DOĞRU PARÇASI: Doğrunun A ve B noktaları ile bunların arasında kalan bütün noktalarından oluşan kümeye [AB] DOĞRU PARÇASI denir.

Doğrultusu (üzerinde bulunduğu doğru) ve uzunluğundan söz edilebilir.

[AB]=[BA]

|AB|=|CD| ise; [AB]≅ [CD] dir.

YÖNLÜ DOĞRU PARÇASI: Yönlendirilmiş doğru parçasıdır. [AB] de A başlangıç noktası, B bitim noktası seçilirse

AB yönlü doğru parçası belirtilmiş olur.

Doğrultusu, uzunluğu ve yönünden söz edilebilir.

BA AB ≠

EŞ YÖNLÜ DOĞRU PARÇALARI: Doğrultuları aynı (veya paralel), uzunlukları eşit ve yönleri aynı olan yönlü doğru parçalarına Eş Yönlü Doğru Parçaları denir.

SIFIR YÖNLÜ DOĞRU PARÇASI: Başlangıç ve bitim noktası aynı olan yönlü doğru parçalarına Sıfır Yönlü Doğru Parçası denir. 0 biçiminde gösterilir.

VEKTÖRLER



TOPLAMA: Birinin bitim noktası, diğerinin başlangıç noktası olan iki yönlü doğru parçasının toplamı; birincinin başlangıç noktasını başlangıç noktası, ikincinin bitim noktasını bitim noktası kabul eden yönlü doğru parçasıdır.

| BC AB + |≤| AB |+| BC |

Başlangıç noktaları aynı olan iki yönlü doğru parçasının toplamı; bu yönlü doğru parçalarını kenar kabul eden paralelkenarın başlangıç noktasından geçen köşegenidir. Başlangıç noktası ortak başlangıç noktası, bitim noktası karşı köşedir.

OC OB OA = +

OA BC ≡ ve OB AC ≡ olduğundan; OAOB BCOB ACOA OBOA + ≡ + ≡ + ≡ +

A



AB nin + işlemine göre TERSĠ BA AB ≡ - dır.

ÇIKARMA:

BA OB OA ≡ -

CD BC AB CD BC AB CD BC AB AD + + ≡ + + ≡ + + ≡ ) () (

0 ≡ ≡ + + + + AA EA DE CD BC AB

Toplama işlemine göre BĠRĠM ELEMAN 0 dır.

0 0 ≡ + ≡ + BA AB AB AB



k OBkOAkOB OA . .) ( + = +

ÖRNEK: ABC üçgeninde, G kenarortayların kesim noktası ise; 0 ≡ + + GC GB GA dır.

ÇÖZÜM:

GP GC GA ≡ + GB GP - ≡ olduğundan;

0 ≡ + - ≡ + ≡ + + GB GB GB GP GC GB GA

k∈R için; k > 0 ise k. AB ile AB aynı yönlüdür.

k < 0 ise k. AB ile AB ters yönlüdür.

(k+p) ABpABkAB . . + =



ÖRNEK: ABCDEF , merkezi O olan bir düzgün altıgen ise;

AB + AC + AD + AE + AF ≡ .6 AO dur.

ÇÖZÜM:

AC ≡ AB + AO AE ≡ AF + AO AB + AF ≡ AO AD ≡ .2 AO denklikleri kullanılırsa;

AB + ( AOAB + (.2) + AO + AOAF + ) + AF ≡ (2 AB + AF .4) + AO ≡ .2 AO + .4 AO ≡ .6 AO ÖRNEK: M, N, P, Q noktaları ABCD dörtgeninde kenarların orta noktaları ise; MNPQ bir paralelkenardır.

ÇÖZÜM:

MN

- QP = MN + PQ = MB + BN + PD + DQ =

2

AA

= 0

⇒ MN = PQ ( () ) =

1 2

AB

+ 1 2

BC + 1 2

CD + 1 2

DA = 1 2

( AB + BC + CD + DA ) 1

⇒MNPQ paralelkenardır.



ÖRNEK:

D, [BC] nin orta noktası ise; AB + AC = .2 AD dir.

ÇÖZÜM:

AB = AD + DB AC = AD + DC eşitlikleri toplanırsa;

AB + AC = .2 AD + DB + DC DC = - DB olduğundan AB + AC = .2 AD bulunur.

ÖRNEK:

OA = 10 a , OB = 5 b , OC = 34 ba + iken A, B, C nin doğrusal olduğunu göster

ve

BC AB

oranını bulunuz.

ÇÖZÜM:

AB = AO + OB = - )2(5510 abba + = - OCBOBC = + = - )2(2345 abbab + + = - - BC = - 5

2

AB ⇒ BCAB //

⇒ A,B,C doğrusaldır.

AB BC

=

5 2

dir.



VEKTÖR: Yönlü doğru parçaları arasında tanımlanan eşlik bağıntısının oluşturduğu denklik sınıflarından her birine VEKTÖR denir.

AB OP ≡ olacak şekilde seçilen OP vektörüne AB vektörünün KONUM (YER) VEKTÖRÜ denir.

Sıfırdan farklı A ve B vektörleri için; BkABA // ⇔ = olacak biçimde k≠ 0 sayısı vardır.

( A = [x

1

] ve B = [x

2

] için; BA // ⇔

x 1 x 2

= y

1 y

2 ,y

1

,y

2

= k

)

) ve B(x

2

, y

2

) iken; AB nin konum vektörü [x

2

-x

1

, y

2

-y

1

] dir.

] iken; BA + = [x

1

,y

1

]+[x

2

,y

2

] = [x

1

+x

2

,y

1

+y

2

]

P(x

1

A(x

1

= A [x

1

= A [x,y] ve k∈R ise; k A = k[x,y] = [kx,ky]

yxP + =

, y

1

, y

1

x ) ise

yxPOP

=

= ],[

11

= ⌈ │ ⌊

y

1

1

⌉ │ ⌋

,y

1

2 1

] ve = B [x

2

2 1

,y

2



BİRİM VEKTÖR: Uzunluğu 1 birim olan vektördür.

vektörler olmak üzere;

k

1

a 1

+ k

2

a 2

+ ... + k

n

a n

= 0 eşitliği ancak

k

1

=k

2

= ... = k

n

= 0 için sağlanıyorsa

aaa 21 ,...,,

n

vektörleri LĠNEER BAĞIMSIZDIR denir. ( ∆ ≠ 0 dır.)

,k

2

]

= [0,0] ⇒ k

1

,ee lineer bağımsızdır. ( R2 yi gerer.)

= k

2

= 0 ⇒

21

aaa ,...,,

21

A vektörü doğrultusundaki birim vektör ; A

A

= eyex 1

+

yx

2

+

2 2 dir.

k

1

e k

1 1

+k

2 e 2

= k

1

Düzlemde herhangi üç vektör lineer bağımlı, iki vektör (doğrusal değilse) lineer bağımsızdır.

A=[x,y] için; A =x

e 1

+y

e 2

biçiminde yazılabilir.

, k

2

gerçel , ... , k

n

sayılar ,

n

[1,0] + k

2

[0,1] =[k

1

,0] + [0,k

2

] = [k

1



SKALER (İÇ) ÇARPIM:

θ cos . BABA =

ABBA . . =

2 00cos . A AAAA = =

BA BA ⊥ ⇔ = 0. ( 0 ≠ A ve 0 ≠ B )

BA. cos θ

= BA

( cos θ ≤ 1 olduğundan BABA . ≤ dir.)

A nın B ye göre yansımış görüntüsü;

AB B A 2

=

2 ⎛ │ │ │ ⎝

⎞ BA .

2 │ │ │ ⎠

-

dır.

Rpk ∈ , için;

[ yxA = 11

, ]

ve

⎞ A nın B üzerindeki dik izdüşümü; A

1

=

⎛ │ │ │ ⎝

BA .

B

2 │ │ │ ⎠

B

dir.

( )( ) ( ) BAkpBpAk . = ( ) CABACBA .. + = + ( )

CBCACBA . . + = +

2 2 2 .2 BBA ABA + + = +

[ yxB = 22

, ]

için;

yyxxBA . = 21

+ 21 dir.



BAABV . . + = vektörü,

A ve B vektörlerinin oluşturduğu açının açıortay vektörüdür.

[ baA = , ]

dir

ALIŞTIRMALAR:

1)

ax+by+c=0 doğrusuna dik olan vektör

A = [ 1,7 - ]

,

B = [ 2,13 ]

,

C = [ 5,4 ]

iken

XCXBA + + = 3 - eşitliğini sağlayan X vektörünü bulunuz.

2) [-3,5]=x[1,1]+y[1,2] eşitliğini sağlayan x ve y sayılarını bulunuz.

3)

eA = 1

+ 3e 2 ve

eeB =

1 - 2 vektörlerinin belirttikleri açının ölçüsü kaç derecedir?

4)

eeA = 3 1

+ 2 ve

ekeB = - 2 1

+ 2 vektörlerinin ; a) Dik olması için, b) Paralel olması için k ne olmalıdır?

5)

A = [ 2,3 ]

vektörünün

B = [ 1,5 - ]

vektörü üzerindeki dik izdüşümünü ve yansımış görüntüsünü bulunuz.

6) A ve B vektörlerinin oluşturdukları açının ölçüsü

2π 3

,

A = 3 ve B = 4 ise ;

23 BA +

2

( 23 BABA - )( + 2 )

BA. BA- ifadelerini hesaplayınız.

7) CBA ,, birim vektörler, CBA + + = 0 ise ;

ACCBBA . + . + . ifadesini hesaplayınız.