Resolucion del Examen #1

Ismael Matos #05-38503

Problema 1 (10 ptos): En un sistema se realizó una identificación experimental y se aplicó un escalón de 10 unidades y se obtuvo la respuesta que se muestra en la figura.

1. Ajuste la respuesta obtenida a un sistema de primer orden más retardo
2. Sintonice un controlador PI por el método de IMC
3. Sintonice un controlador PID por el método del Lugar de las Raíces para sistemas como el identificado.
4. Cuál de los dos controladores presenta un mejor margen de fase y punto de cruce de la ganancia?.
5. Cuál cree Ud. que será más rápido?

Resolución: De la gráfica procedemos a obtener los parámetros para poder escribirlo como un sistema de primer orden mas retardo.

        Sabemos que la función de transferencia es de la forma G(s)=Ke-ϴs/sℑ+1

        Sabiendo que se aplico una entrada de 10 escalones calculamos la ganancia observando el valor en que se estabiliza la figura, que es 30.

                                K=30/10=3

        Usando el metodo del 28% y 63% calculamos los puntos Y1 y Y2 que nos ayudarán a obtener el tao de la gráfica. Estos puntos son Y1=8.4 y Y2=18.9.Con estos valores hallamos sus respectivos valores en x (X1 y X2) y obtenemos X1=6 y X2=13

                                ℑ=3/2(X2-X1)=3/2(13-6)=10.5

                                ϴ=X2-ℑ=13-10.5=2.5

        De esta manera tenemos:    G(s)=3e-2.5s/10.5ℑ+1

Para sintonizar el PI por IMC solo nos basta determinar el tc a usar.El tc es un valor arbitrario que se toma cercano a ℑ, en este caso utilizaremos tc=5.

PIimc=(ℑs+1)/K(tc+1)s

        Nuestro PIimc nos queda:

                        PIimc=(10.5s+1)/3(5+2.5)s

        Gracias a la ayuda de Scilab podemos determinar el margen de fase MF=117.8203 y margen de ganancia MG=∞.                

        Para la sintonización por lugar de las raíces debemos recordar,

                                C(s) =kp(ℑ1s + 1)(ℑ2s + 1)/s(Tf s + 1)

        Y que por aproximación de Pade obtenemos:

G(s) =ke-ϴs/(ℑs + 1) ≃ -k((ϴ/2)s-1)/(ℑs+1)((ϴ/2)s+1)

        El método sugerido es hacer que los dos ceros del PID cancelen los dos polos de la planta aproximada, es decir, ℑ1 = ℑ y ℑ2 = ϴ/2 . Dejando a kp y Tf como los parámetros de ajuste fino del controlador.

        La función a lazo cerrado queda como:

L(s) = G(s) * C(s) =-kpk((ϴ/2)s-1)/s(Tf s + 1)

        Tomando Tf=5 obtenemos que a viene dada por a=(√1+1/Tf)-1=0.0954, con esta a, podemos calcular el valor de kp.

                        kp=a2Tf/k=0.01518

        Nuestro controlador nos queda:

                        C(s)=0.01518(10.5s+1)(2.03s+1)/s(5s+1)

        El margen de fase y el de ganancia son infinitos.

        Utilizariamos el PID por lugar de las raíces ya que la velocidad de respuesta puede ser ajustada por a y por tanto podríamos hacerla responder mas rápido

Problema 2 (10 ptos): Considere el sistema el método de ajuste frecuencial que asegure que:

1. el sistema seguirá perfectamente señales del tipo escalón por la referencia
2. el sobrepico no será mayor del 5%
3. el tiempo de estabilización (criterio 2%) será de alrededor de 30 segundos

Resolución:

        Para que siga perfectamente la señal escalon se introduce un polo en el origen.

        De las condiciones 2 y 3 obtenemos los parámetros seda y margen de fase

ƺ=(ln〡Mp〡)/√(п²+ln²〡Mp〡)=0.59

MF=100*ƺ=60°

Wc=1.8*п/ts=.1885

        Mediante Scilab graficamos el bode del sistema y podemos obtener

 la gananacia del sistema:    Kc=0.1257

        Ahora determinamos la ubicación del cero a colocar:

                z=Wc√(1-sen50°)/(1+sen 50°)

                sen50°=(p-z)/(p+z)

                Wc=√zp

        De las ecuaciones anteriores determinamos:

                z=0.0684

                p=0.5165

        Por lo que nuestro controlador nos queda

                C(s)=0.1257(s/0.0684+1)/(s/0.5165+1)

Problema 3 (10 ptos): En la figura se muestra el Lugar de las Raíces de un sistema en el que se cumple que:

Determine un controlador que asegure que:

1. El sistema no tendrá un sobrepico de más de 10%
2. El tiempo de respuesta será de alrededor de 20 seg.

Resolución: De la condición de lim $G($)=30 y de la gráfica  ne la cual se pueden observar los polos del sistema, obtenemos lim($K)/$($+0.33)($+0.1)=30, evaluando el limite obtenemos K=1

        De las condiciones de Mp<10% y ts=19seg obtenemos los parámetros restantes:

ƺ=(ln〡Mp〡)/√(п²+ln²〡Mp〡)=0.66

ts=4/ƺWn ⇒ Wn=4/(0.66*19)=0.319 seg

Ahora el polo deseado viene dado por: -ƺWn±jWn√(1-ƺ²)

Pd=-0.2105±j0.2397

Ahora buscamos el aporte angular de todos los  polos del sistema:

tg(Alfa)=0.2397/0.2105 ⇒ Alfa=-129°

tg(Beta)=0.2397/0.1105 ⇒ Alfa=-113°

tg(Gamma)=0.2397/0.1195 ⇒ Alfa=-65°

El aporte total es Alfa+Beta+Gamma= -307, debemos agregar 127° para llevarlo a -180°. Para esto colocamos un polo que nos agregue 64° y lo implementamos dos veces para cubrir los 127°

tg(Tita)=tg(64°)=0.2397/X ⇒ X=0.2397/tg(64°)

X=0.3382

Con la condición de módulo obtenemos el K del controlador:

                        〡K($/0.3382+1)2(1/($+0.33)($+0.1)$)〡=1

        Evaluando el polo deseado obtenemos K=0.263 y el controlador nos queda de la siguiente manera:

C($)=(0.263($/0.3382)+1)2)