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Science et méthode

Henri Poincaré,  1908

CHAPITRE II :

Les définitions mathématiques et l’Enseignement.

1

Je dois parler ici des définitions générales en mathématiques ; c’est du moins ce que dit le titre du chapitre, mais il me sera impossible de me renfermer dans ce sujet autant que l’exigerait la règle de l’unité d’action ; je ne pourrai le traiter sans parler un peu d’autres questions voisines, et si je suis ainsi obligé de marcher de temps en temps dans les plates-bandes à droite ou à gauche, je vous prie de vouloir bien me le pardonner.

Qu’est-ce qu’une bonne définition ?

Pour le philosophe, ou pour le savant, c’est une définition qui s’applique à tous les objets définis et ne s’applique qu’à eux ; c’est celle qui satisfait aux règles de la logique.

Mais dans l’enseignement, ce n’est pas cela ; une bonne définition, c’est celle qui est comprise par les élèves.

Comment se fait-il qu’il y a tant d’esprits qui se refusent à comprendre les mathématiques ?

N’y a-t-il pas là quelque chose de paradoxal ?

 il ne faut pas avoir une grande expérience des examens pour savoir que ces aveugles ne sont nullement des êtres d’exception

Comment, voir une science qui ne fait appel qu’aux principes fondamentaux de la logique, au principe de contradiction, par exemple, à ce qui fait pour ainsi dire le squelette de notre entendement, à ce qu’on ne saurait dépouiller sans cesser de penser, et il y a des gens qui la trouvent obscure ! et même ils sont en majorité ! Qu’ils soient incapables d’inventer, passe encore, mais qu’ils ne comprennent pas les démonstrations qu’on leur expose, qu’ils restent aveugles quand nous leur présentons une lumière qui nous semble briller d’un pur éclat, c’est ce qui est tout à fait prodigieux.

Et pourtant il ne faut pas avoir une grande expérience des examens pour savoir que ces aveugles ne sont nullement des êtres d’exception.

Il y a là un problème qu’il n’est pas aisé de résoudre, mais qui doit préoccuper tous ceux qui veulent se vouer à l’enseignement.

Qu’est-ce que comprendre ?

Ce mot a-t-il le même sens pour tout le monde ?

Comprendre la démonstration d’un théorème, est-ce examiner successivement chacun des syllogismes dont elle se compose et constater qu’il est correct, conforme aux règles du jeu ?

De même comprendre une définition, est-ce seulement reconnaître qu’on sait déjà le sens de tous les termes employés et constater qu’elle n’implique aucune contradiction ?

Oui, pour quelques-uns ; quand ils auront fait cette constatation, ils diront : j’ai compris.

Non, pour le plus grand nombre.

Presque tous sont beaucoup plus exigeants, ils veulent savoir non seulement si tous les syllogismes d’une démonstration sont corrects, mais pourquoi ils s’enchaînent dans tel ordre, plutôt que dans tel autre. Tant qu’ils leur semblent engendrés par le caprice, et non par une intelligence constamment consciente du but à atteindre, ils ne croient pas avoir compris.

Sans doute ils ne se rendent pas bien compte eux-mêmes de ce qu’ils réclament et ils ne sauraient formuler leur désir, mais s’ils n’ont pas satisfaction, ils sentent vaguement que quelque chose leur manque.

Alors qu’arrive-t-il ?

Au début, ils aperçoivent encore les évidences qu’on met sous leurs yeux ; mais comme elles ne sont liées que par un fil trop ténu à celles qui précédent et à celles qui suivent, elles passent sans laisser de trace dans leur cerveau ; elles sont tout de suite oubliées ; un instant éclairées, elles retombent aussitôt dans une nuit éternelle.

Quand ils seront plus avancés, ils ne verront plus même cette lumière éphémère, parce que les théorèmes s’appuient les uns sur les autres et que ceux dont ils auraient besoin sont oubliés ; c’est ainsi qu’ils deviennent incapables de comprendre les mathématiques.

Ce n’est pas toujours la faute de leur professeur ; souvent leur intelligence, qui a besoin d’apercevoir le fil conducteur, est trop paresseuse pour le chercher et pour le trouver. Mais pour leur venir en aide, il faut d’abord que nous comprenions bien ce qui les arrête.

D’autres se demanderont toujours à quoi cela sert ; ils n’auront pas compris s’ils ne trouvent autour d’eux, dans la pratique on dans la nature, la raison d’être de telle ou telle notion mathématique. Sous chaque mot, ils veulent mettre une image sensible ; il faut que la définition évoque cette image, qu’à chaque stade de la démonstration ils la voient transformer et évoluer.

A cette condition seulement, ils comprendront et ils retiendront.

Ceux-là souvent se font illusion à eux-mêmes ; ils n’écoutent pas les raisonnements, ils regardent les figures ; ils s’imaginent avoir compris et ils n’ont fait que voir.

2

Que de tendances diverses !

Faut-il les combattre ?

Faut-il nous en servir ?

Et si nous voulions les combattre, laquelle faudrait-il favoriser ?

Est-ce à ceux qui se contentent de la logique pure qu’il faut montrer qu’ils n’ont vu qu’une face des choses ?

Ou bien faut-il dire à ceux qui ne se satisfont pas à si bon marché que ce qu’ils réclament n’est pas nécessaire ?

En d’autres termes, devons-nous contraindre les jeunes gens à changer la nature de leur esprit ?

Une pareille tentative serait vaine ; nous ne possédons pas la pierre philosophale qui nous permettrait de transmuter les uns dans les autres les métaux qui nous sont confiés ; tout ce que nous pouvons faire c’est de les travailler en nous accommodant à leurs propriétés.

Bien des enfants sont incapables de devenir mathématiciens, auxquels pourtant il faut enseigner les mathématiques ; et les mathématiciens eux-mêmes ne sont pas tous coulés dans le même moule.

Il suffit de lire leurs ouvrages pour distinguer parmi eux deux sortes d’esprits,

les logiciens comme Weierstrass, par exemple,

les intuitifs comme Riemann.

Même différence parmi nos étudiants.

Les uns aiment mieux traiter leurs problèmes « par l’analyse » comme ils disent,

les autres « par la géométrie ».

Il est bien inutile de chercher à y changer quelque chose, et cela d’ailleurs serait-il désirable ?

Il est bon qu’il y ait des logiciens et qu’il y ait des intuitifs ; qui oserait dire s’il aimerait mieux que Weierstrass n’eût jamais écrit, ou qu’il n’y eût pas eu de Riemann.

Il faut donc nous résigner à la diversité des esprits, ou mieux, il faut nous en réjouir.

3

Puisque le mot comprendre a plusieurs sens, les définitions qui seront le mieux comprises des uns ne seront pas celles qui conviendront aux autres.

Nous avons

celles qui cherchent à faire naître une image, et

celles où l’on se borne à combiner des formes vides, parfaitement intelligibles, mais purement intelligibles, que l’abstraction a privées de toute matière.

Je ne sais s’il est bien nécessaire de citer des exemples ?

Citons-en pourtant, et d’abord la définition des fractions va nous fournir un exemple extrême.

Dans les écoles primaires, pour définir une fraction, on découpe une pomme ou une tarte ; on la découpe par la pensée bien entendu et non en réalité, car je ne suppose pas que le budget de l’enseignement primaire permette une pareille prodigalité.

A l’École normale supérieure, au contraire, ou dans les Facultés, on dira : une fraction, c’est l’ensemble de deux nombres entiers séparés par un trait horizontal ; on définira par des conventions les opérations que peuvent subir ces symboles ; on démontrera que les règles de ces opérations sont les mêmes que dans le calcul des nombres entiers, et on constatera enfin qu’en faisant, d’après ces règles, la multiplication de la fraction par le dénominateur, on retrouve le numérateur.

C’est très bien parce qu’on s’adresse à des jeunes gens, depuis longtemps familiarisés avec la notion des fractions à force d’avoir partagé des pommes ou d’autres objets, et dont l’esprit, affiné par une forte éducation mathématique, en est arrivé peu à peu à désirer une définition purement logique. Mais quel serait l’ahurissement d’un débutant à qui on voudrait la servir ?

Telles sont aussi les définitions que vous trouvez dans un livre justement admiré et bien des fois couronné, les « Grundlagen der Geometrie » de Hilbert.

Voyons on effet comment il débute :

Pensons trois systèmes de CHOSES que nous appellerons points, droites et plans.

Que sont ces « choses » ?

nous ne le savons pas, et nous n’avons pas à le savoir ; il serait même fâcheux que nous cherchions à le savoir ; tout ce que nous avons le droit d’on savoir, c’est ce que nous en apprennent les axiomes, celui-ci par exemple :

Deux points différents déterminent toujours une droite,

qui est suivi de ce commentaire :

au lieu de déterminent, nous pouvons dire que la droite passe par ces deux points, ou qu’elle joint ces deux points, ou que ces deux points sont situés sur la droite.

Ainsi, « être situé sur une droite » est simplement défini comme synonyme de « déterminer une droite ».

Voilà un livre dont je pense beaucoup de bien, mais que je ne recommanderais pas à un lycéen. Au reste, je pourrais le faire sans crainte, il ne pousserait pas la lecture bien loin.

J’ai pris des exemples extrêmes et aucun maître ne pourrait songer à aller aussi loin. Mais, même en restant bien en deçà de pareils modèles, ne s’expose-t-il pas déjà au même danger ?

Nous sommes dans une classe de h le professeur dicte :

le cercle est le lieu des points du plan qui sont à la même distance d’un point intérieur appelé centre.

Le bon élève écrit cette phrase sur son cahier ; le mauvais élève y dessine des bonshommes ; mais ni l’un ni l’autre n’ont compris ; alors le professeur prend la craie et trace un cercle sur le tableau.

« Ah ! pensent les élèves, que ne disait-il tout de suite : un cercle c’est un rond, nous aurions compris. »

Sans doute, c’est le professeur qui a raison.

La définition des élèves n’aurait rien valu, puisqu’elle n’aurait pu servir à aucune démonstration, et surtout puisqu’elle n’aurait pu leur donner la salutaire habitude d’analyser leurs conceptions.

Mais il faudrait leur montrer qu’ils ne comprennent pas ce qu’ils croient comprendre, les amener à se rendre compte de la grossièreté de leur concept primitif, à désirer d’eux-mêmes qu’on l’épure et le dégrossisse.

4

Je reviendrai sur tous ces exemples ; j’ai voulu seulement vous montrer les deux conceptions opposées ; il y a entre elles un violent contraste.

Ce contraste, l’histoire de la science nous l’explique.

Si nous lisons un livre écrit il y a cinquante ans, la plupart des raisonnements que nous y trouverons nous sembleront dépourvus de rigueur.

On admettait à cette époque qu’une fonction continue ne peut changer de signe sans s’annuler ; on le démontre aujourd’hui. On admettait que les règles ordinaires du calcul sont applicables aux nombres incommensurables, on le démontre aujourd’hui. On admettait bien d’autres choses qui quelquefois étaient fausses.

On se fiait à l’intuition ; mais l’intuition ne peut nous donner la rigueur, ni même la certitude, on s’en est aperçu de plus en plus.

Elle nous apprend par exemple que toute courbe a une tangente, c’est-à-dire que toute fonction continue a une dérivée, et cela est faux. Et comme on tenait à la certitude, il a fallu faire de plus en plus petite la part de l’intuition.

Comment s’est faite cette évolution nécessaire ?

On n’a pas tardé à s’apercevoir que la rigueur ne pourrait pas s’établir dans les raisonnements, si on ne la faisait entrer d’abord dans les définitions.

Longtemps les objets dont occupent les mathématiciens étaient mal définis ; on croyait les connaître parce qu’on se les représentait avec les sens ou l’imagination, mais on n’en avait qu’une image grossière et non une idée précise sur laquelle le raisonnement pût avoir prise.

C’est là, que les logiciens ont dû porter leurs efforts.

Ainsi pour le nombre incommensurable.

L’idée vague de continuité, que nous devions à l’intuition, s’est résolue en un système compliqué d’inégalités portant sur des nombres entiers.

C’est ainsi que se sont définitivement évanouies toutes ces difficultés qui effrayaient nos pères, quand ils réfléchissaient aux fondements du calcul infinitésimal.

Il ne reste plus aujourd’hui en analyse que des nombres entiers, ou des systèmes finis ou infinis de nombres entiers, reliés par un réseau d’égalités et d’inégalités.

Les mathématiques, comme on l’a dit, se sont arithmétisées.

5

Mais croit-on que les mathématiques aient atteint la rigueur absolue sans faire de sacrifice ?

Pas du tout, ce qu’elles ont gagné en rigueur, elles l’ont perdu en objectivité.

C’est en s’éloignant de la réalité qu’elles ont acquis cette pureté parfaite.

On peut parcourir librement tout leur domaine, autrefois hérissé d’obstacles, mais ces obstacles n’ont pas disparu. Ils ont seulement été transports à la frontière et il faudra les vaincre de nouveau si l’on veut franchir cette frontière pour pénétrer dans le royaume de la pratique.

On possédait une notion vague, formée d’éléments disparates,

les uns a priori,

les autres provenant d’expériences plus ou moins digérées ;

on croyait en connaître, par l’intuition, les principales propriétés.

Aujourd’hui on rejette les éléments empiriques en ne conservant que les éléments a priori ; c’est l’une des propriétés qui sert de définition et toutes les autres s’en déduisent par un raisonnement rigoureux.

C’est très bien, mais il reste à prouver que cette propriété, qui est devenue une définition, appartient bien aux objets réels que l’expérience nous avait fait connaître et d’où nous avions tiré notre vague notion intuitive. Pour le prouver, il faudra bien en appeler à l’expérience, ou faire un effort d’intuition, et si nous ne pouvions le prouver, nos théorèmes seraient parfaitement rigoureux, mais parfaitement inutiles.

Autrefois, quand on inventait une fonction nouvelle,

c’était en vue de quelque but pratique ;

aujourd’hui, on les invente tout exprès pour mettre en défaut les raisonnements de nos pères, et on n’en tirera jamais que cela.

La logique parfois engendre des monstres.

Depuis un demi-siècle on a vu surgir une foule de fonctions bizarres qui semblent s’efforcer de ressembler aussi peu que possible aux honnêtes fonctions qui servent à quelque chose.

Plus de continuité, ou bien de la continuité, mais pas de dérivées, etc.

Bien plus, au point de vue logique, ce sont ces fonctions étranges qui sont les plus générales, celles qu’on rencontre sans les avoir cherchées n’apparaissent plus que comme un cas particulier. Il ne leur reste qu’un tout petit coin.

Autrefois, quand on inventait une fonction nouvelle, c’était en vue de quelque but pratique ;

aujourd’hui, on les invente tout exprès pour mettre en défaut les raisonnements de nos pères, et on n’en tirera jamais que cela.

Si la logique était le seul guide du pédagogue, ce serait par les fonctions les plus générales, c’est-à-dire par les plus bizarres, qu’il faudrait commencer.

C’est le débutant qu’il faudrait mettre aux prises avec ce musée tératologique. Si vous ne le faites pas, pourraient dire les logiciens, vous n’atteindrez la rigueur que par étapes.

[...]

Arithmétique.

12

On n’a pas à définir le nombre entier ; en revanche, on définit d’ordinaire les opérations sur les nombres entiers ;

je crois que les élèves apprennent ces définitions par cœur et qu’ils n’y attachent aucun sens.

[...]

Géométrie.

En géométrie nous rencontrons d’abord la notion de ligne droite. Peut-on définir la ligne droite ?

La définition connue, le plus court chemin d’un point à un autre, ne me satisfait guère. Je partirais tout simplement de la règle et je montrerais d’abord à l’élève comment on peut vérifier une règle par retournement ; cette vérification est la vraie définition de la ligne droite ; la ligne droite est un axe de rotation.

On lui montrerait ensuite à vérifier la règle par glissement et on aurait une des propriétés les plus importantes de la ligue droite.

Quant à cette autre propriété d’être le plus court chemin d’un point à un autre, c’est un théorème qui peut être démontré apodictiquement, mais la démonstration est trop délicate pour pouvoir trouver place dans l’enseignement secondaire. Il vaudra mieux montrer qu’une règle préalablement vérifiée s’applique sur un fil tendu.

Il ne faut pas redouter, en présence de difficultés analogues, de multiplier les axiomes, en les justifiant par des expériences grossières.

[...]

Comment définir la force ?

Une définition logique, il n’y en a pas de bonne, je crois l’avoir suffisamment montré ailleurs.

Il y a la définition anthropomorphique, la sensation de l’effort musculaire ; celle-là est vraiment trop grossière et on n’en peut rien tirer d’utile.

[...]

Dans de pareilles tempêtes sombrerait bientôt sa haute valeur éducative.

Une bonne et solide logique doit continuer à en faire le fond.

La définition par l’exemple est toujours nécessaire, mais elle doit préparer la définition logique, elle ne doit pas la remplacer ; elle doit tout au moins la faire désirer, dans les cas où la véritable définition logique ne peut être donnée utilement que dans l’enseignement supérieur.

[...]

CHAPITRE III :

Les mathématiques et la logique

Ce langage n’est compris que de quelques initiés, de sorte que les profanes sont disposés à s’incliner devant les affirmations tranchantes des adeptes.

Introduction.

Les mathématiques peuvent-elles être réduites à la logique sans avoir à faire appel à des principes qui leur soient propres ?

Il y a toute une école, pleine d’ardeur et de foi, qui s’efforce de l’établir.

Elle a son langage spécial où il n’y a plus de mots et où on ne fait usage que de signes.

Ce langage n’est compris que de quelques initiés, de sorte que les profanes sont disposés à s’incliner devant les affirmations tranchantes des adeptes.

Il n’est peut-être pas inutile d’examiner ces affirmations d’un peu près, afin de voir si elles justifient le ton péremptoire avec lequel elles sont présentées.

Mais pour bien faire comprendre la nature de la question, il est nécessaire d’entrer dans quelques détails historiques et de rappeler en particulier le caractère des travaux de Cantor.

Depuis longtemps la notion d’infini avait été introduite en mathématiques ; mais cet infini était ce que les philosophes appellent un devenir.

L’infini mathématique n’était qu’une quantité susceptible de croître au delà de toute limite ;

c’était une quantité variable dont on ne pouvait pas dire qu’elle avait dépassé toutes les limites, mais seulement qu’elle les dépasserait.

Cantor a entrepris d’introduire en mathématiques un infini actuel, c’est-à-dire une quantité qui n’est pas seulement susceptible de dépasser toutes les limites, mais qui est regardée comme les ayant déjà dépassées.

Il s’est posé des questions telles que celles-ci :

Y a-t-il plus de points dans l’espace que de nombres entiers ?

Y a-t-il plus de points dans l’espace que de points dans un plan ? etc.

Et alors le nombre des nombres entiers, celui des points dans l’espace, etc., constitue ce qu’il appelle un nombre cardinal transfini, c’est-à-dire un nombre cardinal plus grand que tous les nombres cardinaux ordinaires.

Et il s’est amusé à comparer ces nombres cardinaux transfinis ; en rangeant dans un ordre convenable les éléments d’un ensemble qui en contient une infinité, il a imaginé aussi ce qu’il appelle des nombres ordinaux transfinis sur lesquels je n’insisterai pas.

De nombreux mathématiciens se sont lancés sur ses traces et se sont posé une série de questions de même genre.

Ils se sont tellement familiarisés avec les nombres transfinis qu’ils en sont arrivés à faire dépendre la théorie des nombres finis de celle des nombres cardinaux de Cantor.

A leurs yeux, pour enseigner l’arithmétique d’une façon vraiment logique, on devrait commencer par établir les propriétés générales des nombres cardinaux transfinis, 

puis distinguer parmi eux une toute petite classe, celle des nombres entiers ordinaires.

Grâce à ce détour on pourrait arriver à démontrer toutes les propositions relatives à cette petite classe (c’est-à-dire toute notre arithmétique et notre algèbre) sans se servir d’aucun principe étranger à la logique.

Cette méthode est évidemment contraire à toute saine psychologie ;

ce n’est certainement pas comme cela que l’esprit humain a procédé pour construire les mathématiques; aussi ses auteurs ne songent-ils pas, je pense, à l’introduire dans l’enseignement secondaire.

Mais est-elle du moins logique, ou pour mieux dire est-elle correcte ?

Il est permis d’en douter.

Les géomètres qui l’ont employée sont cependant fort nombreux.

Ils ont accumulé les formules et ils ont cru s’affranchir de ce qui n’était pas la logique pure en écrivant des mémoires où les formules n’alternent plus avec le discours explicatif comme dans les livres de mathématiques ordinaires, mais où ce discours a complètement disparu.

Malheureusement, ils sont arrivés à des résultats contradictoires, c’est ce qu’on appelle les antinomies cantoriennes, sur lesquelles nous aurons l’occasion de revenir.

Ces contradictions ne les ont pas découragés et ils se sont efforcés de modifier leurs règles de façon à faire disparaître celles qui s’étaient déjà manifestées, sans être assurés pour cela qu’il ne s’en manifesterait plus de nouvelles.

Il est temps de faire justice de ces exagérations. Je n’espère pas les convaincre ; car ils ont trop longtemps vécu dans cette atmosphère.

D’ailleurs, quand on a réfuté une de leurs démonstrations, on est sûr de la voir renaître avec des changements insignifiants, et quelques-unes d’entre elles sont déjà ressorties plusieurs fois de leurs cendres. Telle autrefois l’Hydre de Lerne avec ses fameuses têtes qui repoussaient toujours. Hercule s’en est tiré parce que son hydre n’avait que neuf têtes, à moins que ce ne soit onze ; mais ici il y en a trop, il y en a en Angleterre, en Allemagne, en Italie, en France, et il devrait renoncer à la partie. Je ne fais donc appel qu’aux hommes de bon sens sans parti pris.

[...]

I

Dans ces dernières années de nombreux travaux ont été publiés sur les mathématiques pures et la philosophie des mathématiques, en vue de dégager et d’isoler les éléments logiques du raisonnement mathématique. Ces travaux ont été analysés et exposés très clairement ici-même par M. Couturat dans un ouvrage intitulé : les Principes des Mathématiques.

Pour M. Couturat, les travaux nouveaux, et en particulier de MM. Russell et Péano, ont définitivement tranché le débat, depuis si longtemps pendant entre Leibnitz et Kant.

Ils ont montré [soi-disant] qu’il n’y a pas de jugement synthétique a priori 

(comme disait Kant pour désigner les jugements qui ne peuvent être démontrés analytiquement),

ils ont montré

que les mathématiques sont entièrement réductibles à la logique et

que l’intuition n’y joue aucun rôle.

Pouvons-nous souscrire à cette condamnation définitive ?

Je ne le crois pas et je vais essayer de montrer pourquoi.

II

Ce qui nous frappe d’abord dans la nouvelle mathématique, c’est son caractère purement formel :

« Pensons, dit Hilbert, trois sortes de choses que nous appellerons points, droites et plans, convenons qu’une droite sera déterminée par deux points et qu’au lieu de dire que cette droite est déterminée par ces deux points, nous pourrons dire qu’elle passe par ces deux points ou que ces deux points sont situés sur cette droite. »

Que sont ces choses, non seulement nous n’en savons rien, mais nous ne devons pas chercher à le savoir.

Nous n’en avons pas besoin, et quelqu’un, qui n’aurait jamais vu ni point, ni droite, ni plan pourrait faire de la géométrie tout aussi bien que nous.

Que le mot passer par, ou le mot être situé sur ne provoquent en nous aucune image, le premier est simplement synonyme de être déterminé et le second de déterminer.

Ainsi c’est bien entendu, pour démontrer un théorème, il n’est pas nécessaire ni même utile de savoir ce qu’il veut dire.

On pourrait remplacer le géomètre par le piano à raisonner imaginé par Stanley Jevons ; ou, si l’on aime mieux, on pourrait imaginer une machine où l’on introduirait les axiomes par un bout pendant qu’on recueillerait les théorèmes à l’autre bout, comme cette machine légendaire de Chicago où les porcs entrent vivants et d’où ils sortent transformés en jambons et en saucisses.

Pas plus que ces machines, le mathématicien n’a besoin de comprendre ce qu’il fait.

Le philosophe conserverait le droit de rechercher les origines de ces conventions, de voir pourquoi elles ont été jugées préférables aux conventions contraires

Ce caractère formel de sa géométrie, je n’en fais pas un reproche à Hilbert.

C’était là qu’il devait tendre, étant donné le problème qu’il se posait.

Il voulait réduire au minimum le nombre des axiomes fondamentaux de la géométrie et en faire l’énumération complète ;

or dans les raisonnements où notre esprit reste actif, dans ceux où l’intuition joue encore un rôle, dans les raisonnements vivants, pour ainsi dire, il est difficile de ne pas introduire un axiome ou un postulat qui passe inaperçu. Ce n’est donc qu’après avoir ramené tous les raisonnements géométriques à une forme purement mécanique, qu’il a pu être certain d’avoir réussi dans son dessein et d’avoir achevé son œuvre.

Ce que Hilbert avait fait pour la géométrie, d’autres ont voulu le faire pour l’arithmétique et pour l’analyse.

Si même ils y avaient entièrement réussi, les Kantiens seraient-ils définitivement condamnés au silence ? 

Peut-être pas, car en réduisant la pensée mathématique à une forme vide, il est certain qu’on la mutile.

Admettons même que l’on ait établi que tous les théorèmes peuvent se déduire par des procédés purement analytiques, par de simples combinaisons logiques d’un nombre fini d’axiomes, et que ces axiomes ne sont que des conventions.

Le philosophe conserverait le droit de rechercher les origines de ces conventions, de voir pourquoi elles ont été jugées préférables aux conventions contraires.

Et puis la correction logique des raisonnements qui mènent des axiomes aux théorèmes n’est pas la seule chose dont nous devions nous préoccuper.

Les règles de la parfaite logique sont-elles toute la mathématique ?

Autant dire que tout l’art du joueur d’échecs se réduit aux règles de la marche des pièces.

Parmi toutes les constructions que l’on peut combiner avec les matériaux fournis par la logique, il faut faire un choix ;

le vrai géomètre fait ce choix judicieusement parce qu’il est guidé par un sûr instinct, ou par quelque vague conscience de je ne sais quelle géométrie plus profonde, et plus cachée, qui seule fait le prix de l’édifice construit.

Chercher l’origine de cet instinct, étudier les lois de cette géométrie profonde qui se sentent et ne s’énoncent pas, ce serait encore une belle tâche pour les philosophes qui ne veulent pas que la logique soit tout.

Mais ce n’est pas à ce point de vue que je veux me placer, ce n’est pas ainsi que je veux poser la question. Cet instinct dont nous venons de parler est nécessaire à l’inventeur, mais il semble d’abord qu’on pourrait s’en passer pour étudier la science une fois créée.

Eh bien, ce que je veux rechercher, c’est s’il est vrai qu’une fois admis les principes de la logique, on peut je ne dis pas découvrir, mais démontrer toutes les vérités mathématiques sans faire de nouveau appel à l’intuition.

III

A cette question, j’avais autrefois répondu que non (Voir Science et Hypothèse, chapitre Ier) ; notre réponse doit-elle être modifiée par les travaux récents ?

Si j’avais répondu non, c’est parce que « le principe d’induction complète » me paraissait à la fois nécessaire au mathématicien et irréductible à la logique.

On sait quel est l’énoncé de ce principe :

« Si une propriété est vraie du nombre 1,

et si l’on établit qu’elle est vraie de n + 1 pourvu qu’elle le soit de n,

elle sera vraie de tous les nombres entiers. »

J’y voyais le raisonnement mathématique par excellence.

Je ne voulais pas dire, comme on l’a cru, que tous les raisonnements mathématiques peuvent se réduire à une application de ce principe.

En examinant ces raisonnements d’un peu près, on y verrait appliqués beaucoup d’autres principes analogues, présentant les mêmes caractères essentiels.

Dans cette catégorie de principes, celui de l’induction complète est seulement le plus simple de tous et c’est pour cela que je l’ai choisi pour type.

Le nom de principe d’induction complète qui a prévalu n’est pas justifié.

Ce mode de raisonnement n’en est pas moins une véritable induction mathématique qui ne diffère de l’induction ordinaire que par sa certitude.

IV. Définitions et axiomes.

L’existence de pareils principes est une difficulté pour les logiciens intransigeants ; comment prétendent-ils s’en tirer ?

Le principe d’induction complète, disent-ils, n’est pas un axiome proprement dit ou un jugement synthétique a priori ; c’est tout simplement la définition du nombre entier. 

C’est donc une simple convention.

Pour discuter cette manière de voir, il nous faut examiner d’un peu près les relations entre les définitions et les axiomes.

Reportons-nous d’abord à un article de M. Couturat sur les définitions mathématiques, qui a paru dans l’Enseignement mathématique, revue publiée chez Gauthier-Villars et chez Georg à Genève.

Nous y verrons une distinction entre la définition directe et la définition par postulats.

« La définition par postulats, dit M. Couturat, s’applique, non à une seule notion, mais à un système de notions ; elle consiste à énumérer les relations fondamentales qui les unissent et qui permettent de démontrer toutes leurs autres propriétés ; ces relations sont des postulats... »

Si l’on a défini préalablement toutes ces notions, sauf une, alors cette dernière sera par définition l’objet qui vérifie ces postulats.

Ainsi certains axiomes indémontrables des mathématiques ne seraient que des définitions déguisées.

Ce point de vue est souvent légitime ; et je l’ai admis moi-même en ce qui concerne par exemple le postulatum d’Euclide.

Les autres axiomes de la géométrie ne suffisent pas pour définir complètement la distance ;

la distance sera alors, par définition, parmi toutes les grandeurs qui satisfont à ces autres axiomes, celle qui est telle que le postulatum d’Euclide soit vrai.

Eh bien, les logiciens admettent pour le principe d’induction complète,

ce que j’admets pour le postulatum d’Euclide,

ils ne veulent y voir qu’une définition déguisée.

Mais pour qu’on ait ce droit, il y a deux conditions à remplir.

Stuart Mill disait que toute définition implique un axiome, celui par lequel on affirme l’existence de l’objet défini.

A ce compte, ce ne serait plus l’axiome qui pourrait être une définition déguisée, ce serait au contraire la définition qui serait un axiome déguisé.

Stuart Mill entendait le mot existence dans un sens matériel et empirique ; il voulait dire qu’en définissant le cercle, on affirme qu’il y a des choses rondes dans la nature.

Sous cette forme, son opinion est inadmissible.

Les mathématiques sont indépendantes de l’existence des objets matériels ; en mathématiques le mot exister ne peut avoir qu’un sens, il signifie exempt de contradiction. Ainsi rectifiée, la pensée de Stuart Mill devient exacte ;

en définissant un objet, on affirme que la définition n’implique pas contradiction.

Si nous avons donc un système de postulats, et si nous pouvons démontrer que ces postulats n’impliquent pas contradiction, nous aurons le droit de les considérer comme représentant la définition de l’une des notions qui y figurent.

Si nous ne pouvons pas démontrer cela, il faut que nous l’admettions sans démonstration et cela sera alors un axiome ; de sorte que si nous voulions chercher la définition sous le postulat, nous retrouverions encore l’axiome sous la définition.

Le plus souvent, pour démontrer qu’une définition n’implique pas contradiction, on procède par l’exemple, on cherche à former un exemple d’un objet satisfaisant à la définition.

Prenons le cas d’une définition par postulats ;

nous voulons définir une notion A, et nous disons que, par définition, un A, c’est tout objet pour lequel certains postulats sont vrais.

Si nous pouvons démontrer directement que tous ces postulats sont vrais d’un certain objet B, la définition sera justifiée ; l’objet B sera un exemple d’un A.

Nous serons certains que les postulats ne sont pas contradictoires, puisqu’il y a des cas où ils sont vrais tous à la fois.

Mais une pareille démonstration directe par l’exemple n’est pas toujours possible.

Pour établir que les postulats n’impliquent pas contradiction, il faut alors envisager toutes les propositions que l’on peut dédire de ces postulats considérés comme prémisses et montrer que, parmi ces propositions, il n’y en a pas deux dont l’une soit la contradictoire de l’autre.

Si ces propositions sont en nombre fini, une vérification directe est possible. Ce cas est peu fréquent et d’ailleurs peu intéressant.

Si ces propositions sont en nombre infini, on ne peut plus faire cette vérification directe ; il faut recourir à des procédés de démonstration où en général on sera forcé d’invoquer ce principe d’induction complète qu’il s’agit précisément de vérifier.

Nous venons d’expliquer l’une des conditions auxquelles les logiciens devaient satisfaire et nous verrons plus loin qu’ils ne l’ont pas fait.

V

Il y en a une seconde.

Quand nous donnons une définition, c’est pour nous en servir.

Nous retrouverons donc dans la suite du discours le mot défini ;

avons-nous le droit d’affirmer, de l’objet représenté par ce mot, le postulat qui a servi de définition ?

Oui, évidemment, si le mot a conservé son sens, si nous ne lui attribuons pas implicitement un sens différent. Or c’est ce qui arrive quelquefois et il est le plus souvent difficile de s’en apercevoir ; il faut voir comment ce mot s’est introduit dans notre discours, et si la porte par laquelle il est entré n’implique pas en réalité une autre définition que celle qu’on a énoncée.

Cette difficulté se présente dans toutes les applications des mathématiques.

La notion mathématique a reçu une définition très épurée et très rigoureuse ; et pour le mathématicien pur toute hésitation a disparu ;

mais si on veut l’appliquer aux sciences physiques par exemple, ce n’est plus à cette notion pure que l’on a affaire, mais à un objet concret qui n’en est souvent qu’une image grossière.

Dire que cet objet satisfait, au moins approximativement, à la définition, c’est énoncer une vérité nouvelle, que l’expérience peut seule mettre hors de doute, et qui n’a plus le caractère d’un postulat conventionnel.

Mais, sans sortir des mathématiques pures, on rencontre encore la même difficulté.

Vous donnez du nombre une définition subtile ; puis, une fois cette définition donnée, vous n’y pensez plus ; parce qu’en réalité, ce n’est pas elle qui vous a appris ce que c’était que le nombre, vous le saviez depuis longtemps, et quand le mot nombre se retrouve plus loin sous votre plume, vous y attachez le même sens que le premier venu ; pour savoir quel est ce sens et s’il est bien le même dans telle phrase ou dans telle autre, il faut voir comment vous avez été amené à parler de nombre et à introduire ce mot dans ces deux phrases. Je ne m’explique pas davantage sur ce point pour le moment, car nous aurons l’occasion d’y revenir.

Ainsi voici un mot dont nous avons donné explicitement une définition A ;

nous en faisons ensuite dans le discours un usage qui suppose implicitement une autre définition B.

Il est possible que ces deux définitions désignent un même objet.

Mais qu’il en soit ainsi, c’est une vérité nouvelle, qu’il faut, ou bien démontrer, ou bien admettre comme un axiome indépendant.

Nous verrons plus loin que les logiciens n’ont pas mieux rempli la seconde condition que la première.

VI

Les définitions du nombre sont très nombreuses et très diverses ; je renonce à énumérer même les noms de leurs auteurs. Nous ne devons pas nous étonner qu’il y en ait tant. Si l’une d’elles était satisfaisante, on n’en donnerait plus de nouvelle.

Si chaque nouveau philosophe qui s’est occupé de cette question a cru devoir en inventer une autre, c’est qu’il n’était pas satisfait de celles de ses devanciers, et s’il n’en était pas satisfait, c’est qu’il croyait y apercevoir une pétition de principe.

J’ai toujours éprouvé, en lisant les écrits consacrés à ce problème, un profond sentiment de malaise ; je m’attendais toujours à me heurter à une pétition de principe et, quand je ne l’apercevais pas tout de suite, j’avais la crainte d’avoir mal regardé.

C’est qu’il est impossible de donner une définition sans énoncer une phrase, et

difficile d’énoncer une phrase sans y mettre un nom de nombre, ou au moins le mot plusieurs, ou au moins un mot au pluriel.

Et alors la pente est glissante et à chaque instant on risque de tomber dans la pétition de principe.

Je ne m’attacherai dans la suite qu’à celles de ces définitions où la pétition de principe est le plus habilement dissimulée.

VII. La pasigraphie.

Cette invention de M. Peano s’est appelée d’abord la pasigraphie,

c’est-à-dire l’art d’écrire un traité de mathématiques

sans employer un seul mot de la langue usuelle.

Le langage symbolique créé par M. Peano joue un très grand rôle dans ces nouvelles recherches. Il est susceptible de rendre de grands services, mais il me semble que M. Couturat y attache une importance exagérée et qui a dû étonner M. Peano lui-même.

L’élément essentiel de ce langage, ce sont certains signes algébriques qui représentent les différentes conjonctions : si, et, ou, donc. Que ces signes soient commodes, c’est possible ; mais qu’ils soient destinés à renouveler toute la philosophie, c’est une autre affaire. Il est difficile d’admettre que le mot si acquiert, quand on l’écrit , une vertu qu’il n’avait pas quand on l’écrivait si.

Cette invention de M. Peano s’est appelée d’abord la pasigraphie, c’est-à-dire l’art d’écrire un traité de mathématiques sans employer un seul mot de la langue usuelle.

Ce nom en définissait très exactement la portée.

Depuis on l’a élevée à une dignité plus éminente, en lui conférant le titre de logistique.

Ce mot est, paraît-il, employé à l’École de Guerre pour désigner l’art du maréchal des logis, l’art de faire marcher et de cantonner les troupes ;

mais ici aucune confusion n’est à craindre et on voit tout de suite que ce nom nouveau implique le dessein de révolutionner la logique.

Nous pouvons voir la nouvelle méthode à l’œuvre dans un mémoire mathématique de M. Burali-Forti, intitulé : Una questione sui numeri transfiniti, et inséré dans le tome XI des Rendiconti del circolo matematico di Palermo.

Je commence par dire que ce mémoire est très intéressant, et si je le prends ici pour exemple, c’est précisément parce qu’il est le plus important de tous ceux qui sont écrits dans le nouveau langage. D’ailleurs les profanes peuvent le lire grâce à une traduction interlinéaire italienne.

Ce qui fait l’importance de ce mémoire, c’est qu’il a donné le premier exemple de ces antinomies que l’on rencontre dans l’étude des nombres transfinis et qui font depuis quelques années le désespoir des mathématiciens.

Le but de cette note, dit M. Burali-Forti, c’est de montrer qu’il peut y avoir deux nombres transfinis (ordinaux), a et b, tel que a ne soit ni égal à b, ni plus grand, ni plus petit.

Que le lecteur se rassure, pour comprendre les considérations qui vont suivre, il n’a pas besoin de savoir ce que c’est qu’un nombre ordinal transfini.

Or Cantor avait précisément démontré qu’entre deux nombres transfinis, il ne peut y avoir d’autre relation que l’égalité, ou l’inégalité dans un sens ou dans l’autre.

Mais ce n’est pas du fond de ce mémoire que je veux parler ici ; cela m’entraînerait beaucoup trop loin de mon sujet ; je veux seulement m’occuper de la forme, et précisément je me demande si cette forme lui fait beaucoup gagner en rigueur et si elle compense par là les efforts qu’elle impose à l’écrivain et au lecteur.

Nous voyons d’abord M. Burali-Forti définir le nombre 1 de la manière suivante :

définition éminemment propre à donner une idée du nombre 1 aux personnes qui n’en auraient jamais entendu parler.

J’entends trop mal le Péanien pour oser risquer une critique, mais je crains bien que cette définition ne contienne une pétition de principe, attendu que j’aperçois 1 en chiffre dans le premier membre et Un en toutes lettres dans le second.

[...]

pour définir 1, il ne se sert pas du mot un ; en revanche, il se sert du mot deux.

Mais j’ai peur que si on demandait à M. Couturat ce que c’est que deux,

il ne soit obligé de se servir du mot un

Et puisque nous en sommes à ces définitions des premiers nombres, rappelons que M. Couturat a défini également 0 et 1.

Qu’est-ce que zéro ?

c’est le nombre des éléments de la classe nulle ;

et qu’est-ce que la classe nulle ? c’est celle qui ne contient aucun élément.

Définir zéro par nul, et nul par aucun, c’est vraiment abuser de la richesse de la langue française ; aussi

M. Couturat a-t-il introduit un perfectionnement dans sa définition, en écrivant :

ce qui veut dire en français : zéro est le nombre des objets qui satisfont à une condition qui n’est jamais remplie.

Mais comme jamais signifie en aucun cas je ne vois pas que le progrès soit considérable.

Je me hâte d’ajouter que la définition que M. Couturat donne du nombre 1 est plus satisfaisante.

Un, dit-il en substance, est le nombre des éléments d’une classe dont deux éléments quelconques sont identiques.

Elle est plus satisfaisante, ai-je dit, en ce sens que pour définir 1, il ne se sert pas du mot un ; en revanche, il se sert du mot deux. Mais j’ai peur que si on demandait à M. Couturat ce que c’est que deux, il ne soit obligé de se servir du mot un.

[...]

CHAPITRE IV : Les logiques nouvelles

I. La logique de Russell.

Pour justifier ses prétentions, la logique a dû se transformer.

On a vu naître des logiques nouvelles dont la plus intéressante est celle de M. Russell.

Il semble qu’il n’y ait rien à écrire de nouveau sur la logique formelle et qu’Aristote en ait vu le fond.

Mais le champ que M. Russell attribue à la logique est infiniment plus étendu que celui de la logique classique et il a trouvé moyen d’émettre sur ce sujet des vues originales et parfois justes.

D’abord, tandis que la logique d’Aristote était avant tout la logique des classes et prenait pour point de départ la relation de sujet à prédicat,

M. Russell subordonne la logique des classes à celle des propositions.

une proposition fausse quelconque implique toutes les autres propositions vraies ou fausses.

Le syllogisme classique « Socrate est un homme », etc., fait place au syllogisme hypothétique :

Si A est vrai, B est vrai, or si B est vrai C est vrai, etc.

Et c’est là, à mon sens, une idée des plus heureuses, car le syllogisme classique est facile à ramener au syllogisme hypothétique, tandis que la transformation inverse ne se fait pas sans difficulté.

Et puis ce n’est pas tout : la logique des propositions de M. Russell est l’étude des lois suivant lesquelles se combinent les conjonctions si, et, ou, et la négation ne pas. C’est une extension considérable de l’ancienne logique.

Les propriétés du syllogisme classique s’étendent sans peine au syllogisme hypothétique et, dans les formes de ce dernier, on reconnaît aisément les formes scolastiques; on retrouve ce qu’il y a d’essentiel dans la logique classique.

Mais la théorie du syllogisme n’est encore que la syntaxe de la conjonction si et peut-être de la négation.

En y adjoignant deux autres conjonctions et et ou, M. Russell ouvre à la logique un domaine nouveau. Les signes et, ou suivent les mêmes lois que les deux signes x et +, c’est-à-dire les lois commutative, associative et distributive.

Ainsi et représente la multiplication logique, tandis que ou représente l’addition logique. Cela aussi est très intéressant.

M. B. Russell arrive à cette conclusion qu’une proposition fausse quelconque implique toutes les autres propositions vraies ou fausses.

M. Couturat dit que cette conclusion semblera paradoxale au premier abord.

Il suffit cependant d’avoir corrigé une mauvaise thèse de mathématique, pour reconnaître combien M. Russell a vu juste.

Le candidat se donne souvent beaucoup de mal pour trouver la première équation fausse ; mais dès qu’il l’a obtenue, ce n’est plus qu’un jeu pour lui d’accumuler les résultats les plus surprenants, dont quelques-uns même peuvent être exacts.

II

On voit combien la nouvelle logique est plus riche que la logique classique ; les symboles se sont multipliés et permettent des combinaisons variées qui ne sont plus en nombre limité.

A-t-on le droit de donner cette extension au sens du mot logique ?

Il serait oiseux d’examiner cette question, et de chercher à M. Russell une simple querelle de mots. Accordons-lui ce qu’il demande ; mais ne nous étonnons pas si certaines vérités, que l’on avait déclarées irréductibles à la logique, au sens ancien du mot, se trouvent être devenues réductibles à la logique, au sens nouveau, qui est tout différent.

Nous avons introduit un grand nombre de notions nouvelles ; et ce n’étaient pas de simples combinaisons des anciennes ; M. Russell ne s’y est d’ailleurs pas trompé, et non seulement au début du premier chapitre, c’est-à-dire de la logique des propositions, mais au début du second et du troisième, c’est-à-dire de la logique des classes et des relations, il introduit des mots nouveaux qu’il déclare indéfinissables.

Et ce n’est pas tout, il introduit également des principes qu’il déclare indémontrables.

Mais ces principes indémontrables, ce sont des appels à l’intuition, des jugements synthétiques a priori. Nous les regardions comme intuitifs quand nous les rencontrions, plus ou moins explicitement énoncés, dans les traités de mathématiques ; ont-ils changé de caractère parce que le sens du mot logique s’est élargi et que nous les trouvons maintenant dans un livre intitulé Traité de logique ? Ils n’ont pas changé de nature ; ils ont seulement changé de place.

III

Ces principes pourraient-ils être considérés comme des définitions déguisées ?

Pour cela il faudrait que l’on eût le moyen de démontrer qu’ils n’impliquent pas contradiction. Il faudrait établir que, quelque loin qu’on poursuive la série des déductions, on ne sera jamais exposé à se contredire.

On pourrait essayer de raisonner comme il suit :

Nous pouvons vérifier que les opérations de la nouvelle logique appliquées à des prémisses exemptes de contradiction ne peuvent donner que des conséquences également exemptes de contradiction.

Si donc après n opérations, nous n’avons pas rencontré de contradictions,

nous n’en rencontrerons pas non plus après la n + 1ème.

Il est donc impossible qu’il y ait un moment où la contradiction commence, ce qui montre que nous n’en rencontrerons jamais.

Avons-nous le droit de raisonner ainsi ?

Non, car ce serait faire de l’induction complète ; et, le principe d’induction complète, rappelons-le bien, nous ne le connaissons pas encore.

Nous n’avons donc pas le droit de regarder ces axiomes comme des définitions déguisées et il ne nous reste qu’une ressource, il faut pour chacun d’eux admettre un nouvel acte d’intuition.

C’est bien d’ailleurs, à ce que je crois, la pensée de M. Russell et de M. Couturat.

Ainsi, chacune des neuf notions indéfinissables et des vingt propositions indémontrables (je crois bien que si c’était moi qui avais compté, j’en aurais trouvé quelques-unes de plus) qui font le fondement de la logique nouvelle, de la logique au sens large, suppose un acte nouveau et indépendant de notre intuition et, pourquoi ne pas le dire, un véritable jugement synthétique a priori.

Sur ce point tout le monde semble d’accord, mais ce que M. Russell prétend, et ce qui me paraît douteux, c’est qu’après ces appels à l’intuition, ce sera fini ; on n’aura plus à en faire d’autres et on pourra constituer la mathématique tout entière sans faire intervenir aucun élément nouveau.

IV

M. Couturat répète souvent que cette logique nouvelle est tout à fait indépendante de l’idée de nombre. Je ne m’amuserai pas à compter combien son exposé contient d’adjectifs numéraux, tant cardinaux qu’ordinaux, ou d’adjectifs indéfinis, tels que plusieurs. Citons cependant quelques exemples :

« Le produit logique de deux ou plusieurs propositions est » ;

« Toutes les propositions sont susceptibles de deux valeurs seulement, le vrai et le faux » ;

« Le produit relatif de deux relations est une relation » ;

« Une relation a lieu entre deux termes, » etc., etc.

Quelquefois cet inconvénient ne serait pas impossible à éviter, mais quelquefois aussi il est essentiel. Une relation est incompréhensible sans deux termes ; il est impossible d’avoir l’intuition de la relation, sans avoir en même temps celle de ses deux termes, et sans remarquer qu’ils sont deux, car pour que la relation soit concevable, il faut qu’ils soient deux et deux seulement.

V. L’arithmétique.

J’arrive à ce que M. Couturat appelle la théorie ordinale et qui est le fondement de l’arithmétique proprement dite. M. Couturat commence par énoncer les cinq axiomes de Peano, qui sont indépendants, comme l’ont démontré MM. Peano et Padoa.

1. Zéro est un nombre entier.

2. Zéro n’est le suivant d’aucun nombre entier.

3. Le suivant d’un entier est un entier

auquel il conviendrait d’ajouter tout entier a un suivant.

4. Deux nombres entiers sont égaux, si leurs suivants le sont.

Le 5e axiome est le principe d’induction complète.

M. Couturat considère ces axiomes comme des définitions déguisées ; ils constituent la définition par postulats de zéro, du « suivant », et du nombre entier.

Mais nous avons vu que pour qu’une définition par postulats puisse être acceptée, il faut que l’on puisse établir qu’elle n’implique pas contradiction.

Est-ce le cas ici ?

Pas le moins du monde.

La démonstration ne peut se faire par l’exemple. On ne peut choisir une partie des nombres entiers, par exemple les trois premiers, et démontrer qu’ils satisfont à la définition.

Si je prends la série 0, 1, 2, je vois bien qu’elle satisfait aux axiomes 1, 2, 4 et 5 ; mais, pour qu’elle satisfasse à l’axiome 3, il faut encore que 3 soit un entier, et par conséquent que la série 0, 1, 2, 3 satisfasse aux axiomes ; on vérifierait qu’elle satisfait aux axiomes 1, 2, 4, 5, mais l’axiome 3 exige en outre que soit un entier et que la série 0, 1, 2, 3, 4 satisfasse aux axiomes, et ainsi de suite.

Il est donc impossible de démontrer les axiomes pour quelques nombres entiers sans les démontrer pour tous, il faut renoncer à la démonstration par l’exemple.

Il faut alors prendre toutes les conséquences de nos axiomes et voir si elles ne contiennent pas de contradiction. Si ces conséquences étaient en nombre fini, cela serait facile ; mais elles sont en nombre infini, c’est toutes les mathématiques, ou au moins toute l’arithmétique.

Alors que faire ? Peut-être à la rigueur pourrait-on répéter le raisonnement du n° 3.

Mais, nous l’avons dit, ce raisonnement, c’est de l’induction complète, et c’est précisément le principe d’induction complète qu’il s’agirait de justifier.

VI. La logique de Hilbert.

J’arrive maintenant au travail capital de M. Hilbert qu’il a communiqué au Congrès des Mathématiciens à Heidelberg, et dont une traduction française due à M. Pierre Boutroux a paru dans l’Enseignement Mathématique, pendant qu’une traduction anglaise due à M. Halsted paraissait dans The Monist. Dans ce travail, où l’on trouvera les pensées les plus profondes, l’auteur poursuit un but analogue à celui de M. Russell, mais sur bien des points il s’écarte de son devancier.

Nous avons vu plus haut, que ce que dit M. Hilbert des principes de la Logique tels qu’on a coutume de les présenter, s’applique également à la logique de M. Russell.

Ainsi, pour M. Russell, la logique est antérieure à l’Arithmétique ;

pour M. Hilbert, elles sont « simultanées ».

Nous trouverons plus loin d’autres différences plus profondes encore.

Mais nous les signalerons à mesure qu’elles se présenteront ; je préfère suivre pas à pas le développement de la pensée de Hilbert, en citant textuellement les passages les plus importants.

« Prenons tout d’abord en considération l’objet 1. »

Remarquons qu’en agissant ainsi nous n’impliquons nullement la notion de nombre, car il est bien entendu que 1 n’est ici qu’un symbole et que nous ne nous préoccupons nullement d’en connaître la signification.

« Les groupes formés avec cet objet, deux, trois ou plusieurs fois répété… »

Ah, cette fois-ci, il n’en est plus de même, si nous introduisons les mots deux, trois et surtout plusieurs, nous introduisons la notion de nombre ; et alors la définition du nombre entier fini que nous trouverons tout à l’heure, arrivera bien tard.

L’auteur était beaucoup trop avisé pour ne pas s’apercevoir de cette pétition de principe. Aussi, à la fin de son travail, cherche-t-il à procéder à un vrai replâtrage.

Hilbert introduit ensuite deux objets simples 1 et = et envisage toutes les combinaisons de ces deux objets, toutes les combinaisons de leurs combinaisons, etc.

Il va sans dire qu’il faut oublier la signification habituelle de ces deux signes et ne leur en attribuer aucune.

Il répartit ensuite ces combinaisons en deux classes, celle des êtres et celle des non-êtres et jusqu’à nouvel ordre cette répartition est entièrement arbitraire ;

toute proposition affirmative nous apprend qu’une combinaison appartient à la classe des êtres ; toute proposition négative nous apprend qu’une certaine combinaison appartient a celle des non-êtres.

VII

Signalons maintenant une différence de la plus haute importance.

Pour M. Russell un objet quelconque qu’il désigna par x c’est un objet absolument indéterminé ;

pour Hilbert c’est l’une des combinaisons formées avec 1 et = ; il ne saurait concevoir qu’on introduise autre chose que des combinaisons des objets déjà définis.

Hilbert formule d’ailleurs sa pensée de la façon la plus nette ; et je crois devoir reproduire in extenso son énoncé.

« Les indéterminées qui figurent dans les axiomes (en place du quelconque ou du tous de la logique ordinaire) représentent exclusivement l’ensemble des objets et des combinaisons qui nous sont déjà acquis en l’état actuel de la théorie, ou que nous sommes en train d’introduire.

Lors donc qu’on déduira des propositions des axiomes considérés, ce sont ces objets et ces combinaisons seules que l’on sera en droit de substituer aux indéterminées. Il ne faudra pas non plus oublier que, lorsque nous augmentons le nombre des objets fondamentaux, les axiomes acquièrent du même coup une extension nouvelle et doivent, par suite, être de nouveau mis à l’épreuve et au besoin modifiés. »

Le contraste est complet avec la manière de voir de M. Russell.

Pour ce dernier philosophe, nous pouvons substituer à la place de x non seulement des objets déjà connus, mais n’importe quoi.  Russell est fidèle à son point de vue, qui est celui de la compréhension.

Il part de l’idée générale d’être et l’enrichit de plus en plus tout en la restreignant, en y ajoutant des qualités nouvelles.

Hilbert ne reconnaît au contraire comme êtres possibles que des combinaisons d’objets déjà connus ; de sorte que (en ne regardant qu’un des côtés de sa pensée) on pourrait dire qu’il se place au point de vue de l’extension.

VIII

Poursuivons l’exposé des idées de Hilbert.

Pour lui les mathématiques n’ont à combiner que de purs symboles et un vrai mathématicien doit raisonner sur eux sans se préoccuper de leur sens

Il introduit deux axiomes qu’il énonce dans son langage symbolique mais qui signifient, dans le langage des profanes comme nous,

que toute quantité est égale à elle-même et

que toute opération faite sur deux quantités identiques donnent des résultats identiques.

Avec cet énoncé ils sont évidents, mais les présenter ainsi serait trahir la pensée de M. Hilbert.

Pour lui les mathématiques n’ont à combiner que de purs symboles et un vrai mathématicien doit raisonner sur eux sans se préoccuper de leur sens.

Aussi ses axiomes ne sont pas pour lui ce qu’ils sont pour le vulgaire.

Il les considère comme représentant la définition par postulats du symbole = jusqu’ici vierge de toute signification.

Mais pour justifier cette définition, il faut montrer que ces deux axiomes ne conduisent à aucune contradiction.

Pour cela M. Hilbert se sert du raisonnement du n° III, sans paraître s’apercevoir qu’il fait de l’induction complète.

IX

La fin du mémoire de M. Hilbert est tout à fait énigmatique et nous n’y insisterons pas.

Les contradictions s’y accumulent ; on sent que l’auteur a vaguement conscience de la pétition de principe qu’il a commise, et qu’il cherche vainement à replâtrer les fissures de son raisonnement.

Qu’est-ce à dire ?

Au moment de démontrer que la définition du nombre entier par l’axiome d’induction complète n’implique pas contradiction, M. Hilbert se dérobe comme se sont dérobés MM. Russell et Couturat, parce que la difficulté est trop grande.

X. La géométrie.

La géométrie, dit M. Couturat, est un vaste corps de doctrine où le principe d’induction complète n’intervient pas. Cela est vrai dans une certaine mesure, on ne peut pas dire qu’il n’intervient pas, mais il intervient peu. Si l’on se reporte à la Rational Geometry de M. Halsted (New-York, John Wiley and Sons, 1904) établie d’après les principes de M. Hilbert, on voit intervenir le principe d’induction pour la première fois à la page 114 (à moins que j’aie mal cherché, ce qui est bien possible).

Ainsi la géométrie, qui, il y a quelques années à peine, semblait le domaine où le règne de l’intuition était incontesté, est aujourd’hui celui où les logisticiens semblent triompher. Rien ne saurait mieux faire mesurer l’importance des travaux géométriques de M. Hilbert et la profonde empreinte qu’ils ont laissée sur nos conceptions.

Mais il ne faut pas s’y tromper.

Quel est en somme le théorème fondamental de la Géométrie ?

C’est que les axiomes de la Géométrie n’impliquent pas contradiction et, cela, on ne peut pas le démontrer sans le principe d’induction.

Comment Hilbert démontre-t-il ce point essentiel?

C’est en s’appuyant sur l’Analyse et par elle sur l’Arithmétique, et par elle sur le principe d’induction.

Et si jamais on invente une autre démonstration, il faudra encore s’appuyer sur ce principe, puisque les conséquences possibles des axiomes, dont il faut montrer qu’elles ne sont pas contradictoires, sont en nombre infini.

XI. Conclusion.

Notre conclusion, c’est d’abord que le principe d’induction ne peut pas être regardé comme la définition déguisée du nombre entier.

Voici trois vérités :

Le principe d’induction complète ;

Le postulatum d’Euclide ;

La loi physique d’après laquelle le phosphore fond à 44° (citée par M. Le Roy).

On dit : Ce sont trois définitions déguisées,

la première, celle du nombre entier,

la seconde, celle de la ligne droite,

la troisième, celle du phosphore.

Je l’admets pour la seconde,

je ne l’admets pas pour les deux autres, il faut que j’explique la raison de cette apparente inconséquence.

D’abord nous avons vu qu’une définition n’est acceptable que s’il est établi qu’elle n’implique pas contradiction.

Nous avons montré également que, pour la première définition, cette démonstration est impossible ; au contraire, nous venons de rappeler que pour la seconde Hilbert avait donné une démonstration complète.

En ce qui concerne la troisième, il est clair qu’elle n’implique pas contradiction : mais cela veut-il dire que cette définition garantit, comme il le faudrait, l’existence de l’objet défini ? Nous ne sommes plus ici dans les sciences mathématiques, mais dans les sciences physiques, et le mot existence n’a plus le même sens, il ne signifie plus absence de contradiction, il signifie existence objective.

Et voilà déjà une première raison de la distinction que je fais entre les trois cas ; il y en a une seconde. Dans les applications que nous avons à faire de ces trois notions, se présentent-elles à nous comme définies par ces trois postulats ?

Les applications possibles du principe d’induction sont innombrables ; prenons pour exemple l’une de celles que nous avons exposées plus haut, et où on cherche à établir qu’un ensemble d’axiomes ne peut conduire à une contradiction. Pour cela on considère l’une des séries de syllogismes que l’on peut poursuivre en partant de ces axiomes comme prémisses.

Quand on a fini le ne syllogisme, on voit qu’on peut en faire encore un autre et c’est le n + 1e ; ainsi le nombre n sert à compter une série d’opérations successives, c’est un nombre qui peut être obtenu par additions successives.

C’est donc un nombre depuis lequel on peut remonter à l’unité par soustraction successives. On ne le pourrait évidemment pas si on avait n = n – 1, parce qu’alors par soustraction on retrouverait toujours le même nombre. Ainsi donc la façon dont nous avons été amenés à considérer ce nombre n implique une définition du nombre entier fini et cette définition est la suivant : un nombre entier fini est celui qui peut être obtenu par additions successives, c’est celui qui est tel que n n’est pas égal à n – 1.

Cela posé, qu’est-ce que nous faisons ?

Nous montrons que s’il n’y a pas eu de contradiction au nème syllogisme, il n’y en aura pas davantage au n + 1ème et nous concluons qu’il n’y en aura jamais.

Vous dites : j’ai le droit de conclure ainsi, parce que les nombres entiers sont par définition ceux pour lesquels un pareil raisonnement est légitime ; mais cela implique une autre définition du nombre entier et qui est la suivante : un nombre entier est celui sur lequel on peut raisonner par récurrence ; dans l’espèce c’est celui dont on peut dire que, si l’absence de contradiction au moment d’un syllogisme dont le numéro est un nombre entier entraîne l’absence de contradiction au moment d’un syllogisme dont le numéro est l’entier suivant, on n’aura à craindre aucune contradiction pour aucun des syllogismes dont le numéro est entier.

Les deux définitions ne sont pas identiques ; elles sont équivalentes sans doute, mais elles le sont en vertu d’un jugement synthétique a priori ; on ne peut pas passer de l’une à l’autre par des procédés purement logiques. Par conséquent nous n’avons pas le droit d’adopter la seconde, après avoir introduit le nombre entier par un chemin qui suppose la première.

Nous n’avons pas, comme dans le cas précédent, deux définitions équivalentes irréductibles logiquement l’une à l’autre. Nous n’en avons qu’une, exprimable par des mots. Dira-t-on qu’il y en a une autre que nous sentons sans pouvoir l’énoncer parce que nous avons l’intuition de la ligne droite ou parce que nous nous représentons la ligne droite. Tout d’abord, nous ne pouvons pas nous la représenter dans l’espace géométrique, mais seulement dans l’espace représentatif, et puis nous pouvons nous représenter tout aussi bien les objets qui possèdent les autres propriétés de la ligne droite, sauf celle de satisfaire au postulatum d’Euclide. Ces objets sont les « droites non-euclidiennes » qui à un certain point de vue ne sont pas des entités vides de sens, mais des cercles (de vrais cercles du vrai espace) orthogonaux à une certaine sphère. Si parmi ces objets également susceptibles de représentation, ce sont les premiers (les droites euclidiennes) que nous appelons droites, et non pas les derniers (les droites non-euclidiennes), c’est bien par définition.

Et si nous arrivons enfin au troisième exemple, à la définition du phosphore, nous voyons que la vraie définition serait : Le phosphore, c’est ce morceau de matière que je vois là dans tel flacon.

XII

Et puisque je suis sur ce sujet, encore un mot.

Pour l’exemple du phosphore j’ai dit :

« Cette proposition est une véritable loi physique vérifiable, car elle signifie : tous les corps qui possèdent toutes les autres propriétés du phosphore, sauf son point de fusion, fondent comme lui à 44° ».

Et on m’a répondu :

« Non, cette loi n’est pas vérifiable, car si l’on venait à vérifier que deux corps ressemblant au phosphore fondent l’un à 44° et l’autre à 50°, on pourrait toujours dire qu’il y a sans doute, outre le point de fusion, quelque autre propriété inconnue par laquelle ils diffèrent ».

Ce n’était pas tout à fait cela-que j’avais voulu dire ; j’aurais dû écrire : Tous les corps qui possèdent telles et telles propriétés en nombre fini (à savoir les propriétés du phosphore qui sont énoncées dans les traités de Chimie, le point de fusion excepté) fondent à 44°.

Et pour mettre mieux en évidence la différence entre le cas de la droite et celui du phosphore, faisons encore une remarque. La droite possède dans la nature plusieurs images plus ou moins imparfaites, dont les principales sont le rayon lumineux et l’axe de rotation d’un corps solide. Je suppose que l’on constate que le rayon lumineux ne satisfait pas au postulatum d’Euclide (par exemple en montrant qu’une étoile a une parallaxe négative), que ferons-nous ? Conclurons-nous que la droite étant par définition la trajectoire de la lumière ne satisfait pas au postulatum, ou bien au contraire que la droite satisfaisant par définition au postulatum, le rayon lumineux n’est pas rectiligne ?

Assurément nous sommes libres d’adopter l’une ou l’autre définition et par conséquent l’une ou l’antre conclusion ; mais adopter la première ce serait stupide, parce que le rayon lumineux ne satisfait probablement que d’une façon imparfaite non seulement au postulatum d’Euclide, mais aux autres propriétés de la ligne droite ; que s’il s’écarte de la droite euclidienne, il ne s’écarte pas moins de l’axe de rotation des corps solides qui est une autre image imparfaite de la ligne droite ; qu’enfin il est sans doute sujet au changement, de sorte que telle ligne qui était droite hier, cessera de l’être demain si quelque circonstance physique a changé.

Supposons, maintenant que l’on vienne à découvrir que le phosphore ne fond pas à 44°, mais à 43°,9. Conclurons-nous que le phosphore étant par définition ce qui fond à 44°, ce corps que nous appelions phosphore n’est pas du vrai phosphore, ou au contraire que le phosphore fond à 43°,9 ? Ici encore nous sommes libres d’adopter l’une ou l’autre définition et par conséquent l’une ou l’autre conclusion ; mais adopter la première, ce serait stupide parce qu’on ne peut pas changer le nom d’un corps toutes les fois qu’on détermine une nouvelle décimale de son point de fusion.

XIII

En résumé, MM. Russell et Hilbert ont fait l’un et l’autre un vigoureux effort ; ils ont écrit l’un et l’autre un livre plein de vues originales, profondes et souvent très justes.

Ces deux livres nous donneront beaucoup à réfléchir et nous avons beaucoup à y apprendre. Parmi leurs résultats, quelques-uns, beaucoup même, sont solides et destinés à demeurer.

Mais dire qu’ils ont définitivement tranché le débat entre Kant et Leibnitz et ruiné la théorie kantienne des mathématiques, c’est évidemment inexact.

Je ne sais si réellement ils ont cru l’avoir fait, mais s’ils l’ont cru, ils se sont trompés.

CHAPITRE V : Les derniers efforts des Logisticiens.

I

Les logisticiens ont cherché à répondre aux considérations qui précèdent.

Pour cela il leur a fallu transformer la logistique, et M. Russell en particulier a modifié sur certains points ses vues primitives.

Sans entrer dans les détails du débat, je voudrais revenir sur les deux questions les plus importantes à mon sens ; les règles de la logistique ont-elles fait leurs preuves de fécondité et d’infaillibilité ? Est-il vrai qu’elles permettent de démontrer le principe d’induction complète sans aucun appel à l’intuition.

II. L’infaillibilité de la logistique.

Je ne vois au contraire dans la logistique que des entraves pour l’inventeur ; elle ne nous fait pas gagner en concision, loin de là

En ce qui concerne la fécondité, il semble que M. Couturat se fasse de naïves illusions.

La Logistique, d’après lui, prête à l’invention « des échasses et des ailes » et à la page suivante :

« Il y a dix ans que M. Peano a publié la première édition de son Formulaire. »

Comment, voilà dix ans que vous avez des ailes, et vous n’avez pas encore volé !

[si, ils ont volé des concepts]

J’ai la plus grande estime pour M. Peano, qui a fait de très jolies choses (par exemple sa courbe qui remplit toute une aire) ; mais enfin il n’est allé ni plus loin, ni plus haut, ni plus vite que la plupart des mathématiciens aptères, et il aurait pu faire tout aussi bien avec ses jambes.

Je ne vois au contraire dans la logistique que des entraves pour l’inventeur ; elle ne nous fait pas gagner en concision, loin de là, et s’il faut 27 équations pour établir que 1 est un nombre, combien en faudra-t-il pour démontrer un vrai théorème. Si nous distinguons, avec M. Whitehead, l’individu x, la classe dont le seul membre est x et qui s’appellera ix, puis la classe dont le seul membre est la classe dont le seul membre est x et qui s’appellera iix, croit-on que ces distinctions, si utiles qu’elles soient, vont beaucoup alléger notre allure ?

La Logistique nous force à dire tout ce qu’on sous-entend d’ordinaire ; elle nous force à avancer pas à pas ; c’est peut-être plus sûr, mais ce n’est pas plus rapide.

Nous tromper, pour nous, c’est un malheur, un très grand malheur,

pour vous c’est la mort

Ce ne sont pas des ailes que vous nous donnez, ce sont des lisières. Et alors nous avons le droit d’exiger que ces lisières nous empêchent de tomber. Ce sera leur seule excuse. Quand une valeur ne rapporte pas de gros intérêts, il faut au moins que ce soit un placement de père de famille.

Doit-on suivre vos règles aveuglément ? Oui, sans quoi ce serait l’intuition seule qui nous permettrait de discerner entre elles ; mais alors il faut qu’elles soient infaillibles ; ce n’est que dans une autorité infaillible qu’on peut avoir une confiance aveugle. C’est donc une nécessité pour vous. Vous serez infaillibles ou vous ne serez pas.

Vous n’avez pas le droit de nous dire :

« Nous nous trompons, c’est vrai, mais vous vous trompez aussi ».

Nous tromper, pour nous, c’est un malheur, un très grand malheur, pour vous c’est la mort.

Ne dites pas non plus : est-ce que l’infaillibilité de l’arithmétique empêche les erreurs d’addition ; les règles du calcul sont infaillibles, et pourtant on voit se tromper ceux qui n’appliquent pas ces règles ; mais en revisant leur calcul, on verra tout de suite à quel moment ils s’en sont écartés. Ici ce n’est pas cela du tout ; les logisticiens ont appliqué leurs règles, et ils sont tombés dans la contradiction ; et cela est si vrai qu’ils s’apprêtent à changer ces règles et à « sacrifier la notion de classe ».

Pourquoi les changer si elles étaient infaillibles ?

« Nous ne sommes pas obligés, dites-vous, de résoudre hic et nunc tous les problèmes possibles. »

Oh, nous ne vous en demandons pas tant ; si en face d’un problème, vous ne donniez aucune solution, nous n’aurions rien à dire ; mais au contraire vous nous en donnez deux et qui sont contradictoires et dont par conséquent une au moins est fausse, et c’est cela qui est une faillite.

M. Russell cherche à concilier ces contradictions, ce qu’on ne peut faire, d’après lui « qu’en restreignant ou même en sacrifiant la notion de classe. » Et M. Couturat, escomptant le succès de cette tentative, ajoute :

« Si les logisticiens réussissent là où les autres ont échoué, M. Poincaré voudra bien se rappeler cette phrase, et faire honneur de la solution à la Logistique. »

Mais non : La Logistique existe, elle a son code qui a déjà eu quatre éditions ; ou plutôt c’est ce code qui est la Logistique elle-même. M. Russell s’apprête-t-il à montrer que l’un au moins des deux raisonnements contradictoires a transgressé ce code ? Pas le moins du monde, il s’apprête à changer ces lois, et à en abroger un certain nombre. S’il réussit, j’en ferai honneur à l’intuition de M. Russell et non à la Logistique péanienne qu’il aura détruite.

III. La liberté de la contradiction.

J’avais opposé dans l’article cité deux objections principales à la définition du nombre entier adoptée par les logisticiens.

Que répond M. Couturat à la première de ces objections ?

Que signifie en mathématiques le mot exister ; il signifie, avais-je dit, être exempt de contradiction.

C’est ce que M. Couturat conteste ;

« L’existence logique, dit-il, est tout autre chose que l’absence de contradiction. Elle consiste dans le fait qu’une classe n’est pas vide ; dire : Il existe des a, c’est, par définition, affirmer que la classe a n’est pas nulle ».

Et sans doute, affirmer que la classe a n’est pas nulle, c’est par définition, affirmer qu’il existe des a. Mais l’une des deux affirmations est aussi dénuée de sens que l’autre, si elles ne signifient pas toutes deux, ou bien qu’on peut voir ou toucher des a, ce qui est le sens que leur donnent les physiciens ou les naturalistes, ou bien qu’on peut concevoir un a sans être entraîné à des contradictions, ce qui est le sens que leur donnent les logiciens et les mathématiciens.

C’est donc émettre une exigence arbitraire et abusive que de prétendre qu’une définition n’est valable que si l’on prouve d’abord qu’elle n’est pas contradictoire.

On ne saurait revendiquer en termes plus énergiques et plus fiers

 la liberté de la contradiction. 

Pour M. Couturat ce n’est pas la non-contradiction qui prouve l’existence, c’est l’existence qui prouve la non-contradiction.

Pour établir l’existence d’une classe, il faut donc établir, par un exemple, qu’il y a un individu appartenant à cette classe :

« Mais, dira-t-on, comment démontre-t-on l’existence de cet individu ? Ne faut-il pas que cette existence soit établie, pour qu’on puisse en déduire l’existence de la classe dont il fait partie ? - Eh bien, non ; si paradoxale que paraisse cette assertion, on ne démontre jamais l’existence d’un individu. Les individus, par cela seul qu’ils sont des individus, sont toujours considérés comme existants. On n’a jamais à exprimer qu’un individu existe, absolument parlant, mais seulement qu’il existe dans une classe. »

M. Couturat trouve sa propre assertion paradoxale, il ne sera certainement pas le seul. Elle doit, pourtant avoir un sens ; il veut dire sans doute que l’existence d’un individu, seul au monde, et dont on n’affirme rien, ne peut entraîner de contradiction ; tant qu’il sera tout seul, il est évident qu’il ne pourra gêner personne. Eh bien, soit, nous admettrons l’existence de l’individu, « absolument parlant » ; mais de celle-là nous n’avons que faire ; il vous restera à démontrer l’existence de l’individu « dans une classe » et pour cela il vous faudra toujours prouver que l’affirmation : tel individu appartient à telle classe, n’est contradictoire ni en elle-même, ni avec les autres postulats adoptés.

« C’est donc émettre une exigence arbitraire et abusive que de prétendre qu’une définition n’est valable que si l’on prouve d’abord qu’elle n’est pas contradictoire. »

On ne saurait revendiquer en termes plus énergiques et plus fiers la liberté de la contradiction.

« En tout cas, l’onus probandi incombe à ceux qui croient que ces principes sont contradictoires. »

Des postulats sont présumés compatibles jusqu’à preuve du contraire, de même qu’un accusé est présumé innocent.

Inutile d’ajouter que je ne souscris pas à cette revendication. Mais, dites-vous, la démonstration que vous exigez de nous est impossible, et vous ne pouvez nous sommer de « prendre la lune avec les dents ».

Pardon, cela est impossible pour vous, mais pas pour nous, qui admettons le principe d’induction comme un jugement synthétique a priori.  Et cela serait nécessaire pour vous, comme pour nous.

Pour démontrer qu’un système de postulats n’implique pas contradiction, il faut appliquer le principe d’induction complète ; non seulement ce mode de raisonnement n’a rien de « bizarre », mais c’est le seul correct. Il n’est pas « invraisemblable » qu’on l’ait jamais employé ; et il n’est pas difficile d’en trouver des « exemples et des précédents ».

J’en ai cité deux dans mon article et qui étaient empruntés à la brochure de M. Hilbert.

Il n’est pas le seul à en avoir fait usage et ceux qui ne l’ont pas fait ont eu tort. Ce que j’ai reproché à M. Hilbert, ce n’est pas d’y avoir eu recours (un mathématicien de race comme lui ne pouvait pas ne pas voir qu’il fallait une démonstration et que celle-là était la seule possible), mais d’y avoir eu recours sans y reconnaître le raisonnement par récurrence.

IV. La seconde objection.

 Cette science n’a pas uniquement pour objet de contempler éternellement son propre nombril ; elle touche à la nature et un jour ou l’autre elle prendra contact avec elle ; ce jour-là, il faudra secouer les définitions purement verbales et ne plus se payer de mots

J’avais signalé une seconde erreur des logisticiens dans l’article de M. Hilbert ; aujourd’hui M. Hilbert est excommunié et M. Couturat ne le regarde plus comme un logisticien ; il va donc me demander si j’ai trouvé la même faute chez les logisticiens orthodoxes. Non, je ne l’ai pas vue dans les pages que j’ai lues ; je ne sais si je la trouverais dans les 300 pages qu’ils ont écrites et que je n’ai pas envie de lire.

Seulement il faudra bien qu’ils la commettent le jour où ils voudront tirer de la science mathématique une application quelconque. Cette science n’a pas uniquement pour objet de contempler éternellement son propre nombril ; elle touche à la nature et un jour ou l’autre elle prendra contact avec elle ; ce jour-là, il faudra secouer les définitions purement verbales et ne plus se payer de mots.

Revenons à l’exemple de M. Hilbert ; il s’agit toujours du raisonnement par récurrence, et de la question de savoir si un système de postulats n’est pas contradictoire. M. Couturat me dira sans aucun doute qu’alors cela ne le touche pas, mais cela intéressera peut-être ceux qui ne revendiquent pas comme lui la liberté de la contradiction.

Nous voulons établir comme plus haut que nous ne rencontrerons pas de contradiction après un nombre quelconque de raisonnements, aussi grand que l’on veut, pourvu que ce nombre soit fini. Pour cela il faut appliquer le principe d’induction. Devons-nous entendre ici par nombre fini, tout nombre auquel par définition le principe d’induction s’applique ? Évidemment non, sans quoi nous serions conduits aux conséquences les plus étranges.

Pour que nous ayons le droit de poser un système de postulats, il faut que nous soyons assurés qu’ils ne sont pas contradictoires. C’est là une vérité qui est admise par la plupart des savants, j’aurais écrit par tous avant d’avoir lu le dernier article de M. Couturat. Mais que signifie-t-elle ?

Veut-elle dire :

il faut que nous soyons sûrs de ne pas rencontrer de contradiction après un nombre fini de propositions, le nombre fini étant par définition celui qui jouit de toutes les propriétés de nature récurrente, de telle façon que si une de ces propriétés faisait défaut, si par exemple nous tombions sur une contradiction, nous conviendrions de dire que le nombre en question n’est pas fini ?

En d’autres termes, voulons-nous dire :

Il faut que nous soyons sûrs de ne pas rencontrer de contradiction à la condition de convenir de nous arrêter juste au moment où nous serions sur le point d’en rencontrer une ?

Il suffit d’énoncer une pareille proposition pour la condamner.

Ainsi non seulement le raisonnement de M. Hilbert suppose le principe d’induction, mais il suppose que ce principe nous est donné, non comme une simple définition, mais comme un jugement synthétique a priori.

En résumé :

Une démonstration est nécessaire.

La seule démonstration possible est la démonstration par récurrence.

Elle n’est légitime que si on admet le principe d’induction, et si ou le regarde non comme une définition, mais comme un jugement synthétique.

V. Les antinomies cantoriennes.

Je vais maintenant aborder l’examen de l’important mémoire de M. Russell.

Ce mémoire a été écrit en vue de triompher des difficultés soulevées par ces antinomies cantoriennes auxquelles nous avons fait déjà de fréquentes allusions.

Cantor avait cru pouvoir constituer une Science de l’Infini ; d’autres se sont avancés dans la voie qu’il avait ouverte, mais ils se sont bientôt heurtés à d’étranges contradictions. Ces antinomies sont déjà nombreuses, mais les plus célèbres sont :

1° L’antinomie Burali-Forti ;

2° L’antinomie Zermelo-König ;

3° L’antinomie Richard.

Cantor avait démontré que les nombres ordinaux (il s’agit des nombres ordinaux transfinis, notion nouvelle introduite par lui) peuvent être rangés en une série linéaire, c’est-à-dire que de deux nombres ordinaux inégaux, il y en a toujours un qui est plus petit que l’autre.

Burali-Forti démontre le contraire ; et en effet, dit-il en substance, si on pouvait ranger tous les nombres ordinaux en une série linéaire, cette série définirait un nombre ordinal qui serait plus grand que tous les autres ; on pourrait ensuite y ajouter 1 et on obtiendrait encore un nombre ordinal qui serait encore plus grand, et cela est contradictoire.

Nous reviendrons plus loin sur l’antinomie Zermelo-König qui est d’une nature un peu différente ; voici ce que c’est que l’antinomie Richard. (Revue générale des Sciences, 30 juin 1905.)

Considérons tous les nombres décimaux qu’on peut définir à l’aide d’un nombre fini de mots ; ces nombres décimaux forment un ensemble E, et il est aisé de voir que cet ensemble est dénombrable, c’est-à-dire qu’on peut numéroter les divers nombres décimaux de cet ensemble depuis 1 jusqu’à l’infini. Supposons le numérotage effectué, et définissons un nombre N de la façon suivante. Si la ne décimale du ne nombre de l’ensemble E est

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

la nème décimale de N sera

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 1, 1

Comme on le voit, N n’est pas égal au nème nombre de E et comme n est quelconque, N n’appartient pas à E et pourtant N devrait appartenir à cet ensemble puisque nous l’avons défini avec un nombre fini de mots.

Nous verrons plus loin que M. Richard a donné lui-même, avec beaucoup de sagacité, l’explication de son paradoxe et que son explication peut s’étendre, mutatis mutandis, aux autres paradoxes analogues.

Quel est le plus petit nombre entier que l’on ne peut pas définir par une phrase formée de moins de cent mots français ?

Ce nombre existe ; et en effet les nombres susceptibles d’être définis par une pareille phrase sont évidemment en nombre fini puisque les mots de la langue française ne sont pas en nombre infini.

Donc, parmi eux, il y en aura un qui sera plus petit que tous les autres.

Et, d’autre part, ce nombre n’existe pas, car sa définition implique contradiction.

Ce nombre en effet se trouve défini par la phrase en italiques qui est formée de moins de cent mots français ; et par définition ce nombre ne doit pas pouvoir être défini par une semblable phrase.

VI. Zigzag-theory et noclass-theory.

Quelle est l’attitude de M. Russell en présence de ces contradictions ?

Après avoir analysé celles dont nous venons de parler et en avoir cité d’autres encore, après leur avoir donné une forme qui fait penser à l’Epiménide, il n’hésite pas à conclure :

« A propositional function of one variable does not always determine a class. »

Une « propositional function » ou « norm » peut être « non prédicative ».

Et cela ne veut pas dire que ces propositions non prédicatives déterminent une classe vide, une classe nulle ; cela ne veut pas dire qu’il n’y a aucune valeur de x qui satisfasse à la définition et qui puisse être l’un des éléments de la classe. Les éléments existent, mais ils n’ont pas le droit de se syndiquer pour former une classe.

Mais cela n’est que le commencement et il faut savoir reconnaître si une définition est ou non prédicative ; pour résoudre ce problème, M. Russell hésite entre trois théories qu’il appelle

A. The zigzag theory ;

B. The theory of limitation of size ;

C. The no classes theory.

D’après la zigzag theory :

“les définitions (fonctions propositionnelles) déterminent une classe quand elles sont très simple et ne cessent de le faire que quand elles sont compliquées et obscures ».

Qui décidera maintenant si une définition peut être regardée comme suffisamment simple pour être acceptable ?

A cette question pas de réponse, sinon l’aveu loyal d’une complète impuissance :

« les règles qui permettraient de reconnaître si ces définitions sont prédicatives seraient extrêmement compliquées et ne peuvent se recommander par aucune raison plausible. C’est un défaut auquel on pourrait remédier par plus d’ingéniosité ou en se servant de distinctions non encore signalées. Mais jusqu’ici, en cherchant ces règles, je n’ai pu trouver d’autre principe directeur que l’absence de contradiction ».

Cette théorie reste donc bien obscure ; dans cette nuit, une seule lueur ; c’est le mot zigzag. Ce que M. Russell appelle la « zigzag-giness » c’est sans doute ce caractère particulier qui distingue l’argument d’Epiménide.

D’après la theory of limitation of size, une classe cesserait d’avoir droit à l’existence si elle était trop étendue. Peut-être pourrait-elle être infinie, mais il ne faudrait pas qu’elle le fût trop.

Mais nous retrouvons toujours la même difficulté ; à quel moment précis commencera-t-elle à l’être trop?

Bien entendu, cette difficulté n’est pas résolue et M. Russell passe à la troisième théorie.

Dans la no classes theory, il est interdit de prononcer le mot classe et on doit remplacer ce mot par des périphrases variées.

Quel changement pour les logisticiens qui ne parlent que de classes et de classes de classes ! Il va falloir refaire toute la Logistique. Se figure-t-on quel sera l’aspect d’une page de Logistique quand on en aura supprimé toutes les propositions où il est question de classe ? Il n’y aura plus que quelques survivantes éparses au milieu d’une page blanche. Apparent rari nantes in gurgite vasto.

Quoi qu’il en soit, on voit quelles sont les hésitations de M. Russell, les modifications qu’il va faire subir aux principes fondamentaux qu’il a adoptés jusqu’ici. Il va falloir des critères pour décider si une définition est trop compliquée ou trop étendue, et ces critères ne pourront être justifiés que par un appel à l’intuition.

C’est vers la no classes theory que M. Russell incline finalement.

Quoi qu’il en soit, la Logistique est à refaire et on ne sait trop ce qu’on en pourra sauver. Inutile d’ajouter que le Cantorisme et la Logistique sont seuls en cause ; les vraies mathématiques, celles qui servent à quelque chose, pourront continuer à se développer d’après leurs principes propres sans se préoccuper des orages qui sévissent en dehors d’elles, et elles poursuivront pas à pas leurs conquêtes accoutumées qui sont définitives et qu’elles n’ont jamais à abandonner.

VII. La vraie solution.

Quel choix devons-nous faire entre ces différentes théories ?

Il me semble que la solution est contenue dans une lettre de M. Richard dont j’ai parlé plus haut et qu’on trouvera dans la Revue Générale des Sciences du 30 juin 1905. Après avoir exposé l’antinomie que nous avons appelée l’antinomie Richard, il en donne l’explication.

Reportons-nous à ce que nous avons dit de cette antinomie au § VII ;

E est l’ensemble de tous les nombres que l’on peut définir par un nombre fini de mots, sans introduire la notion de l’ensemble E lui-même.

Sans quoi la définition de E contiendrait un cercle vicieux ; on ne peut pas définir E par l’ensemble E lui-même.

Or nous avons défini N, avec un nombre fini de mots il est vrai, mais en nous appuyant sur la notion de l’ensemble E.

Et voilà pourquoi N ne fait pas partie de E.

Dans l’exemple choisi par M. Richard, la conclusion se présente avec une entière évidence et l’évidence paraîtra encore plus grande quand on se reportera au texte même de sa lettre. Mais la même explication vaut pour les autres antinomies ainsi qu’il est aisé de le vérifier.

Ainsi les définitions qui doivent être regardées comme non prédicatives sont celles qui contiennent un cercle vicieux.

Et les exemples qui précèdent montrent suffisamment ce que j’entends par là.

Est-ce là ce que M. Russell appelle la « zigzagginess ? » Je pose la question sans la résoudre.

VIII. Les démonstrations du principe d’induction.

Examinons les prétendues démonstrations du principe d’induction et en particulier celle de M. Russell et celle de Burali-Forti.

Et d’abord pour mieux faire comprendre la position de la question, profitons de quelques dénominations nouvelles heureusement introduites par M. Russell dans son récent mémoire.

Appelons classe récurrente toute classe de nombres qui contient zéro, et qui contient n+1 si elle contient n.

Appelons nombre inductif tout nombre qui fait partie de toutes les classes récurrentes.

Appelons nombre fini le nombre cardinal d’une classe qui n’est équivalente à aucune de ses parties.

Il faut entendre, d’après tout ce qui précède, par toutes les classes récurrentes, toutes celles dans la définition desquelles n’entre pas la notion de nombre inductif.

Sans cela on retombe dans le cercle vicieux qui a engendré les antinomies.

Or Whitehead n’a pas pris cette précaution.

Le raisonnement de Whitehead est donc vicieux ; c’est le même qui a conduit aux antinomies ; il était illégitime quand il donnait des résultats faux ; il reste illégitime quand il conduit par hasard à un résultat vrai.

Une définition qui contient un cercle vicieux ne définit rien. Il ne sert à rien de dire, nous sommes sûrs, quelque sens que nous donnions à notre définition, qu’il y a au moins zéro qui appartient à la classe des nombres inductifs ; il ne s’agit pas de savoir si cette classe est vide, mais si on peut rigoureusement la délimiter. Une classe « non prédicative » ce n’est pas une classe vide, c’est une classe dont la frontière est indécise.

Inutile d’ajouter que cette objection particulière laisse subsister les objections générales qui s’appliquent à toutes les démonstrations.

IX.

M. Burali-Forti a donné une autre démonstration dans son article Le classe finite (Atti di Torino, t. XXXII). Mais il est obligé d’admettre deux postulats :

Le premier, c’est qu’il existe toujours au moins une classe infinie.

Le second s’énonce ainsi :

Le premier postulat n’est pas plus évident que le principe à démontrer ; le second non seulement n’est pas évident, mais il est faux; comme l’a montré M. Whitehead, comme d’ailleurs le moindre taupin s’en serait aperçu du premier coup, si l’axiome avait été énoncé dans un langage intelligible, puisqu’il signifie : le nombre des combinaisons qu’on peut former avec plusieurs objets est plus petit que le nombre de ces objets.

X. L’axiome de Zermelo.

Dans sa démonstration célèbre, M. Zermelo s’appuie sur l’axiome suivant :

Dans un ensemble quelconque (ou même dans chacun des ensembles d’un ensemble d’ensembles)

nous pouvons toujours choisir au hasard un élément (quand même cet ensemble d’ensembles comprendrait une infinité d’ensembles).

On avait appliqué mille fois cet axiome sans l’énoncer, mais dès qu’il fut énoncé, il souleva des doutes.

Quelques mathématiciens, comme M. Borel, le rejetèrent résolument ; d’autres l’admirent.

Voyons ce qu’en pense M. Russell, d’après son dernier article.

Il ne se prononce pas, mais les considérations auxquelles il se livre sont très suggestives.

Et d’abord un exemple pittoresque ;

supposons que nous ayons autant de paires de bottes que de nombres entiers, de telle façon que nous puissions numéroter les paires depuis 1 jusqu’à l’infini ; combien aurons-nous de bottes ?

le nombre des bottes sera-t-il égal au nombre des paires.

Oui, si dans chaque paire, la botte droite se distingue de la botte gauche ;

il suffira de donner le numéro 2n-1 à la botte droite de la nème paire et le numéro 2n à la botte gauche de la nème paire.

Non, si la botte droite est pareille à la botte gauche, parce qu’une pareille opération deviendra impossible. A moins que l’on n’admette l’axiome de Zermelo, parce qu’alors on pourra choisir au hasard dans chaque paire la botte que l’on regardera comme droite.

XI. Conclusions.

Une démonstration vraiment fondée sur les principes de la Logique Analytique se composera d’une suite de propositions ;

les unes, qui serviront de prémisses, seront des identités ou des définitions ;

les autres se déduiront des premières de proche en proche ;

mais bien que le lien entre chaque proposition et la suivante s’aperçoive immédiatement, on ne verra pas du premier coup comment on a pu passer de la première à la dernière, que l’on pourra être tenté de regarder comme une vérité nouvelle.

Mais si l’on remplace successivement les diverses expressions qui y figurent par leur définition et si l’on poursuit cette opération aussi loin qu’on le peut, il ne restera plus à la fin que des identités, de sorte que tout se réduira à une immense tautologie.

La Logique reste donc stérile, à moins d’être fécondée par l’intuition.

Voilà ce que j’ai écrit autrefois ;

les logisticiens professent le contraire et croient l’avoir prouvé en démontrant effectivement des vérités nouvelles.

Par quel mécanisme ?

Pourquoi, en appliquant à leurs raisonnements le procédé que je viens de décrire, c’est-à-dire en remplaçant les termes définis par leurs définitions, ne les voit-on pas se fondre en identités comme les raisonnements ordinaires ?

C’est que ce procédé ne leur est pas applicable.

Et pourquoi ?

parce que leurs définitions sont non prédicatives et présentent cette sorte de cercle vicieux caché que j’ai signalé plus haut ; les définitions non prédicatives ne peuvent pas être substituées au terme défini. Dans ces conditions, la Logistique n’est plus stérile, elle engendre l’antinomie.

C’est la croyance à l’existence de l’infini actuel qui a donné naissance à ces définitions non prédicatives.

Je m’explique : dans ces définitions figure le mot tous, ainsi qu’on le voit dans les exemples cités plus haut.

Le mot tous a un sens bien net quand il s’agit d’un nombre fini d’objets ;

pour qu’il en eût encore un, quand les objets sont en nombre infini, il faudrait qu’il y eût un infini actuel.

Autrement tous ces objets ne pourront pas être conçus comme posés antérieurement à leur définition et alors

si la définition d’une notion N dépend de tous les objets A,

elle peut être entachée de cercle vicieux, si parmi les objets A il y en a qu’on ne peut définir sans faire intervenir la notion N elle-même.

Les règles de la logique formelle expriment simplement les propriétés de toutes les classifications possibles.

Mais pour qu’elles soient applicables, il faut que ces classifications soient immuables et qu’on n’ait pas à les modifier dans le cours du raisonnement.

Si l’on a à classer qu’un nombre fini d’objets, il est facile de conserver ses classifications sans changement.

Si les objets sont en nombre indéfini, c’est-à-dire si on est sans cesse exposé à voir surgir des objets nouveaux et imprévus, il peut arriver que l’apparition d’un objet nouveau oblige à modifier la classification, et c’est ainsi qu’on est exposé aux antinomies.

Il n’y a pas d’infini actuel ; les Cantoriens l’ont oublié, et ils sont tombés dans la contradiction.

Il est vrai que le Cantorisme a rendu des services, mais c’était quand on l’appliquait à un vrai problème, dont les termes étaient nettement définis, et alors on pouvait marcher sans crainte.

Les logisticiens l’ont oublié comme les Cantoriens et ils ont rencontré les mêmes difficultés.

Mais il s’agit de savoir s’ils se sont engagés dans cette voie par accident, ou si c’était pour eux une nécessité.

Pour moi, la question n’est pas douteuse ; la croyance à l’infini actuel est essentielle dans la logistique russelienne.

C’est justement ce qui la distingue de la logistique hilbertienne.

Hilbert se place au point de vue de l’extension, précisément afin d’éviter les antinomies cantoriennes ; Russell se place au point de vue de la compréhension.

Par conséquent le genre est pour lui antérieur à l’espèce, et le summum genus est antérieur à tout. Cela n’aurait pas d’inconvénient si le summum genus était fini ; mais s’il est infini, il faut poser l’infini avant le fini, c’est-à-dire regarder l’infini comme actuel.

Et nous n’avons pas seulement des classes infinies ;

quand nous passons du genre à l’espèce en restreignant le concept par des conditions nouvelles, ces conditions sont encore en nombre infini.

Car elles expriment généralement que l’objet envisagé présente telle ou telle relation avec tous les objets d’une classe infinie.

Mais cela, c’est de l’histoire ancienne. M. Russell a aperçu le péril et il va aviser. Il va tout changer ;

et qu’on s’entende bien : il ne s’apprête pas seulement à introduire de nouveaux principes qui permettront des opérations autrefois interdites ; il s’apprête à interdire des opérations qu’il jugeait autrefois légitimes. Il ne se contente pas d’adorer ce qu’il a brûlé ; il va brûler ce qu’il a adoré, ce qui est plus grave. Il n’ajoute pas une nouvelle aile au bâtiment, il en sape les fondations.

L’ancienne Logistique est morte, si bien que la zigzag-theory et la no classes theory se disputent déjà sa succession. Pour juger la nouvelle, nous attendrons qu’elle existe.