PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE  SÃO PAULO

Centro de Ciências Exatas e Tecnologia

Faculdade de Matemática, Física e Tecnologia

Lei do inverso do quadrado da distância com Arduino

Anderson de Castro Teixeira

Prof.ª Marisa Almeida Cavalvante

São Paulo, 2012

1. Objetivo

Verificar a lei do quadrado da distância utilizando o Arduino como ferramenta de coleta de dados.

2. Introdução

No cotidiano, descrevemos luz subjetivamente, por exemplo: a luz é 'bom' se ela nos permite fazer o que nós queremos fazer; e 'mau' se isso não acontecer. Mas a luz pode ser medida e descrita numericamente. Em particular, pode-se medir a intensidade da luz, se a fonte de dados produz uma unidade de luz, duas fontes de luz vai produzir o dobro, dez fontes irão produzir 10 vezes mais, e assim por diante. Assim, faz sentido falar sobre a intensidade da luz em termos matemáticos.

Deste modo podemos medir a intensidade da luz de duas formas diferentes. Primeiro, temos de considerar a quantidade total de luz que uma fonte - por exemplo, uma estrela, ou uma lâmpada - emite. Em segundo lugar, devemos considerar a quantidade de luz de uma fonte que atinge a nossa um determinado lugar.

A diferença entre estes dois tipos de intensidade é parte de experiências cotidianas. Por exemplo, uma lâmpada de 100 watts de luz é uma fonte bastante poderosa de luz, quando colocado a poucos metros de sua mesa, ele fornece uma abundância de luz de leitura. Mas mesmo um watt 1000 lâmpada não vai fornecer luz suficiente para ler, se ele está localizado a poucos cem metros de distância.

Assim podemos dar nomes diferentes para essas duas formas de medir a intensidade.

A quantidade total de luz emitida pela fonte é chamada de luminosidade. A luminosidade da lâmpada elétrica é mais ou menos proporcional ao número de watts que consome (pois não é 100% eficientes)  Já a quantidade de luz que recebemos de uma fonte é chamada de brilho. Brilho é a quantidade de luz por unidade de área. O brilho de uma fonte depende de quão longe ela é colocada, enquanto a luminosidade de uma fonte não.

Uma experiência simples mostra a relação entre a luminosidade, brilho e distância. Como mostrado no diagrama abaixo, vamos colocar uma lâmpada, e de um lado da lâmpada, vamos posicionar um anteparo com um pequeno buraco. A luz da lâmpada se espalha para fora em todas as direções do espaço tridimensional. Certa quantidade de luz que passa através do buraco, atinge uma tela paralela. O total de quantidade de luz que passa através do buraco e atinge a tela não depende de onde colocamos a tela. Mas, ao mover a tela mais longe, este montante fixo de luz deve cobrir uma área maior, e o brilho diminui na tela.

Para ser mais específico, suponha que nós estamos usando uma lâmpada de 200 watts. De acordo com o fabricante, esta lâmpada tem uma saída de luz de cerca de 4000 lúmens (unidade de luminosidade). Vamos colocar uma tela a uma determinada distância o centro da lâmpada, e fazer o buraco de uma polegada quadrado de lado. Imagine uma esfera com um raio de 1 pé = 12 polegadas de centro na lâmpada. Esta esfera tem uma superfície de 1.810 polegadas quadradas, por outras palavras, seriam necessários 1810 quadrados, cada um de 1 polegada de lado, para cobrir toda a esfera. Os 4.000 lumens se espalha uniformemente sobre toda a superfície da esfera, de modo que em cada polegadas quadradas fica apenas 4000/1810 = 2,2 lumens, que é também a quantidade de luz que passa através do buraco de 1 polegada que cortamos.

Figura 1:

Se movermos a tela para uma distância de 2 metros da lâmpada, a luz que passa através do buraco agora cai em um quadrado que é de 2 polegadas de lado. A área atingida agora é de 2×2 polegadas = 4 polegadas quadrados, de modo que o brilho é de 2,2 lumens / 4 de polegadas quadrado = 0,55 lumens por polegada quadrada.

Movendo a tela ainda mais longe espalha a luz mais e reduz o brilho da luz ainda mais. Em todos os casos, a última coluna é apenas 2,2 lumens dividido pela área do quadrado iluminado.

A o anteparo com o buraco central nos ajudou a definir a quantidade de luz que incide sobre a tela, e o mesmo irá ocorrer se tirarmos.

Podemos expressar a relação entre a luminosidade, brilho e distância com uma fórmula simples. Considerando L a luminosidade de uma fonte que emite luz em todas as direções, e D é à distância a partir da fonte para o ponto onde se deseja calcular luminosidade da fonte. Assim, o brilho é dado por:

Aqui, o denominador é apenas a área de uma esfera de raio D. Como a área de uma esfera aumenta como o quadrado do seu raio, é por isso que esta é chamada a lei do inverso do quadrado, a luminosidade é inversamente proporcional ao quadrado da distância.

3. Material utilizado

Placa Arduino

Resistor 10 kohms

Sensor LDR

Régua

Lâmpada

Montagem:

4. Procedimento experimental

O primeiro passo é montar o circuito no protoboard com um resistor de 10kohms e um LDR, sendo a placa Arduino conectada na entrada USB de um computador, conforme imagem abaixo. Lembrando que isso deve ser transferido posteriormente para um suporte.

Figura 2:

Em seguida copiamos o código abaixo no ambiente de desenvolvimento do Arduino e fazemos o upload para a placa.

A coleta de dados será feita no Monitor serial, que pode ser acessado no ícone do canto superior direito da interface. Neste caso, serão feitas N medidas da condutância e calculada a média. A leitura é feita pelo comando via teclado com a tecla “L” seguida de “ENTER”.

Figura 3:

Isso deve ser feito para distâncias diferentes entre o sensor LDR e a fonte de luz, tanto para a fonte acessa, quanto ela apagada. Essa última é a luz de fundo. Assim a condutância será a diferença entre os dois casos. Como mostrado na figura 2, à montagem possui um trilho que permite a movimentação da fonte de modo que ela permaneça fixa horizontalmente.

A distância é medida utilizando a fita métrica colocada na lateral da montagem.

5. Resultados e Análise de dados

Foram coletados 10 valores de condutância e obtido a média através do Arduino, para cada distância fixada no trilho. Abaixo o gráfico que relaciona as duas grandezas.

Para validar as medidas, construímos o gráfico da condutância em função do inverso do quadrado da distância. Para obter um melhor resultado, selecionados apenas os maiores de distância.

6. Conclusão

Com o Arduino foi possível coletar uma grande quantidade de dados de forma ágil, sendo a montagem e a programação desenvolvidas bastante simples. A montagem possibilitou o deslocamento de fonte de luz de forma a permanecer alinhado com o sensor LDR, contribuindo para uma maior precisão dos resultados.

7. Referências

Wikipédia: Inverse-square law. Disponível em http://en.wikipedia.org/wiki/Inverse-square_law. Acesso em 8 de Outubro de 2012

Joshua E. Barnes , The Inverse-Square Law. Disponível em http://www.ifa.hawaii.edu/~barnes/ASTR110L_S03/inversesquare.html. Acesso em 9 de Outubro de 2012.