GRUPO I

GRUPO II

1.1.

Como  é raiz do polinómio ele é divisível por . Usando a regra de Ruffini, podemos obter a decomposição do polinómio:

Então e as raízes pretendidas serão as raízes de

A escrita destas raízes na forma trigonométrica é imediata: em ambas o módulo é 4 e os argumentos são os argumentos associados aos complexos  e .

Assim, as raízes pretendidas são  e .

1.2.

Comecemos por efectuar :

Para que a imagem geométrica deste complexo esteja no 3º Q e pertença à bissectriz dos quadrantes ímpares (), um dos seus argumentos poderá ser .

Então, =.

Resolvendo esta equação:

=

Atribuindo a  o valor  encontramos o menor  possível: .

2.1.

Este problema pode ser resolvido usando a distribuição binomial.

Consideremos a variável aleatória : “número de jovens que utilizam o cartão multibanco para pagarem o seu bilhete”.

Existem 9 jovens (provas) independentes uns dos outros quanto à forma de pagamento.

Para cada jovem há duas hipóteses: ou utiliza o cartão multibanco (sucesso) ou não utiliza (insucesso).

A probabilidade, , de sucesso é  e é igual para todos os jovens.

Então:

2.2.

Consideremos os acontecimentos:

A: “O passageiro perde o voo”.

B: “O destino é Berlim”

C: “O destino é Paris”

Podemos representar o problema através de uma árvore de probabilidades:

Pretendemos

3.

, o que é verdade pois, 1 representa a probabilidade do acontecimento certo e segundo a axiomática de probabilidade,  a probabilidade de qualquer acontecimento é inferior ou igual à probabilidade do acontecimento certo.

4.

O instante em que a temperatura atingiu o valor máximo é horas.

Como 13 h e 20’.

5.1.

Como ambos os limites têm resultado zero, qualquer um deles nos serve para descobrir a equação da assimptota horizontal: .

Ponto de tangência:

O declive da recta tangente ao gráfico da função neste ponto é: .

A equação da recta tangente é:

As coordenadas do ponto serão o par ordenado solução do sistema:

Assim, .

5.2.

6.1.

Vamos começar por descobrir a abcissa de A, que será o zero positivo de f de menor valor:

Fazendo  encontramos esse zero: .

Então .

.

.

.

Então a área do trapézio é:

.

6.2.

, c. q. d.

7.

A opção que pode representar  é a opção III.

O gráfico da opção I não representa  pois o sentido das concavidades não está correcto.

Por exemplo, no intervalo , a função  deve ter concavidade voltada para baixo, o que não acontece no gráfico apresentado para a opção I.

O gráfico da opção II também não representa  pois nesta opção  e  têm sinais contrários. Tal não pode acontecer dado que, por hipótese, .

O gráfico da opção IV não representa  pois, caso representasse, a função  teria um ponto de descontinuidade. Tal significaria que nesse ponto não poderiam existir derivadas, isto é, o domínio de  não poderia ser , o que é absurdo, por hipótese.