Jde mi jen o funkce nad racionálními čísly. Mezi takovýmito funkcemi jsou bohužel i spojité funkce, pro které neplatí zákon o mezihodnotě:

Jestliže , pak pro každé  existuje , pro které platí .

Např. pro  věta o mezihodnotě pochopitelně neplatí. Lze mít nějaké těleso funkcí splňující větu o mezihodnotě, které by nebylo úplně triviální? Nelze.

Tvrzení: Mějme množinu funkcí splňující větu o mezihodnotě . Nechť je množina uzavřená na tyto operace:

1. na operaci skládání funkcí: ,
2. na násobení rac. čísla a přičítání rac. čísla: ,
3. na sčítání:  ,
4. na násobení:  ,

pak .

Důkaz: To, že množina  podmínky 1-4 splňuje, se lze snadno přesvědčit. Předpokládejme, že  a  . Tato funkce je evidentně spojitá. Protože funkce splňuje podmínku 2, pak také existuje funkce  taková, že  a  pro nějaké . Vytvořme novou funkci . A protože pro tuto novou funkci musí platit věta o mezihodnotě, musí existovat , pro které platí . Jenomže číslo 2 nemá racionální odmocninu, a proto ani hodnota  nemůže být racionální, což je spor. Funkce tedy mohou být pouze konstantní.

Podmínka 4 je tedy nadobro ztracena. Budeme-li tedy trvat jen na podmínkách 1-3, můžeme uvažovat i lineární nebo po částech lineární funkce. Lze však množinu  obohatit i o jiné funkce? Pokud budeme trvat jen na podmínkách 1 a 2, pak určitě ano. Ale jak to je s podmínkou 3, to ještě nevím.