AS CRIANÇAS E O CONHECIMENTO MATEMÁTICO: EXPERIÊNCIAS DE
EXPLORAÇÃO E AMPLIAÇÃO DE CONCEITOS E RELAÇÕES MATEMÁTICAS
Priscila Monteiro1
Matemática.Priscila@gmail.com
APRESENTAÇÃO
Desde muito pequenas, as crianças entram em contato com grande quantidade e variedade
de noções matemáticas, ouvem e falam sobre números, comparam, agrupam, separam,
ordenam e resolvem pequenos problemas envolvendo operações, acompanham a marcação do
tempo feita pelos adultos, exploram e comparam pesos e tamanhos, observam e experimentam
as propriedades e as formas dos objetos, percorrem e exploram diferentes espaços e distâncias
etc. Esses conhecimentos, assistemáticos e heterogêneos, variam, em maior ou menor grau, de
acordo com a cultura e o meio social aos quais as crianças pertencem e constituem um bom
ponto de partida para novas aprendizagens. Cabe às Instituições de Educação Infantil articular
essas experiências extra-escolares com os conhecimentos matemáticos socialmente
construídos. Para tanto, é preciso organizar situações que desafiem os conhecimentos iniciais
das crianças, ampliando-os e sistematizando-os.
Atualmente, convivem nas Instituições de Educação Infantil diversos enfoques didáticos
apoiados em diferentes concepções, às vezes contraditórias.
Optamos por abordar algumas das principais ideias e práticas correntes na Educação
Infantil para que seja possível refletir sobre elas e reformulá-las.
Uma das práticas frequentes é ensinar um número de cada vez - primeiro o 1, depois o 2 e
assim sucessivamente enfatizando o seu traçado, o treino e a percepção, por meio de
propostas como: passar o lápis sobre os algarismos pontilhados, colar bolinhas de papel
crepom ou colorir os algarismos, anotar ou ligar o número à quantidade de objetos
correspondente (por exemplo, ligar o 2 ao desenho de duas bolas). Esse tipo de prática se
apóia na idéia que as crianças aprendem por repetição, memorização e associação e deixa de
lado os conhecimentos construídos pelas crianças no seu convívio social.
Outra prática relativa ao ensino dos números bastante presente na Educação Infantil é o
uso de atividades visando o desenvolvimento de estruturas do pensamento lógico-matemático.
Esse tipo de prática deriva de algumas interpretações das pesquisas psicogenéticas que
concluíram que o ensino da Matemática seria beneficiado por um trabalho que incidisse na
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Priscila Monteiro é consultora pedagógica da Fundação Victor Civita e da revista Nova Escola e coordenadora
dos Programas Formar em Rede-Matemática e Além dos Números, do Instituto Avisalá Agosto/2010
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construção da noção de número pela criança. Desta forma, as operações lógicas e as provas
piagetianas foram transformadas em conteúdos de ensino, trabalhados por meio de ações de
classificar, ordenar, seriar e comparar objetos em função de diferentes critérios. Nenhuma
criança espera ter seis ou sete anos e um o professor na sua frente para começar a perguntar
sobre o uso e funcionamento dos números. Nas suas interações cotidianas, as crianças não
deixam de se perguntar sobre os números: “que número é esse?”, “como se escreve?”, “qual
número vem depois dele?”.
Quando o sujeito constrói conhecimento sobre conteúdos matemáticos, assim como sobre
tantos outros, as operações de classificação e seriação necessariamente são exercidas e se
desenvolvem sem que haja um esforço didático especial para isso. Graças a numerosas
investigações sobre a produção e compreensão de notações numéricas, hoje sabemos que as
crianças elaboram conceitualizações próprias e originais sobre os números. Já não
consideramos a conservação do número como pré-requisito para trabalhar com os números.
Sabemos que as crianças desde pequenas podem trabalhar diretamente com o número,
contando objetos, lendo e escrevendo números, resolvendo situações de comparação,
ordenação e reunião de quantidades, sempre em situações significativas, contextualizadas e
com sentido.
Outra concepção frequente na Educação Infantil é que para trabalhar Matemática é
preciso utilizar material concreto. Partindo dessa ideia o professor propõe um problema e
convida as crianças a resolvê-lo utilizando pequenos objetos, como palitos de sorvete ou
tampinhas, e só depois propõe que representem o cálculo graficamente. Ao propor o uso do
material concreto como único meio de solução de um problema, a criança é impedida de
decidir qual procedimento quer utilizar. Provavelmente, muitas crianças não precisariam
recorrer à contagem para resolver o cálculo ou poderiam fazer a contagem com marcas em
uma folha ou ainda utilizando os dedos. Outra prática frequente apoiada nessa concepção é
organizar um jogo de percurso e propor que as crianças caminhem sobre o tabuleiro fazendo o
papel de peão, como se necessitassem “experimentar corporalmente” o percurso para poder
movimentar um peão sobre o tabuleiro. Essa concepção se apóia na ideia é que as crianças
precisam primeiro passar por uma resolução concreta, depois gráfica e finalmente abstrata.
Sabemos que as crianças não necessitam fazer essa “passagem”.
A contradição desse tipo de prática é que na realidade, toda ação física supõe ação
intelectual, uma das principais características da atividade matemática é ser uma atividade
intelectual e não empírica.
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Se quisermos melhorar o que fazemos, precisaremos enfrentar o desafio de conhecer e
estudar novos conhecimentos didáticos.
Começaremos pelo que entendemos por aprender matemática na educação infantil, depois
citaremos algumas propostas didáticas para o ensino da matemática para essa faixa etária. Na
terceira parte, analisaremos como essas práticas se relacionam com a concepção de criança e,
por fim, compartilharemos algumas reflexões e indagações.
DIRETRIZES
O que significa ensinar e aprender matemática na Educação Infantil?
A finalidade central do ensino da matemática para os pequenos é começar a introduzi-los
em um modo próprio de produção de conhecimento, uma parcela da cultura que a escola tem
o dever de transmitir. Para tanto, é preciso instalar nas turmas de Educação Infantil uma
atividade de certa maneira análoga as desenvolvidas pelos matemáticos na sua tarefa que
envolve: fazer perguntas, procurar soluções, buscar pontos de apoio no que sabe para
encontrar o que não sabe, experimentar, errar, analisar, corrigir ou ajustar suas buscas,
comunicar seus procedimentos e resultados, defender seu ponto de vista e considerar a
produção dos outros, estabelecer acordos e comprovar.
Para que as crianças possam construir os conhecimentos matemáticos atribuindo sentido
a eles as situações que enfrentam precisam reunir uma série de condições. Entre elas, é
necessário comportar uma finalidade do ponto de vista da criança e, ao mesmo tempo, uma
finalidade didática. A primeira envolve o sentido atribuído pela criança à atividade, requer
que ela considere necessário atingir algo e saiba em que consiste essa meta para se introduzir
no jogo proposto pela atividade. A segunda refere-se às aprendizagens que se espera que
alcancem.
Outra condição necessária para a realização de um trabalho matemático na Educação
Infantil é que a solução do problema fique a cargo das crianças, para tanto, é necessário que o
professor abra um espaço de exploração e de busca. Nesse sentido, é preciso não dar
diretamente um procedimento que deva ser utilizado por todos. É preciso controlar a
ansiedade e aguardar para validar as produções das crianças depois de um longo processo de
construção de conhecimento.
Na aprendizagem da Matemática, o problema adquire um sentido muito preciso. Não se
trata de situações que permitem “aplicar” o que já se sabe, mas sim daquelas que possibilitem
produzir novos conhecimentos a partir dos conhecimentos que já se têm e em interação com
novos desafios. Além disso, é necessário que os conhecimentos que as crianças dispõem, não
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sejam suficientes para encontrar uma resposta de maneira imediata, o problema precisa propor
um desafio intelectual para a criança. É importante ainda que a situação possa ser resolvida
por diferentes procedimentos. Nesse sentido, é importante analisar se o problema proposto
coloca efetivamente em jogo os conhecimentos pretendidos, se realmente promovem as
aprendizagens buscadas.
Os conhecimentos que as crianças possuem, embora heterogêneos e assistemáticos, pois
resultam das diferentes experiências vividas pelas crianças, são o ponto de partida para a
resolução de problemas e, como tal, devem ser considerados pelos adultos. Dessa forma, as
situações propostas precisam ser criteriosamente planejadas, a fim de remeterem aos
conhecimentos prévios das crianças, possibilitando a ampliação de repertórios de estratégias
no que se refere à resolução de operações, notação numérica, formas de representação e
comunicação, etc., e mostrando-se como uma necessidade que justifique a busca de novas
informações.
Ao se trabalhar com conhecimentos matemáticos, como com o sistema de numeração,
medidas, espaço e formas, etc., por meio da resolução de problemas, as crianças poderão
desenvolver sua capacidade de generalizar, analisar, sintetizar, inferir, formular hipótese,
deduzir, refletir e argumentar.
Desta maneira, a Educação Infantil pode contribuir para formar uma criança produtora de
conhecimentos, que assuma uma posição propositiva frente a uma nova situação, reflita,
busque soluções, compartilhe com os colegas, ao invés de se constituir em uma criança que
tenta adivinhar o que o professor quer.
SUGESTÕES DE AÇÕES
É possível organizar as atividades matemáticas na Educação Infantil em torno de três
blocos de conteúdos: Espaço e Forma; Número e Sistema de Numeração e Grandezas e
Medidas. Trataremos de cada um deles a seguir.
Espaço e Forma
A abordagem da geometria como teoria do espaço físico justifica a inclusão de conteúdos
espaciais no ensino da matemática. No nosso cotidiano existe uma série de problemas que
envolvem conhecimentos espaciais: orientar-se por meio de um mapa da região, produzir
instruções para ir de um lugar a outro, seguir as instruções elaboradas por outro, encontrar um
objeto a partir de indicações orais ou escritas, etc. Para resolver esse tipo de problema, é
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necessário colocar em jogo conhecimentos espaciais que não são espontâneos e, portanto, a
escola tem a responsabilidade de ensinar.
As crianças pequenas podem iniciar a representação do espaço e das características dos
objetos por meio da exploração. Para tanto, as Instituições de Educação Infantil precisam
oferecer múltiplas oportunidades para que as crianças possam participar, ao longo dos anos,
de situações que envolvam a exploração de diferentes espaços e assim possam enriquecer e
ampliar suas experiências espaciais.
Atividades de esconder e procurar são boas oportunidades para o enriquecimento das
representações espaciais. Por exemplo, uma brincadeira em que um grupo esconde um objeto
na sala e, depois, dê indicações ao outro, que estava fora da sala, para que encontrem o objeto.
Nesse tipo de situação, as crianças enfrentam a necessidade de verbalizar posições espaciais.
Inicialmente é importante o professor esconder o objeto e dar as pistas para encontrá-lo,
atuando como um modelo. O professor formula as indicações e oferece o vocabulário
adequado - dentro de, perto de, ao lado de. Progressivamente, as crianças podem assumir a
responsabilidade de esconder o objeto e elaborar as pistas. As próprias crianças tornam-se
responsáveis por elaborar as orientações e o professor as encoraja a colocar seus gestos em
palavras – “onde é lá?” e as ajuda a aprimorar seu vocabulário, fazendo perguntas como –
“em cima ou embaixo da mesa?”; “Vocês encontraram o objeto? Por que acham que não o
encontraram?". As pistas utilizadas com intenção de comunicar e descrever a posição dos
objetos para que possam ser encontrados podem ser orais (o que requer a construção de um
vocabulário específico) ou gráficas (símbolos, como ou palavras escritas). Dessa
forma, enfrentarão o desafio cada vez maior que envolve antecipar os lugares adequados para
esconder objetos de diferentes tamanhos e descrever um “caminho” para que encontrem o
esconderijo.
As situações cotidianas também podem ser aproveitadas para problematizar questões
espaciais. Por exemplo, o professor pode pedir que uma criança busque os papéis em cima da
mesa, ou que procure um jogo em determinada prateleira.
As construções com diferentes materiais são excelentes situações para explorar
problemas relativos às relações entre objetos, espaço e objeto e movimento e espaço/objeto.
Problematizar o trabalho de construção envolve algumas condições. Em primeiro lugar a
diversidade e a quantidade de materiais desafia as crianças a realizar construções maiores e a
explorar possibilidades para construir. Para enriquecer essa experiência, é importante oferecer
blocos de diferentes tipos, tamanhos e formatos: de madeira, caixas de papelão, blocos de
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espuma (ou outro material mais mole). Incorporar brinquedos como carrinhos, caminhões,
pequenos bonecos, também enriquece as situações.
Uma intervenção possível é aguardar a chegada das crianças na escola com uma
construção já iniciada para que a continuem.
No entanto, não basta resolver problemas espaciais, é preciso pensar sobre eles, por isso,
durante as atividades de construção, o professor pode incentivar as crianças a refletir sobre
suas ações. Pode, por exemplo, convidá-las a avaliar que tipo de bloco precisarão usar para
fazer as colunas que sustentam uma ponte e qual a distância necessária entre suas colunas para
que o caminhão possa passar entre elas. Pode propor ainda que analisem quais carrinhos
podem passar por baixo desta ponte etc.
O espaço destinado à construção também precisa ser considerado, por exemplo, uma
mesa pode ser um bom espaço para construção com pequenos materiais, mas não será
adequada quando se utiliza blocos maiores.
Outro aspecto a considerar é a quantidade disponível de blocos. Para que as crianças
possam concretizar um projeto de construção precisam de uma quantidade razoável de blocos.
Se o material for insuficiente para toda a turma, é preferível disponibilizá-lo para um pequeno
grupo do que distribuir um pouquinho para cada um. Uma alternativa possível é organizar
subgrupos com diferentes materiais atividades e propor o rodízio entre as crianças.
Para avançarem na possibilidade de antecipar ações é possível criar contextos em que as
crianças de 4 e 5 anos precisem planejar em grupo uma construção ou uma rota de
deslocamento. Atividades de construção em pequenos grupos ou duplas favorecem o
estabelecimento de conversas sobre como fazer e a adequação da própria ação em função da
participação do colega.
Montar percursos e labirintos para as crianças os percorrerem também pode ser uma
boa proposta. Nesse tipo de atividade, é possível convidar as crianças a explorar o espaço de
diferentes formas - agachados, se arrastando, rolando - por túneis, pontes ou corredores, de
diferentes tamanhos, confeccionados com caixas grandes, caixotes, mesas, cordas, pneus e
tábuas como planos inclinados, etc. Progressivamente, os percursos podem ser
confeccionados com a ajuda das crianças comprometendo-as desta forma a imaginar os
possíveis trajetos e as maneiras como poderão ser percorridos. É preciso promover situações
nas quais as crianças pensem um fato antes de executá-lo, em que seja necessário organizar
ações a fim de encontrar soluções para problemas relativos a diferentes espaços, que desafiem
seus conhecimentos, promovendo, assim, novos conhecimentos.
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Algumas atividades podem favorecer a exploração de espaços maiores, envolvendo
tanto o espaço da escola como o de fora dela. As crianças podem comunicar trajetos
realizados, por exemplo, explicar para um convidado como chegar ao banheiro ou relatar o
percurso de suas casas até a Instituição. Para adquirirem um vocabulário cada vez mais
preciso, assim como nas atividades de localização de objetos, inicialmente, é o professor
quem fornece as coordenadas e incentiva a explicação das crianças fazendo perguntas e
destacando aspectos fundamentais para a eficiência da comunicação: “você pode falar alguma
coisa que tem perto, um ponto de referência”; “para que lado tem que virar?”. Estas atividades
podem ser planejadas com um fim em si mesmas ou podem fazer parte de uma unidade
didática ou projeto, por exemplo, aproveitar um passeio ao zoológico para observar
referências próprias do local, comparar distâncias, buscar pontos de referência, fazer uma
observação ou descrever determinado espaço. Ou organizar uma volta no quarteirão da escola
e propor que as crianças desenhem um "pedaço" desses espaços, por exemplo, a fachada de
uma casa, o coreto da praça, e depois, de volta à sala, com suas produções, o professor
organiza uma exposição e para promover a troca entre as crianças para que comentem as
referências utilizadas em cada um dos desenhos, os diferentes pontos de vista e como cada
criança solucionou graficamente o problema.
Se o professor puder contar com uma máquina fotográfica, pode propor também que as
crianças fotografem alguns locais e decidam onde precisarão de posicionar para que apareça
na fotografia o lugar ou objeto selecionado. Outra possibilidade é utilizar uma fotografia de
um local visitado para que as crianças analisem e discutam o que havia no entorno e
completem a cena conforme o que puderam observar no local. É fundamental propor a analise
e troca das representações do espaço para que as crianças possam avançar em suas
representações e referências utilizadas.
Por volta dos 4 e 5 anos é possível propor também algumas situações destinadas à
trabalhar conteúdos de geometria. Mais do que saber identificar algumas formas geométricas
e saber nomeá-las o trabalho com geometria na Educação Infantil visa a exploração,
observação e descrição das características das figuras geométricas (formas planas e
tridimensionais). Assim como em relação aos outros conteúdos, as diferentes situações
propostas às crianças precisam dar espaço para uma variedade de maneiras de resolvê-las para
provocar trocas e discussões entre as crianças.
É importante atentar para que os materiais geométricos utilizados nessas atividades (os
desenhos, os sólidos geométricos e as formas recortadas em papel) tenham qualidade para não
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deformar as características do que se quer que as crianças explorem. Por exemplo, um dado
feito de cartolina, que amassa deforma as características do cubo.
Jogos como “tangram”, o quebra-cabeças chinês, apresentam como problema a seleção –
entre várias peças – das formas necessárias para formar uma figura representada em um
cartão. O tangram possui vários cartões com diversas imagens, montá-las envolve diferentes
níveis de complexidade. As crianças precisam discutir quais peças são adequadas para montar
a figura selecionada e, em seguida, podem comprovar suas hipóteses sobrepondo a figura no
cartão. Outra possibilidade é propor atividades em que as crianças possam reproduzir um
modelo dado. O professor pode desenhar, por exemplo, em uma folha de papel o contorno de
um retângulo e de um triângulo em alguma posição não muito frequente, formando uma
figura. Entrega para as crianças e propõe que preencham as diferentes formas colando
algumas figuras recortadas, sem cobrir o contorno. É importante que o modelo dado e as
formas recortadas para o preenchimento possibilitem várias resoluções. As formas oferecidas
para o preenchimento do contorno podem não corresponder exatamente às formas traçadas no
papel. Essa variável didática torna a atividade mais complexa e desafiadora uma vez que
precisarão se esforçar para colocar as formas em relação, por exemplo, as crianças precisam
reproduzir um círculo, mas só dispõem de meios círculos, precisam preencher o espaço de um
retângulo, mas só dispõem de triângulos e quadrados.
Modelo dado – contorno preto
Resolução da criança – figuras azuis
Outra possibilidade é propor que reproduzam um modelo dado pelo professor. Novamente,
nesse caso, as figuras disponíveis para a reprodução não são exatamente iguais as do modelo
oferecido:
imagens do livro: “Matemática para los más chicos”, Adriana Castro y Fernanda Penas,
Novedades Educativas, Buenos Aires, 2008
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Modelo dado Reprodução da criança
Outro tipo de proposta possível são as situações que envolvem discutir a relação entre as
faces dos sólidos e as formas geométricas. É possível, por exemplo, propor atividades
exploratórias como carimbar as faces de sólidos geométricos (caixas de diferentes formatos) e
analisar a relação entre as formas obtidas e as faces de cada sólido. Outra possibilidade é
propor que as crianças encapem uma determinada caixa e para isso escolham quais pedaços
de papéis, recortados previamente pelo professor, são mais adequados para cobrir exatamente
cada face da caixa. Construir os corpos geométricos com massinha ou argila também pode ser
uma boa oportunidade para discutir essas relações.
Para as crianças em torno dos 5 anos pode-se propor também situações envolvendo a
cópia de figuras em papel quadriculado. Esse tipo de atividade contribui para que as crianças
comecem a identificar relações entre os elementos de uma figura geométrica para que possam
copiá-la. A cópia atua como um obstáculo ou problema a resolver em que as crianças
precisarão utilizar seus conhecimentos anteriores. O professor entrega para cada criança uma
folha quadriculada com um quadrado desenhado e as crianças devem reproduzi-lo em outra
folha quadriculada para que fiquem exatamente iguais, de tal maneira que seja possível
sobrepô-los.
Algumas atividades podem ter o foco na construção de vocabulário específico, por
exemplo, propor que um grupo monte composição utilizando figuras geométricas recortadas
em cartolina e em seguida formulem orientações para que outro grupo possa reproduzir a
figura confeccionada sem olhar. Estas situações de comunicação envolvem a descrição das
propriedades das formas geométricas, seus nomes e a definição de suas posições. As crianças
precisarão nomear a forma utilizada ou descrevê-la com clareza para que o outro possa
encontrá-la. Quando for necessário, o professor pode e deve dar as informações como o nome
da forma geométrica “essa ‘bola’ é o circulo. Daqui para frente, vamos chamá-la assim.”, sem
esperar, contudo que as crianças as incorporem de imediatamente a seu vocabulário.
Números e Sistema de Numeração
As crianças, desde bem pequenas podem e devem utilizar os números em diferentes
contextos. Ao propor diferentes tipos de problema em que as crianças utilizem os
conhecimentos que possuem o professor pode propiciar a difusão das experiências numéricas
de cada criança e fazer circular informação para que todos avancem em suas aprendizagens.
Trabalhar com números que fazem parte do cotidiano das crianças como preços, idades,
datas, medidas, etc. é fundamental por, além de atribuir sentido, fazê-las compreender os
números em diferentes contextos. Trabalhar com números fora de contexto também é
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significativo, pois os problemas cognitivos apresentados são os mesmos e a interação direta
com os números coloca em primeiro plano o trabalho com o sistema de numeração.
Cabe aqui uma distinção entre as ações de contagem de objetos (quantificar) e as que
envolvem apenas a recitação da serie ordenada de números. Contar é uma atividade realizada
por todas as culturas para diferenciar e identificar quantidades, no entanto, as séries de
números utilizadas para enumerar esses objetos variam nas de uma cultura para outra. Por
exemplo, um grupo de sete carneiros é uma quantidade menor que dez carneiros em qualquer
cultura, no entanto, a forma de representar essas quantidades oralmente varia de acordo com a
cultura. Em português designamos essas quantidades pelas palavras “sete” e “dez”, em
francês se diz “sept” e “dix” e em inglês “seven” e “ten”.
Recitar a série numérica oral envolve dizer a série de números fora de uma situação de
enumeração. Contar é utilizar a série em uma situação de enumeração, isto é, onde se
estabelece uma correspondência termo a termo entre os nomes dos números e os elementos a
serem contados como um procedimento que permite quantificar um grupo de objetos para
determinar quantos são. A aquisição destes diferentes conhecimentos envolvidos na atividade
de contar se inicia por volta dos 2 anos e se desenvolve até por volta dos 8 anos, é um
processo paulatino que excede a Educação Infantil.
Os diferentes tipos de jogos - de dados, cartas e tabuleiros – podem, sob certas condições,
promover a resolução de variados problemas numéricos. Muitos exigem contar, avançar nas
casas conforme indica o dado, comparar ou somar dados ou cartas, etc. Além disso, os jogos
exigem a organização em pequenos grupos ou duplas. O trabalho em pequenos grupos
favorece intercâmbios entre as crianças e possibilita circular entre elas experiências de
contagem, de leitura de números, de escrita de pontos, comparação de quantidades e de
números escritos. Posteriormente, o professor pode propor um trabalho coletivo para
promover a análise dos procedimentos de resolução dos problemas numéricos com a intenção
de que as crianças avancem nos conhecimentos matemáticos envolvidos em cada jogo.
O recitado convencional da sucessão ordenada de números tem um papel fundamental
no início das aprendizagens numéricas, pois a partir deste conhecimento as crianças vão
aprendendo as leis internas que organizam o sistema. As atividades precisam ter sentido para
as crianças e ajudá-las a adquirir a sucessão convencional de números e paulatinamente
ampliá-la. As crianças podem desde bem pequenas podem, por exemplo, cantar músicas junto
com seu professor que ajudem a memorizar uma parte convencional da série numérica, podem
contar antes de sair para procurar os colegas numa brincadeira de esconde-esconde ou
continuar a sucessão partindo de um número diferente de um e reconhecer o sucessor e
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