Cilindrul tangent

Fie o curbă obişnuită oarecare C pentru care se poate defini peste tot curbura şi torsiunea. Atunci, în fiecare punct x al acestei curbe se poate construi o elice circulară tangentă la curba respectivă în acel punct, elice notată cu E(x), astfel încât torsiunea şi curbura elicei circulare construite în acest mod să fie egală tocmai cu torsiunea şi curbura curbei C în punctul x.

Mai mult, în fiecare punct x al curbei C se poate presupune că pe porţiuni foarte mici atât curbura, cât şi torsiunea sunt constante. Altfel spus, se poate presupune că pe porţiuni foarte mici orice curbă este o elice circulară.

Dar o elice circulară se înfăşoară pe un cilindru drept, a cărui rază şi înălţime sunt date de curbura şi torsiunea elicei circulare. Mai precis, dată fiind elicea circulară, ce se înfăşoară o dată pe cilindrul drept de rază a şi înălţime b, aceasta va avea ecuaţiile scrise sub formă vectorială

.

Atunci, avem că torsiunea şi curbura acestei elice sunt date de expresiile

 şi .

Observăm că

 .

Aşadar, .

Cum , vom avea că , de unde rezultă .

La fel rezultă şi . Prin urmare, atât raza, cât şi înălţimea cilindrului pot fi determinate cunoscând curbura şi torsiunea elicei tangente.

Acestea fiind spuse, putem presupune că pe porţiuni mici se poate asocia în fiecare punct x al unei curbe C de curbură şi torsiune un cilindru de înălţime  şi rază . Numim acest cilindru tocmai cilindrul tangent la curbă în punctul x.

Desigur, pentru elicea circulară, cilindrul tangent are dimensiuni constante, dar pentru curbe mai complicate dimensiunile cilindrului tangent variază de la un punct la altul.

Să observăm în final că, pentru o dreaptă, a cărei curbură este peste tot nulă, cilindrul tangent are raza nulă. De asemenea, pentru un cerc (sau pentru orice curbă plană), a cărui torsiune este peste tot nulă, cilindrul tangent are înălţimea nulă. În ambele aceste cazuri, volumul cilindrului tangent este nul. De aceea, vom mai spune că dreapta şi cercul (sau orice altă curbă plană) sunt curbe degenerate.