BA AB ≡ - dır.
ÇIKARMA:
BA OB OA ≡ -
CD BC AB CD BC AB CD BC AB AD + + ≡ + + ≡ + + ≡ ) () (
0 ≡ ≡ + + + + AA EA DE CD BC AB
Toplama işlemine göre BĠRĠM ELEMAN 0 dır.
0 0 ≡ + ≡ + BA AB AB AB
k OBkOAkOB OA . .) ( + = +
ÖRNEK: ABC üçgeninde, G kenarortayların kesim noktası ise; 0 ≡ + + GC GB GA dır.
ÇÖZÜM:
GP GC GA ≡ + GB GP - ≡ olduğundan;
0 ≡ + - ≡ + ≡ + + GB GB GB GP GC GB GA
k∈R için; k > 0 ise k. AB ile AB aynı yönlüdür.
k < 0 ise k. AB ile AB ters yönlüdür.
(k+p) ABpABkAB . . + =
ÖRNEK: ABCDEF , merkezi O olan bir düzgün altıgen ise;
AB + AC + AD + AE + AF ≡ .6 AO dur.
ÇÖZÜM:
AC ≡ AB + AO AE ≡ AF + AO AB + AF ≡ AO AD ≡ .2 AO denklikleri kullanılırsa;
AB + ( AOAB + (.2) + AO + AOAF + ) + AF ≡ (2 AB + AF .4) + AO ≡ .2 AO + .4 AO ≡ .6 AO ÖRNEK: M, N, P, Q noktaları ABCD dörtgeninde kenarların orta noktaları ise; MNPQ bir paralelkenardır.
ÇÖZÜM:
MN
- QP = MN + PQ = MB + BN + PD + DQ =
2
AA
= 0
⇒ MN = PQ ( () ) =
1 2
AB
+ 1 2
BC + 1 2
CD + 1 2
DA = 1 2
( AB + BC + CD + DA ) 1
⇒MNPQ paralelkenardır.
ÖRNEK:
D, [BC] nin orta noktası ise; AB + AC = .2 AD dir.
ÇÖZÜM:
AB = AD + DB AC = AD + DC eşitlikleri toplanırsa;
AB + AC = .2 AD + DB + DC DC = - DB olduğundan AB + AC = .2 AD bulunur.
ÖRNEK:
OA = 10 a , OB = 5 b , OC = 34 ba + iken A, B, C nin doğrusal olduğunu göster
ve
BC AB
oranını bulunuz.
ÇÖZÜM:
AB = AO + OB = - )2(5510 abba + = - OCBOBC = + = - )2(2345 abbab + + = - - BC = - 5
2
AB ⇒ BCAB //
⇒ A,B,C doğrusaldır.
AB BC
=
5 2
dir.
VEKTÖR: Yönlü doğru parçaları arasında tanımlanan eşlik bağıntısının oluşturduğu denklik sınıflarından her birine VEKTÖR denir.
AB OP ≡ olacak şekilde seçilen OP vektörüne AB vektörünün KONUM (YER) VEKTÖRÜ denir.
Sıfırdan farklı A ve B vektörleri için; BkABA // ⇔ = olacak biçimde k≠ 0 sayısı vardır.
( A = [x
1
] ve B = [x
2
] için; BA // ⇔
x 1 x 2
= y
1 y
2 ,y
1
,y
2
= k
)
) ve B(x
2
, y
2
) iken; AB nin konum vektörü [x
2
-x
1
, y
2
-y
1
] dir.
] iken; BA + = [x
1
,y
1
]+[x
2
,y
2
] = [x
1
+x
2
,y
1
+y
2
]
P(x
1
A(x
1
= A [x
1
= A [x,y] ve k∈R ise; k A = k[x,y] = [kx,ky]
yxP + =
, y
1
, y
1
x ) ise
yxPOP
=
= ],[
11
= ⌈ │ ⌊
y
1
1
⌉ │ ⌋
,y
1
2 1
] ve = B [x
2
2 1
,y
2
BİRİM VEKTÖR: Uzunluğu 1 birim olan vektördür.
vektörler olmak üzere;
k
1
a 1
+ k
2
a 2
+ ... + k
n
a n
= 0 eşitliği ancak
k
1
=k
2
= ... = k
n
= 0 için sağlanıyorsa
aaa 21 ,...,,
n
vektörleri LĠNEER BAĞIMSIZDIR denir. ( ∆ ≠ 0 dır.)
,k
2
]
= [0,0] ⇒ k
1
,ee lineer bağımsızdır. ( R2 yi gerer.)
= k
2
= 0 ⇒
21
aaa ,...,,
21
A vektörü doğrultusundaki birim vektör ; A
A
= eyex 1
+
yx
2
+
2 2 dir.
k
1
e k
1 1
+k
2 e 2
= k
1
Düzlemde herhangi üç vektör lineer bağımlı, iki vektör (doğrusal değilse) lineer bağımsızdır.
A=[x,y] için; A =x
e 1
+y
e 2
biçiminde yazılabilir.
, k
2
gerçel , ... , k
n
sayılar ,
n
[1,0] + k
2
[0,1] =[k
1
,0] + [0,k
2
] = [k
1
SKALER (İÇ) ÇARPIM:
θ cos . BABA =
ABBA . . =
2 00cos . A AAAA = =
BA BA ⊥ ⇔ = 0. ( 0 ≠ A ve 0 ≠ B )
BA. cos θ
= BA
( cos θ ≤ 1 olduğundan BABA . ≤ dir.)
A nın B ye göre yansımış görüntüsü;
AB B A 2
=
2 ⎛ │ │ │ ⎝
⎞ BA .
2 │ │ │ ⎠
-
dır.
Rpk ∈ , için;
[ yxA = 11
, ]
ve
⎞ A nın B üzerindeki dik izdüşümü; A
1
=
⎛ │ │ │ ⎝
BA .
B
2 │ │ │ ⎠
B
dir.
( )( ) ( ) BAkpBpAk . = ( ) CABACBA .. + = + ( )
CBCACBA . . + = +
2 2 2 .2 BBA ABA + + = +
[ yxB = 22
, ]
için;
yyxxBA . = 21
+ 21 dir.
BAABV . . + = vektörü,
A ve B vektörlerinin oluşturduğu açının açıortay vektörüdür.
[ baA = , ]
dir
ALIŞTIRMALAR:
1)
ax+by+c=0 doğrusuna dik olan vektör
A = [ 1,7 - ]
,
B = [ 2,13 ]
,
C = [ 5,4 ]
iken
XCXBA + + = 3 - eşitliğini sağlayan X vektörünü bulunuz.
2) [-3,5]=x[1,1]+y[1,2] eşitliğini sağlayan x ve y sayılarını bulunuz.
3)
eA = 1
+ 3e 2 ve
eeB =
1 - 2 vektörlerinin belirttikleri açının ölçüsü kaç derecedir?
4)
eeA = 3 1
+ 2 ve
ekeB = - 2 1
+ 2 vektörlerinin ; a) Dik olması için, b) Paralel olması için k ne olmalıdır?
5)
A = [ 2,3 ]
vektörünün
B = [ 1,5 - ]
vektörü üzerindeki dik izdüşümünü ve yansımış görüntüsünü bulunuz.
6) A ve B vektörlerinin oluşturdukları açının ölçüsü
2π 3
,
A = 3 ve B = 4 ise ;
23 BA +
2
( 23 BABA - )( + 2 )
BA. BA- ifadelerini hesaplayınız.
7) CBA ,, birim vektörler, CBA + + = 0 ise ;
ACCBBA . + . + . ifadesini hesaplayınız.