LOGARITMOS

O conceito de logaritmo foi introduzido pelo matemático escocês John Napier (1550-1617) e aperfeiçoado pelo inglês Henry Briggs (1561-1630). A descoberta dos logaritmos deveu-se sobretudo à grande necessidade de simplificar os cálculos excessivamente trabalhosos para a época, principalmente na área da astronomia, entre outras. Através dos logaritmos, pode-se transformar as operações de multiplicação em soma, de divisão em subtração, entre outras transformações possíveis, facilitando sobremaneira os cálculos. Na verdade, a ideia de logaritmo é muito simples, e pode-se dizer que o nome logaritmo é uma nova denominação para expoente, conforme veremos a seguir.

Assim, por exemplo, como sabemos que 42 = 16 , onde 4 é a base, 2 o expoente e 16 a potência, na linguagem dos logaritmos, diremos que 2 é o logaritmo de 16 na base 4. Simples, não é?

Nestas condições, escrevemos simbolicamente: log 4 16 = 2.

Outros exemplos:

152 =225, então: log 15 225 = 2

63 = 216, então: log 6 216 = 3

54 = 625, então: log 5 625 = 4

70 = 1, então: log 71 = 0

2 - DEFINIÇÃO

Dados os números reais b (positivo e diferente de 1), N (positivo) e x , que satisfaçam a relação bx = N, dizemos que x é o logaritmo de N na base b. Isto é expresso simbolicamente da seguinte forma: logbN = x. Neste caso, dizemos que b é a base do sistema de logaritmos, N é o logaritmando ou antilogaritmo e x é o logaritmo.

Exemplos:

a) log 2 8 = 3         porque 23 = 8.

b) log 4 1 = 0         porque 40 = 1.

c) log 3 9 = 2         porque 32 = 9

d) log 5 5 = 1         porque 51 = 5.

Notas:

1 - quando a base do sistema de logaritmos é igual a 10, usamos a expressão logaritmo decimal e na representação simbólica escrevemos somente log N ao invés de log 10 N.

Assim é que quando escrevemos log N = x, devemos concluir pelo que foi exposto, que 10x=N.

Existe também um sistema de logaritmos chamado neperiano (em homenagem a John Napier-matemático escocês do século XVI, inventor dos logaritmos), cuja base é o número irracional e = 2,7183... e indicamos este logaritmo pelo símbolo ln.

Assim, log e M = ln M.

Este sistema de logaritmos, também conhecido como sistema de logaritmos naturais, tem grande aplicação no estudo de diversos fenômenos da natureza. Como nos fenômenos relacionados ao crescimento.

Exemplos:

a) log 100 = 2             porque 102 = 100.

b) log 1000 = 3     porque 103 = 1000.

c) log 2 = 0,3010   porque 100,3010 = 2.

d) log 3 = 0,4771   porque 100,4771 = 3.

e) ln e = 1             porque e1         = e = 2,7183...                

OBS.: ln 7 = loge7                 

2 - Os logaritmos decimais (base 10) normalmente são números decimais onde a parte inteira é denominada característica e a parte decimal é denominada mantissa .

Assim por exemplo, sendo log20 = 1,3010, 1 é a característica e 0,3010 a mantissa.

OBS.: As mantissas dos logaritmos decimais são tabeladas.

Consultando a tábua de logaritmo (qualquer livro de Matemática traz) , podemos escrever por exemplo que log 45 = 1,6532.

3 - Da definição de logaritmo, infere-se (conclui-se) que somente os números reais positivos possuem logaritmo. Assim, não têm sentido as expressões log 3 (-9) , log 2 0 , etc.

4 - É fácil demonstrar as seguintes propriedades imediatas dos logaritmos, todas decorrentes da definição:

P1) O logaritmo da unidade em qualquer base é nulo, ou seja: logb1 = 0 porque b0 = 1.

P2) O logaritmo da base é sempre igual a 1, ou seja: logbb = 1 , porque b1 = b.

P3) logbbk = k , porque bk = bk .

P4) Se logbM = logbN então podemos concluir que M = N. Esta propriedade (parece trivial, e é!) é muito utilizada na solução de exercícios envolvendo equações onde aparecem logaritmos (equações logarítmicas).

P5) b.logbM = M         ou seja:         b elevado ao logaritmo de M na base b é igual a M.

Curiosidade: As tábuas de logaritmos decimais foram desenvolvidas por Henry Briggs, matemático inglês do século XVI. Observe que do fato de termos log 45 = 1,6532 , podemos concluir pela definição de logaritmo que:

101,6532 = 45

- Para conseguir realizar bem cálculos com logaritmos é necessário um bom conhecimento das propriedades de potenciação e da fatoração. Então, vamos relembrar:

01.  Calcular: 23; (-2)3; ; -23

02.  Calcular: (0,2)4; (0,1)3  

03.  Calcular: 2-3; (-2)-3; -2-3  

04.  O valor da expressão (-1)0 + (-6) : (-2) – 24 é:  

a) 20

b) -12

c) 19,5

d) 12

e) 10  

Gabarito: 01. 23 = 8; (-2)3 = -8; -23 = -8 

02. (0,2)4 = 0,0016; (0,1)3 = 0,001

03. 2-3 = 0,125; (-2)-3 = -0,125; -2-3 = -0,125 

- Daí temos outras propriedades operatórias importantes dos logaritmos:

Propriedade do produto do logaritmo

Se encontrarmos um logaritmo do tipo: loga(x . y) devemos resolvê-lo, somando o logaritmo de x na base a e o logaritmo de y na base a.

loga (x . y) = loga x + loga y

Exemplo:

log2(32 . 16) = log232 +log216 = 5 + 4 = 9

Propriedades do quociente do logaritmo

Caso o logaritmo seja do tipo logax/y, devemos resolvê-lo subtraindo o logaritmo do numerador na base a pelo logaritmo do denominador também na base a.

 logax/y =  logax –  logay

Exemplo:

log5(625/125) = log5625 – log5125 = 4 – 3 = 1

Propriedade da potência do logaritmo

Quando um logaritmo estiver elevado a um expoente, na próxima passagem esse expoente irá multiplicar o resultado desse logaritmo, veja como:

logaxm = m.logax

Exemplo:

log3812 = 2.log381 = 2 . 4 = 8

Propriedade da raiz de um logaritmo

Essa propriedade é baseada em outra, que é estudada na propriedade da radiciação, ela diz o seguinte:

Essa propriedade é aplicada no logaritmo quando:

Exemplo:

Propriedade da mudança de base

Existem situações nas quais precisaremos utilizar a tábua de logaritmos ou uma calculadora científica na determinação do logaritmo de um número. Mas para isso devemos trabalhar o problema no intuito de estabelecer o logaritmo na base 10, pois as tábuas e as calculadoras operam nessas condições, para isso utilizamos a propriedade da mudança de base, que consiste na seguinte definição:

Exemplo

Exercícios:

1) Calcule:

a)   log327=             b) log125=           c) log2  =

2) Calcule o valor de x:

a) logx 8 = 3        b) logx    =  2       c)log2x = 5       d) log927 = x       e) log32 = x

3) Calcule:

a) log2 2-3 =            b) log7  =       c) 5log57   =          d)  2 log27 + log23    =        e)  22+2log2 5 =

4) Dados log a = 5, log b = 3 e log c = 2, calcule  log 2 =

5) Sendo logx 2 = a , logx3 = b calcule  logx = .(a resposta  é dada em função de a e b)

6) Sendo loga 2 = 20 , loga 5 = 30 calcule loga 100 = .

7) Resolva as seguintes equações:

a) logx-39 = 2          b) log4 (2x+10) = 2            c) log2 (x-2) + log2(x-3) = 1+ log2 (x-7)

8) Em Química, defini-se o pH de uma solução como o logaritmo decimal do inverso da respectiva concentração de H3O+ . O cérebro humano contém um líquido cuja concentração de H3O+ é  4,8.10 -8 mol/l. Qual será o pH desse líquido?

9) Numa plantação de certa espécie de árvore, as medidas aproximadas da altura e do diâmetro do tronco, desde o instante em que as árvores são plantadas até completarem 10 anos, são dadas respectivamente pelas funções:

altura: H(t) = 1 + (0,8).log2 (t + 1)

diâmetro do tronco: D(t) = (0,1).2 t/7

com H(t) e D(t) em metros e t em anos.

a) Determine as medidas aproximadas da altura, em metros, e do diâmetro do tronco, em centímetros, das árvores no momento em que são plantadas.

b) A altura de uma árvore é 3,4 m. Determine o diâmetro aproximado do tronco dessa árvore, em centímetros.

Vestibulares pelo país:

Exercício 1: (FUVEST 2010)

A magnitude de um terremoto na escala Richter é proporcional ao logaritmo, na base 10, da energia liberada pelo abalo sísmico. Analogamente, o pH de uma solução aquosa é dado pelo logaritmo, na base 10, do inverso da concentração de íons H+. Considere as seguintes afirmações:

I. O uso do logaritmo nas escalas mencionadas justifica-se pelas variações exponenciais das grandezas envolvidas.

II. A concentração de íons H+ de uma solução ácida com pH 4 é 10 mil vezes maior que a de uma solução alcalina com pH 8.

III. Um abalo sísmico de magnitude 6 na escala Richter libera duas vezes mais energia que outro, de magnitude 3.

Está correto o que se afirma somente em:

Exercício 2: (UDESC 2008)

Sabendo que log3(7x – 1) = 3 e que log2(y3 + 3) = 7 pode-se afirmar que logy(x2 + 9) é igual a:

Exercício 3: (UFMG 2009)

Numa calculadora científica, ao se digitar um número positivo qualquer e, em seguida, se apertar a tecla log, aparece, no visor, o logaritmo decimal do número inicialmente digitado.

Digita-se o número 10.000 nessa calculadora e, logo após, aperta-se, N vezes, a tecla log, até aparecer um número negativo no visor. Então, é CORRETO afirmar que o número N é igual a:

Exercício 4: (UDESC 2008)

Se loga b = 3 e logab c = 4, então logac é:

Gabarito: D - B - B - B