Задачи на минимум и максимум

Достаточно часто встречаются задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения некоторой характеристики геометрического тела. С помощью условий задачи определяются связи между параметрами тела.

В результате удается представить искомую характеристику тела как функцию некоторого параметра. Далее эта функция исследуется на наибольшее или наименьшее значение с помощью производной или с использованием геометрических соображений.

Пример 28. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды имеет постоянную длину l и составляет с плоскостью основания угол α. При каком значении α объем пирамиды будет наибольшим? Найти этот объем.

Надо выразить объем пирамиды V через угол α, который по условию задачи может меняться. Из прямоугольного  найдем высоту пирамиды  и отрезок . Так как  правильный, то его высота  Пусть сторона AC=a, тогда  Получаем уравнение  откуда  Найдем площадь основания пирамиды  и объем пирамиды

Исследуем функцию V(α). Для этого найдем ее производную Так как  то  Поэтому производная  равна нулю, если  или  откуда  и   Покажем, что это точка максимума. Функция арккотангенс убывающая. Так как  то  или  Определим знак производной при

 Имеем:V'π4≈cosπ4cos2 π4-2sin2 π4 =22(12-2∙12)<0 Построим диаграмму знаков производной. Так как в точке  знак производной меняется с плюса на минус, то эта точка максимума.

Найдем это максимальный объем пирамиды. Так как  или  то получаем  или  откуда   и  Тогда объем

Пример 29. Площадь сферы равна S. Около этой сферы описан конус. Какова наименьшая площадь поверхности этого конуса?

Рассмотрим осевое сечение конуса – равнобедренный

Начало

 При этом сечением сферы будет окружность радиуса, равным радиусу R сферы. Так как О – центр вписанной в треугольник окружности, то OC – биссектриса угла C. Пусть  тогда  Из прямоугольного  найдем радиус основания  Из прямоугольного  определим образующую конуса  Тогда площадь полной поверхности конуса

Для исследования этой функции обозначим  тогда  Найдем производную этой функции:

Учтем, что  и

Поэтому производная  обращается в нуль только в точке  и меняет знак с минуса на плюс. Поэтому  - точка минимума. Найдем наименьшую площадь  По условию задачи площадь сферы известна  тогда площадь Sп можно записать в виде

Пример 30. Одно ребро треугольной пирамиды равно  все остальные равны заданной величине l. При каком значении а площадь полной поверхности пирамиды будет наибольшей? Найти эту площадь.

 Так как AB=BC и EB=EC, то AED – плоскость  симметрии данной пирамиды и вершина E проектируется на высоту AD треугольника ABC, лежащего в основании пирамиды. Поверхность пирамиды состоит из равных треугольников ABC и EBC (площадь каждого из них  и не зависит от величины а) и равных треугольников ABE и ACE. Рассмотрим один из них -

Так как две стороны  постоянны BA=BE=l, то его площадь  Очевидно, что при изменении величины а меняется и угол ϕ. Площадь S2 будет иметь наибольшее значение, если  будет максимальным, т.е. при  Тогда по теореме Пифагора  Наибольшее значение  а наибольшее значение площади полной поверхности пирамиды

Пример 31. Через вершину прямого кругового конуса проведено сечение максимальной площади. Известно, что площадь этого сечения в два раза больше площади осевого сечения. Найти угол при вершине осевого сечения конуса.

Сначала разберемся, какое сечение конуса имеет максимальную площадь. Пусть длина образующей конуса AB=BC=BD=BE=l, угол в осевом сечении  и угол в рассматриваемом сечении DBE  Очевидно, что Площадь сечения  Поведение этой функции представлено на рисунке. Из графика видно, что возможны два различных случая.

а) Осевое сечение конуса – остроугольный треугольник, т.е.  На промежутке  функция  возрастает и достигает наибольшего значения на левой границе промежутка, т.е. при  В этом случае максимальную площадь имеет осевое сечение конуса и она равна

б) Осевое сечение конуса – тупоугольный треугольник, т.е.
На промежутке  функция  сначала возрастает, при  достигает максимума и потом убывает. В этом случае максимальную площадь имеет сечение, у которого угол при вершине конуса прямой. Эта площадь равна  Именно такая ситуация описывается в условии задачи (см рисунок).

Тогда площадь осевого сечения ABC равна , площадь сечения максимальной площади DBE равна  Имеем уравнение:  или  откуда  Так как  то это уравнение имеет единственное решение