Modul Aljabar Linear
www.sutondo.co.cc
MODUL
ALJABAR LINEAR
NANANG SUTONDO NIM. 2107200665
SEKOLAH TINGGI MANAJEMEN INFORMATIKA DAN KOMPUTER
ADI UNGGUL BHIRAWA (STMIK-AUB)
SURAKARTA
2011
1
2 Modul Aljabar Linear
Pendahuluan
1. Deskripsi
Mata kuliah ini mempersiapkan mahasiswa untuk dapat menyelesaikan
masalah yang terkait dengan aljabar matriks dan konsep ruang vektor.
Disamping itu, mata kuliah ini membekali mahasiswa dengan logical reasoning
dan abstraksi matematika. Oleh karena itu, keterlibatan aktif dari siswa
memegang peranan penting.
2. Manfaat Mata Kuliah
Sesuai dengan tujuan pembelajaran Matematika, perkuliahan Aljabar Linear
mempunyai dua manfaat utama yang saling terkait yaitu mengasah kemampuan
bernalar dan problem solving. Secara rinci, tujuan tersebut dijabarkan dalam
tujuan instruksional umum dan khusus berikut ini.
3. Tujuan Instruksional Umum
1. Apabila diberi suatu sistem persamaan linear, mahasiswa mampu memilih
strategi yang paling efektif untuk menentukan penyelesaiannya.
2. Mahasiswa mampu mengidentifikasi apakah suatu fungsi merupakan
transformasi linear, menentukan matriks transformasi linear, dan dapat
menginterpretasikan sifat-sifat transformasi linear pada bidang dan ruang.
3. Mahasiswa mampu mengidentifikasi matriks-matriks bujursangkar yang
dapat didiagonalkan secara orthogonal, dan dapat membuat prosedur untuk
mendiagonalkannya.
4. Tujuan Instruksional Khusus
Setelah selesai mengikuti mata kuliah ini, mahasiswa diharapkan memiliki
kemampuan sebagai berikut.
www.sutondo.co.cc
3 Modul Aljabar Linear
a. Apabila diberikan sistem persamaan linear (SPL), mahasiswa mampu
menentukan konsistensinya; dan menyelesaikan dengan metode eliminasi,
substitusi, geometris, dan metode eliminasi Gauss-Jordan dengan tepat.
b. Apabila diberikan matriks-matriks, mahasiswa mampu melakukan operasi-
operasi aritmetika dengan tepat, dan mampu menentukan invers matriks
bujursangkar secara efektif.
c. Apabila diberikan matriks bujursangkar, mahasiswa dapat menghitung
determinannya. Jika matriks tersebut matriks koefisien suatu SPL dan
mempunyai invers, mahasiswa mampu menentukan solusi SPL dengan
aturan Cramer. Kemudian mahasiswa mampu membandingkan efektifitas
aturan Cramer dan metode eliminasi Gauss-Jordan.
d. Mahasiswa mampu melakukan operasi-operasi vektor pada bidang dan
ruang (ruang vektor Euclid 2R dan 3R ) baik secara aljabar maupun
geometris.
e. Jika diberikan garis dan bidang, mahasiswa mampu menentukan persamaan
vektornya.
f. Berdasarkan pemahaman operasi vektor di 2R dan 3R , mahasiswa mampu
membuat generalisasi dari ruang vektor Euclid ke ruang vektor umum.
g. Jika diberikan ruang vektor, mahasiswa mampu mengkonstruksi subruang,
dan menentukan apakah suatu sub himpunan dengan syarat keanggotaan
tertentu merupakan subruang.
h. Jika diberikan himpunan vektor-vektor pada suatu ruang vektor, mahasiswa
mampu menentukan hubungan dependensi linear antara vektor-vektor.
i. Jika diberikan ruang vektor berhingga dan himpunan vektor-vektor,
mahasiswa mampu mengkonstruksi suatu basis ruang vektor tersebut dan
menentukan dimensinya.
j. Jika diberikan matriks, mahasiswa mampu menentukan ruang kolom, ruang
baris, ruang null, dan dimensinya.
k. Jika diberikan ruang hasilkali dalam, mahasiswa dapat menentukan
hubungan ortogonalitas antara dua vektor, vektor dan subruang, dan dua
www.sutondo.co.cc
4 Modul Aljabar Linear
subruang. Kemudian mahasiswa mampu menentukan hubungan
ortogonalitas antara ruang kolom dan ruang null matriks dengan tepat.
l. Jika diberikan basis suatu ruang hasilkali dalam berdimensi hingga,
mahasiswa mampu mengubah basis tersebut menjadi basis ortonormal
dengan proses Gramm Schmidt secara tepat.
m. Jika diberikan matriks bujursangkar, mahasiswa mampu menentukan vektor
eigen dan nilai eigen, melakukan diagonalisasi, menganalisis sifat matriks
berdasarkan nilai eigen, dan dapat menjelaskan ruang eigen sebagai ruang
null.
n. Mahasiswa mampu mengidentifikasi apakah suatu fungsi merupakan
transformasi linear, mampu menentukan matriks transformasi linear, dan
dapat menginterpretasikan sifat-sifat transformasi linear pada bidang dan
ruang, dan dapat menjelaskan ruang eigen sebagai Kernel suatu
transformasi linear.
o. Jika diberikan operator linear T dari ruang Euclid ke ruang Euclid,
mahasiswa mampu menjelaskan interpretasi nilai eigen [T] secara geomeris,
dan dapat menentukan hubungan antara Kernel (T), Null (T), Null ([T]);
juga hubungan antara Range (T) dan Coll ([T]).
www.sutondo.co.cc
5 Modul Aljabar Linear
APLIKASI ALJABAR LINEAR
A. Komputer Grafik dan Image Procecing
Aljabar linear menyediakan banyak alat dalam bidang komputer grafis.
Misalnya: translasi dan rotasi.
Rotasi 1. Memutar grafik 180o di sekitar sumbu-x
h = surf(peaks(20));
rotate(h,[1 0 0],180)
10
10
5
5
0
0
-5
-5
-10
-10 20
20 15
20
15
20 10
10
0
0
2. Memutar permukaan objek 45o di sekitar titik pusatnya terhadap arah z
h = surf(peaks(20));
zdir = [0 0 1];
center = [10 10 0];
rotate(h,zdir,45,center)
0
www.sutondo.co.cc
15
10
10
15
5
5
5
5 0
0
10
10
5
5
0
0
-5
-5
-10 20
-10 30
15
20
20
30
10
10
15
10
0
10
20
5
0
-10
-10 5
0
6 Modul Aljabar Linear
Translasi
I = imread('cameraman.tif');
se = translate(strel(1), [25 25]);
J = imdilate(I,se);
imshow(I), title('Original')
figure, imshow(J), title('Translated');
www.sutondo.co.cc
Translated
Digital Image
Digital image dapat dideskripsikan seperti berikut:
(x,y)
Piksel dengan (x,y), bagian terkecil penyusun digital image. Kualitas image
sangat dipengaruhi oleh resolusinya, atau ukuran/ banyaknya piksel dalam
Original
Modul Aljabar Linear
www.sutondo.co.cc
7
suatu image. Makin kecil ukuran dan makin banyak, tentu kualitas image
semakin bagus.
Tipe image dibagi:
1 bit, 4 bit dan 8 bit
Image Processing dalam MATLAB
1. Binary Image
Dalam binary-image, setiap pixel direpresentasikan oleh satu dari dua nilai
diskrit yang berkorespondensi dengan warna hitam dan putih.
Hitam Putih 1 bit = 21 = 2 variasi. 0(hitam) 1(putih)
Grayscale
2, 3, … bit. 2 bit = 22 = 4 variasi.00, 01,10, 11 8 bit = 28 = 256 variasi. 0(hitam mutlak)-255(putih mutlak). Untuk
greyscale 8 bit adalah mode yang paling sering digunakan, hingga saat ini.
Warna
Seperti Grayscale, hanya memiliki 3 channel. Color 8 bit= 28 (Red). 28 (Green). 28 (Blue)= >16 jt variasi.
Modul Aljabar Linear
2. Grayscale Image
3. RGB Image
www.sutondo.co.cc
8
K1.
9 Modul Aljabar Linear
Dipahami struktur data yang paling tepat menangani data digital image adalah
matrik. Mungkin bitmap tidak sepopuler *.jpg atau *.gif. Kelebihan tipe ini
adalah data spasial dan intensitasnya dijaga, meskipun tidak mampat karena
tipe encodingnya lossless. Contoh: Sebuah image hitam putih dengan grayscale
8 bit,ukuran 16
dapat disajikan image di atas dalam sebuah matriks:
255 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
255 255 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
255 255 255 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
255 255 255 255 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
255 255 255 255 255 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
255 255 255 255 255 255 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
255 255 255 255 255 255 255 0 0 0 0 0 0 0 0 0
255 255 255 255 255 255 255 255 0 0 0 0 0 0 0 0
255 255 255 255 255 255 255 255 255 0 0 0 0 0 0 0
255 255 255 255 255 255 255 255 255 255 0 0 0 0 0 0
255 255 255 255 255 255 255 255 255 255 255 0 0 0 0 0
255 255 255 255 255 255 255 255 255 255 255 255 0 0 0 0
255 255 255 255 255 255 255 255 255 255 255 255 255 0 0 0
255 255 255 255 255 255 255 255 255 255 255 255 255 255 0 0
255 255 255 255 255 255 255 255 255 255 255 255 255 255 255 0
255 255 255 255 255 255 255 255 255 255 255 255 255 255 255 255
www.sutondo.co.cc
10 Modul Aljabar Linear
B. Kompresi Citra
Perkembangan media penyimpan berkapasitas besar mengakibatkan orang
tidak lagi menemui masalah jika mempunyai file dengan ukuran yang besar.
Lebih-lebih jika file yang kita punya merupakan file image. Walaupun
demikian, adakalanya ukuran file yang besar tersebut terasa mengganggu jika
kita harus memanage media penyimpan yang kita punya untuk bermacam-
macam data. Apalagi jika file tersebut akan akan kita kirim secara elektronik,
tentunya kapasitas file menjadi masalah tersendiri.
Kompresi citra (image compression) adalah proses untuk meminimalkan
jumlah bit yang merepresentasikan suatu citra sehingga ukuran citra menjadi
lebih kecil. Pada dasarnya teknik kompresi citra digunakan untuk proses
transmisi data (data transmission) dan penyimpanan data (storage). Kompresi
citra banyak diaplikasikan pada penyiaran televisi, penginderaan jarak jauh
(remote sensing), komunikasi militer, radar dan lain-lain.
Ada beberapa teknik kompressi, antara lain: Kompresi berbasis (a) statistik,
(b) kuantisasi, (c) transformasi, (d) fraktal. Kompresi berbasis kuantisasi
bekerja dengan mengurangi jumlah intensitas warna, sehingga jumlah bit yang
digunakan untuk merepresentasikan citra menjadi berkurang. Contoh:
Diketahui citra ukuran 66x piksel, dengan 8 derajat R, 8 derajat G, dan 8
derajat B (3 bit) sebagai berikut:
Matrik R : 1 1 3 7 1 2 4 4 6 1 2 2 7 7 7 5 5 1 6 4 4 4 2 2 5 5 2 2 2 1 2 2 3 3 0 0 Matrik G: 4 4 6 1 2 2 7 7 7 5 5 1 6 4 4 4 2 2 5 5 2 2 2 1 2 2 3 3 0 0 1 1 3 7 1 2 Matrik B: 7 7 7 5 5 1 6 4 4 4 2 2 5 5 2 2 2 1 2 2 3 3 0 0 1 1 3 7 1 2
www.sutondo.co.cc
Matrik R: 0 0 1 3 0 1 2 2 3 0 1 1 3 3 3 2 2 0
Citra dikompresi menjadi 4
3 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 0 derajat R, 4 derajat G dan 4
1 1 1 1 0 0 derajat B (2 bit)
Matrik G: 2 2 3 0 1 1 3 3 3 2 2 0 3 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 3 0 1 Matrik B 3 3 3 2 2 0 3 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 3 0 1 2 2 3 0 1 1