Інформаційні системи і технології

Практична робота №3

Тема: «Системи числення»

В результаті роботи студент повинен закріпити теоретичні знання та набути практичних навичок в області представлення чисел в різних системах числення

Мета: вивчити позиційні системи числення; отримати практичні навички переведення чисел з однієї системи числення в іншу

Основні положення

1. Основні теоретичні відомості

Система числення – це сукупність прийомів і правил представлення чисел за наявності обмеженої кількості символів. Множину символів, які використовуються для запису чисел, називають цифрами.

Непозиційна система числення – система в якій кількісний еквівалент цифри не залежить від місця його розміщення в числі. Прикладом непозиційної системи числення є римська, в якій використовуються принципи додавання і віднімання. Непозиційні системи числення характеризуються досить складними і громіздкими алгоритмами подання чисел і виконання арифметичних. Тому в цифровій обчислювальній техніці не застосовується.

Позиційна система числення – система, в якій кількісний еквівалент цифри залежить від її розміщення в записі числа. Наприклад в записі 525 цифра 5 зустрічається два рази, проте перша цифра 5 позначає кількість сотих – п’ятсот, а друга – кількість одиниць – п’ять. Основною перевагою позиційних систем числення в порівнянні з непозиційними є зручність подання чисел і простота виконання арифметичних дій.

Основою позиційної системи числення є кількість цифр, які використовуються для запису чисел. Основи найбільш вживаних позиційних систем числення наведені у таблиці 1.

Таблиця 1

Основи найбільш вживаних позиційних систем числення

При написанні числа система числення позначається правим нижнім індексом, який являє собою основу системи числення представленій у десятковій системі числення. Приклади записів чисел у різних системах числення представлені у таблиці 2.

Таблиця 2

Приклади запису чисел у різних системах числення

В позиційних системах числення використовується принцип множення і додавання. В загальному вигляді число виглядає наступним чином:

N = an-1 qn-1  + an-2 qn-2 +…+ a1 q1 + a0 q0 + a-1 q-1 + … + a-m q –m                (1)

або

де

q – основа системи числення,

ai – цифри, які знаходяться в діапазоні 0≤ai<q,

m – число розрядів справа від коми (дрібна частина числа),

n – число розрядів зліва від коми (ціла частина числа)

Приклад представлення чисел різних систем числення у вигляді многочлена наведено у таблиці 3.

Таблиця 3

Представлення чисел різних систем числення у вигляді многочлена

2. Перетворення чисел з однієї системи числення в іншу

Перетворення чисел з однієї системи числення в іншу – це еквівалентне подання однієї і тієї ж величини в різних системах числення.

2.1. Для перетворення числа з недесяткової системи числення в десяткову необхідно записати число у вигляді многочлена (1) і виконати обчислення, користуючись звичною десятковою арифметикою. Для прикладу розглянемо числа з таблиці 3.

Оскільки в шістнадцятковій системі числення A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15, число A2C16 в десятковій системі числення матиме наступний вигляд:

2.2. Для перетворення дробу, представленого в недесятковій системі числення, в десяткову систему числення треба число розділити на основу, наприклад:

2.3. Для перетворення десяткового числа в еквівалентне число представлене іншою системою числення необхідно окремо перетворювати цілу і дрібну частину числа.

2.3.1. Для перетворення цілої частини числа з десяткової системи числення в іншу треба це число послідовно ділити на основу тієї системи числення, в яку воно перетворюється. Ділення відбувається до тих пір, поки остача від ділення не буде меншою за основу. Остання остача є найстаршим розрядом, перша остача – найменшим розрядом. Наприклад, перетворимо число 130 з десяткової системи числення в двійкову:

2.3.2. Для перетворення дрібної частини числа з десяткової системи числення в іншу треба послідовно множити дрібну частину на основу. В результаті записуємо цілу частину. Наприклад, перетворимо число 130,84610. Цілу частину ми вже знайшли в попередньому прикладі. Знайдемо дрібну частину:

Отже, число 130,84610 = 10000010,11011002

2.4. В таблиці 4 наведені перші двадцять чисел в різних системах числення

Таблиця 4

Перші двадцять чисел в різних системах числення

2.4.1. Для перетворення двійкового числа у вісімкове, необхідно об’єднати двійкові цифри в групи по три розряди, починаючи від коми (для цілих – зліва направо, для дробових – справа наліво). Якщо не вистачає чисел, тоді дописуються нулі. Користуючись таблицею 4 групи по три числа записуються відповідним числом у вісімковій системі числення. Наприклад, число 110110012 переведемо у вісімкову систему числення:

110110012 = 011   011   001 = 3   3   1 = 3318

Для перетворення вісімкового числа у двійкове необхідно кожну цифру замінити трьох розрядним двійковим числом (непотрібні нулі відкидаються). Для перетворення скористаємось таблицею 4. Наприклад, переведемо число 3058 у двійкову систему числення:

3058 = 3   0   5   = 011   000   101 = 110001012

2.4.2. Для перетворення двійкового числа у шістнадцяткове і навпаки використовують ту ж схему, що і в попередньому прикладі, тільки числа об’єднують в групи не по три, а по чотири.

Завдання

І. Для виконання завдань користуватися тільки ручками і аркушами паперу.

1. Перетворити дані в таблиці 5 числа в десяткову систему числення.
2. Перетворити дані в таблиці 5 двійкові числа в вісімкову і шістнадцяткову системи числення.
3. Перетворити дані в таблиці 5 вісімкові і шістнадцяткові числа в двійкову систему числення.
4. Перетворити дані в таблиці 6 десяткові числа в двійкову, вісімкову і шістнадяткову системи числення

Таблиця 5

Варіанти для завдань 1-3

Таблиця 6

Варіанти для завдання 4

ІІ. Завдання для виконання на комп’ютері

1. Завантажити програму MS Excel
2. Виконати попередні завдання користуючись функціями табличного процесора (табл. 7).
3. Надіслати файл із завданням на адресу sci.lavr@gmail.com В темі листа обов’язково вказати прізвище, групу, дисципліну і номер практичної роботи. Листи без теми перевірятися не будуть.

Таблиця 7

Перелік функцій табличного процесора для перетворення чисел у різні системи числення