=====================================================================

При нормальном распределении, которое симметрично, значение медианы и среднего арифметического равны, а значение асимметрии и эксцесса равны нулю. Если средняя арифметическая больше медианы, а коэффициент асимметрии больше нуля, то распределение имеет правосторонюю асимметрию (скошена вправо). При левосторонней асимметрии средняя арифметическая меньше медианы, а коэффициент асимметрии меньше нуля.

=====================================================================

Повтор мантры "всегда необходимо проверять нормальность распределения" демонстрирует глубокое непонимание основ теории статистики, а именно разницу между популяционными параметрами (которые должны иметь нормальное распределение в случае неизвестного значения популяционной дисперсии) и выборочными.

=====================================================================

Форум медиков-аспирантов по статистике

http://forum.disser.ru/index.php?showforum=46 

Орехов Л.И., Караваева Е.Л. О необходимости соответствия статистических и экспериментальных методов современным требованиям // Теория и практика физической культуры. - 2005. № 3.

О значении правильного понимания статистических методов В.М. Зациорский [7] писал еще в 1989 г., отмечая их некорректное использование при обработке результатов исследования и примитивное понимание экспериментальных методов в виде только классического однофакторного эксперимента (тогда как в ведущих зарубежных университетах давно применяют многофакторные эксперименты с последующим дисперсионным анализом) и методов множественных сравнений. Однако, к великому сожалению, авторы научных публикаций представляют результаты исследований по своему усмотрению, используя различные обозначения статистических показателей. Средние арифметические обозначают M и x, стандартные отклонения s или S в двух значениях - положительном и отрицательном (±s, ±S), указывают ошибки средних ±m или ±σ. Не всегда указывают объем выборочной совокупности (n). Такое разнообразие представлений результатов исследования затрудняет их понимание и сравнение с другими данными, выполненными по аналогичной проблеме.

Причина такого разнообразия - различные рекомендации по статистическим методам, изложенные в учебных пособиях. Возникает вопрос: что считать правильным и как следует представлять материалы исследований в таблицах с использованием статистических показателей?

Таблица 1. Обозначения статистических параметров генеральных совокупностей и оценок этих параметров в выборочных совокупностях

Таблица 2. Смещенность или несмещенность различных оценок параметров совокупностей (по Дж. Гласе, Дж. Стэнли [5])

При выборе статистических оценок для представления в таблицах или в тексте научной работы математики рекомендуют руководствоваться требованиями несмещенности, состоятельности и эффективности, которые были обоснованы Р. Фишером [18] и изложены в ряде учебных пособий [5, 13, 14], однако конкретные указания по их применению были сделаны недостаточно убедительно и в научных работах их стали игнорировать. Дж. Гласс и Дж. Стэнли подробно обосновали необходимость соблюдения этих требований и конкретно определили, какие статистические оценки следует использовать в научных работах [5, с. 227-232] (табл. 2).

Несмещенность оценивания означает, что среднее выборочного распределения оценки равно величине оцениваемого параметра. Так как исследователь изучает не генеральную совокупность, а выборку, то возникает вопрос об эффективности оценок, т.е. с какой точностью эти оценки выборочной совокупности отражают генеральную совокупность. Из табл. 2 видно, что для любой совокупности (нормальной и асимметричной) среднее (X) и дисперсия (σ2) являются несмещенными оценками генеральных параметров. Стандартное отклонение (σ) - отрицательно смещенная, однако оно является состоятельным, так как при увеличении объема выборки (n) приближаются к значениям генеральных параметров.

Эффективность относится к точности оценки параметра и определяется дисперсией ошибки выборочного распределения статистики.

Математики считают, что в наибольшей степени требованиям несмещенности, состоятельности и эффективности соответствуют оценки средних арифметических (X), дисперсии (σ2), стандартных отклонений (σ). Всегда нужно указывать объем выборки (n).

Что касается знаков ± перед стандартным отклонением, то следует руководствоваться определением математиков. "Стандартное отклонение, обозначаемое S, определяется как положительное значение квадратного корня из дисперсии" [5, с. 80]. При этом стандартное отклонение (его называют еще квадратичным отклонением) имеет те же единицы измерения, что и средние.

Литература 

5. Гласс Дж., Стэнли Дж. Статистические методы в педагогике и психологии. - М.: Прогресс, 1976. - 496 с.

7. Зациорский В.М. Осторожно: статистика! //Теория и практика физ. культуры. 1989, №2, с. 52-55.

13. Орехов Л.И., Караваева Е.Л., Асмолова Л.А. Управление, контроль, измерение, статистические и экспериментальные методы в педагогике, психологии и физической культуре: Учеб. пос. - Алматы: КазАСТ, ННПЦФК, ВКТУ, 2004. - 169 с.

14. Рокицкий П.Ф. Биологическая статистика. - 2-е изд., испр.: Учеб. пос. - Минск: Вышэйшая школа, 1967. - 328 с.

18. Fischer R. Statistical Methods and Scientific Inference. Olive a. Bayd, 1959. -178 pp.