Sección de Bioclimatología, Centro de Ciencias de la Atmósfera, UNAM. Circuito interior s/n, Ciudad Universitaria, Deleg. Coyoacan, México, D. F. email: walter@atmosfera.unam.mx
INDICE
CRECIMIENTO POBLACIONAL “ESTOCÁSTICO”
CÁLCULO DE LA MEDIA Y VARIANZA POBLACIONAL
ESPERANZA MEDIA DE VIDA.
DISTRIBUCIONES ESPACIALES Y SUS FORMAS DE DERIVACIÓN
PATRONES DE DISTRIBUCION ESPACIAL
Distribución de Poisson.-
FUNCION GENERATRIZ DE PROBABILIDAD:
DISTRIBUCIONES GENERALIZADAS.
DISTRIBUCIONES COMPUESTAS
DISTRIBUCIONES CON CERO AGREGADOS.
DISTRIBUCIONES DE DISTANCIAS EN POBLACIONES ALEATORIAMENTE DISPERSAS.
DISTRIBUCIONES DE DISTANCIAS EN POBLACIONES ALEATORIAMENTE DISPERSAS.
FUNCIONES CARACTERÍSTICAS
SISTEMAS DINÁMICOS PLANOS
SISTEMAS DINÁMICOS POBLACIONALES PERTURBADOS POR PROCESOS ALEATORIOS (RUIDOS) DEL CLIMA
Bibliografía
CRECIMIENTO POBLACIONAL “ESTOCÁSTICO”
Si es el tamaño poblacional en el tiempo y es la tasa de incremento individual tendremos que la variación estará dada por
o (1)
con solución
(2)
Suponiendo que para el tiempo inicial tenemos una población inicial podemos calcular el valor de la constante de integración como;
Tendremos para (2)
o
(3)
Conocida como ecuación Malthusiana.
La verdad es que el crecimiento poblacional es “estocástico” donde uno solo puede decir que hay cierta probabilidad de que se dé un crecimiento en un intervalo de tiempo.
El proceso “estocástico de natalidad” puede ser expresado como: un cierto intervalo de tiempo corto donde la probabilidad de que se dé un proceso de nacimiento en una población de tamaño será .
La probabilidad de que la población sea de tamaño en el tiempo será (4)
Lo que implica que o bien la población anterior hera de tamaño con probabilidad en el tiempo , y ocurrió un nacimiento en ; o de que la población ya era de tamaño en el tiempo y no presento natalidad alguna en .
Así que:
(5)
Haciendo el intervalo de tiempo () cada vez más pequeños de tal manera que tienda a cero, tendremos:
Así que:
(6)
Como se trata de un proceso de natalidad pura, es decir que no ocurren muertes y consecuentemente el tamaño poblacional nunca será menor de su valor inicial, debemos tener que
De (6) tendremos:
(7)
(8)
Esta es la probabilidad de que durante el tiempo no ocurra algún proceso de natalidad. Resolviendo (6) para encontrar
Multiplicando ambos lados por así que el lado izquierdo puede ser integrado
(10)
Como , la constante ,
Así que: (11)
Sustituyendo en (6) y resolviendo para
Como ;
La “forma de la solución general” será:
(12)
Asumiendo que (12) es válido puede encontrarse por “inducción”
Como ;
(13)
Que es de la misma forma que la ecuación (12)
CÁLCULO DE LA MEDIA Y VARIANZA POBLACIONAL
Si escribimos el valor esperado de la población en el tiempo cómo :
Así que el tamaño poblacional esperado en el “caso estocástico” es igual al pronosticado por el “proceso deterministico”.
El tamaño de una población en una área dada será determinada por los procesos de emigración e inmigración, mortandad y reclutamiento.
Si es la probabilidad de que un animal sobreviva en el lapso de tiempo () y si inicialmente tenemos una población de No animales, debemos esperar que: elementos se encuentren con vida en el tiempo .
La proporción es llamada la razón de sobrevivencia sobre el periodo , y la razón de mortalidad es el periodo .
Si consideramos a la mortalidad como un proceso de Poisson, con parámetros , la probabilidad de que un animal muera en el intervalo de tiempo será: y la sobrevivencia (1)
(2)
Donde es la razón de mortalidad instantánea.
ESPERANZA MEDIA DE VIDA
Si es el tiempo en que un miembro de elementos muere, entonces:
y tendrá una función d densidad probabilística de valor
y la esperanza media de vida será.
(3
DISTRIBUCIONES ESPACIALES Y SUS FORMAS DE DERIVACIÓN
Un conocimiento de la forma de distribución espacial, generalmente nos permite una rápida y simple interpretación; por lo que es necesario encontrar métodos alternativos de especificar distribuciones que nos permitan aplicar o interpretar de forma más directa. Uno de estos métodos esta dado por el uso de momentos.
Uno de estos momentos, conocido como momentos sobre el “origen” es dado por el valor esperado de las potencias de las observaciones, que son conocidas como:
o en términos de la “función de distribución”
La primera de las cuales , es la media aritmética conocida como
Un segundo y más común grupo de momentos, son los llamados momentos sobre la media y es dado por lo esperado de las potencias de las desviaciones de las observaciones de su valor medio, las cuales pueden expresarse como.
El primero de estos momentos , es siempre cero. El segundo , esta dado por el promedio de la derivación al cuadrado sobre la media. Es útil como una medida de la dispersión de las observaciones conocida como varianza. Su raíz cuadrada es conocida como la desviación estándar.
Momentos de orden mayor ,, …a menudo son usados como indicadores de asimetría, aplanamiento de la curva y otras características de las distribuciones independientes de la escala, en común podemos definirlas como
El uso de estas expresiones nos permite que un grupo de momentos sea expresado en términos de otro.
La identidad; nos dice que la función generadora de la suma de dos variables independientes es el producto de sus funciones generadoras de momentos individual, lo que nos provee de las bases de un método para encontrar la distribución de la suma de dos variables independientes, cuando la distribución individual es conocida, la función generadora acumulativa se define como y se usa par sintetizar muchas de las características de las distribuciones.
La función es independiente del origen y del término en quien varía directamente con el origen. Para la función generadora de momento cerca del origen, el término desaparece y
Los coeficientes son los acumulativos de la distribución; con la propiedad especial de que
PATRONES DE DISTRIBUCION ESPACIAL
Distribución de Poisson.-
Si una población tiene una distribución aleatoria en el espacio, la probabilidad que una unidad de área contenga individuos será una distribución de Poisson dada por
Donde es el número medio de individuos por unidad de área.
Si tenemos un número grande de localidades, donde es ocupada por un individuo y la probabilidad de ser ocupada es la misma, luego la probabilidad que exactamente localidades sea ocupada esta dada por la distribución de probabilidad binomial.
Si es muy grande, es pequeña y la media de la distribución media
es de tamaño moderado y es despreciable en tamaño comparado con , entonces
“Cuando los organismos están esparcidos en relación con toda la colección de unidades que el área puede contener y, de que cada localidad tiene la misma probabilidad de ser ocupado, el numero de individuos por unidad de área será una distribución de Poisson.
La distribución de Poisson, raramente se ajusta a frecuencias observadas del número de individuos por unidad de área.
La función generadora de probabilidades de la distribución de Poisson es dada por:
con media
y varianza
Para la distribución de Poisson, la media y la varianza son iguales.
Es frecuente encontrar que la varianza exceda a la media. Cuando esto sucede el patrón de distribución se dice que es agregado y la distribución de frecuencias se describe como contagiosa.
FUNCIÓN GENERATRIZ DE PROBABILIDAD:
DISTRIBUCIONES GENERALIZADAS.
Si suponemos que grupos de asociaciones de individuos en lugar de individuos, constituyen las cantidades que tienen un patrón específico y que el número de individuos por grupo es una variable aleatoria con su propia distribución de probabilidades.
Supongamos un insecto depositando grupos de huevecillos, depositándolos de forma aleatoria en las ramas de un árbol. Si el número de huevos por rama tiene una distribución de Poisson, con función generatriz de probabilidad
Y supóngase que el número de larvas brotando de cada grupo es así también una distribución de Poisson con media de , la del número de larvas por grupo es .
El del numero de larvas por rama está dada por
será la de Poisson-Poisson o tipo A de Neyman.
De esta podemos obtener las distribuciones de la media, varianza y su término general de probabilidad por, la probabilidad de que una unidad de área contenga individuos.
Así la media: que obviamente excede la media.
Los coeficientes de en la expansión de da
Si los grupos de asociados están aleatoriamente dispersos y, que la función generatriz de probabilidades del número de asociaciones por unidad de área está dada por:
Si el número de larvas por grupos de asociación toma una distribución logarítmica con parámetro . Lo cual es equivalente a decir que , la probabilidad que una asociación contenga larvas, es proporcional a con .
Vemos que:
La función generatriz de probabilidades será:
Redefiniendo y como:
Si en lugar de y tomamos los parámetros
Como
Que es la de la distribución binominal negativa. Que contesta con el del binominal positivo en el que:
Para el binominal negativo, el índice es negativo y .
La media es
La varianza es .
A menudo es preferible tomar como parámetro la media de R, a mayor la varianza; pero si podemos ver que la distribución de Poisson, la media y la varianza son iguales. Así como .
La probabilidad de encontrar exactamente individuos en una unidad de área será el coeficiente en la expansión de .
Entonces el coeficiente de será
Donde:
Como la media es podemos también escribir.
Así, conforme se hace muy grande y se hace despreciable en comparación con ,
Hemos considerado distribuciones generalizadas de tipo Neyman A o Poisson-Poisson y la binomial negativa o Poisson-logarítmica. En estos dobles nombres, el primero denota la distribución del número de asociaciones por unidad de área. Y el segundo, la distribución del número de individuos por asociación.
Si consideramos que los individuos de una población tiene una dispersión aleatoria de asociados, el número de individuos por asociación pueden igualmente ser una variable de dispersión de Poisson o logarítmica.
DISTRIBUCIONES COMPUESTAS
Si los individuos son independientes uno de otro o no asociados y, si todas las unidades de áreas disponibles son idénticas sin patrón de distribución será aleatorio.
Si suponemos que algunas unidades son diferentes, es decir que algunas provean ambientes más favorables que otros, de tal forma que el número esperado de individuos en una unidad, varia de unidad a unidad de tal forma que el número esperado de individuos en la unidad de área, es una variable aleatoria; si consideramos que tiene una distribución Pearson-Lupo III. Una variable tipo III, puede tomar cualquier valor no-negativo y la curva ser uní-modal o de forma de J.
Entonces, podemos considerar que la función de densidad probabilística de será
luego:
Donde Que es la distribución binomial negativa.
-En general, podemos decir, que a cada distribución compuesta, corresponde una distribución generalizada y viceversa.
-A menudo se observa que dos o más distribuciones se ajustan al conjunto de datos observados; por lo que seria inútil de obtener una conclusión simplemente examinando la distribución, observada del número de individuos por unidad de área, de los mecanismos intrínsecos manifestados a través de un patrón particular de distribución observado.
-Se debe concluir que el ajuste de distribuciones de frecuencia teórica a los datos observados, nunca pueden por sí mismos “explicar” los patrones de distribución de una población natural.
DISTRIBUCIONES CON CERO AGREGADOS
Si las unidades de área muestreadas se pueden clasificar como aquellas que por razones desconocidas no son habitables, en que los individuos se dispersan de forma aleatoria; luego, se tendrá una varianza mayor que su media y la distribución será Poissoniana, con ceros agregados.
Si la proporción de unidades habitables es y las no habitables, luego.
,
Para esta distribución la media es y la varianza
Tiene sólo dos parámetros; la proporción de unidades habitables y el parámetro de Poisson de estas unidades; distribuciones con más parámetros pueden derivarse, postulando que las unidades habitables tienen distribuciones contagiosas.
DISTRIBUCIONES DE DISTANCIAS EN POBLACIONES ALEATORIAMENTE DISPERSAS
Deseamos encontrar la distribución de probabilidades de la distancia de un puerto aleatorio a su vecino cercano, dado que el patrón de distribución de la población es aleatorio.
La distribución anulativa por definición esta dada por:
Esto es la probabilidad de que un círculo de radio centrado sobre un punto, no esta vacío .
Donde el valor medio del parámetro de Poisson denota el número de individuos por radios r de valor unitario. El término será de probabilidad de que tome el valor de cero.
La función de frecuencia o “función de densidad probabilística” será:
La media será:
Usando la sustitución nos da
El segundo momento sobre el origen será:
Mientras que la varianza será:
Es más sencillo usar el cuadrado de la distancia, en lugar de la distancia misma.
Haciendo , la “función de distribución de la distancia cuadrada”, será:
Y la función de densidad probabilística” será:
La media y la varianza de se encuentra fácilmente con
y
Como la función de es
Si Ponemos , la función de distribución y la función de densidad probabilística de serán
Obteniendo la función generadora de momento de
Este es el de la distribución con dos grados de libertad.
Podemos obtener la de , la suma de valores independientes de , ya que es dada por
que es la de con grados de libertad.
Esta es la distribución de es decir , tiene
tiene una
Como tiene distribución con dos grados de libertad y como también para la distribución lo esperado es igual al número de grados de libertad, tenemos que
o
Así
Para obtener un estimador no sesgado, de la media de no observaciones de necesitamos hacer
La formula es un estimador de la densidad solamente cuando la población tenga un patrón de distribución aleatoria.
Una estimación de la densidad se tiene que obtener antes una prueba de aleatoriedad. Es imposible basar una estimación en medidas de distancia, sin embargo las medidas de distancia pueden ser usadas en combinación con estimaciones de densidad, para estimaciones en pruebas de aleatoriedad y en obtener medidas de no aleatoriedad que es independiente del tamaño del cuadrado.
FUNCIONES CARACTERÍSTICAS
Cada función generadora de momento o acumulativa, que pueda expandirse en la forma de una serie de potencias convergentes, corresponde a una distribución única. Así, existe una correspondencia única entre un grupo de momentos y sus correspondientes distribuciones. En casos excepcionales, la función generadora de momentos puede no existir o si existe, puede no dar lugar a series de potencias divergentes. Así por ejemplo la función generadora de momento para la distribución
Sin embargo, debido al hecho que el segundo y momentos mayores son infinitos, la integral no existe para valores reales de t.
Para resolver este problema, se le dan valores imaginarios a , completado con encontrar lo esperado de en lugar de , que da lugar a lo que se conoce como la “función característica”, definida por
Esta función tiene la ventaja de que siempre existe, aún y cuando una función generadora de momentos ordinaria falle en hacerlo.
La función característica para la distribución
será:
La función característica de es y es donde es la función característica de .
En general, en cualquier análisis, existe el problema de encontrar la función de distribución correspondiente a una función característica dada. Esto se hace utilizando el teorema de inversión.
que da lugar a la función de distribución correspondiente a cualquier función característica .
Cuando una función de frecuencia, , se sabe que existe, puede ser encontrada directamente de la diferencial de la siguiente formula:
Por ejemplo, la función de frecuencia correspondiente a esta dada por
; lo esperado
SISTEMAS DINÁMICOS PLANOS
El estudio de los sistemas dinámicos planos, tiene como objetivos la de encontrar las funciones , que dependan de un parámetro real y que satisfagan el siguiente sistema de ecuaciones.
(1)
Este sistema dinámico plano (1) expresado en coordenadas cartesianas ortogonales de la siguiente manera:
(2)
en forma reducida
los puntos críticos de (1) constituyen el núcleo de donde el conjunto de puntos críticos de (1) estará dado por:
(3)
El cual puede tener dimensión , lo cual nos da los espacios de solución o espacios de fases diferentes.
1.- si todos los puntos del sistema dinámico analizado son críticos y de que por lo tanto (1) será trivial, con:
(4)
2. si , el único punto critico del sistema en el origen como la matriz no es singular, debemos esperar que ninguno de sus valores valen cero. Si existe por lo menos, si existen bandos de por lo menos un eigenvector de y en otra, en la que no existe.
Considerando la ecuación característica de :
(5)
(6)
Donde conocido como la trapa de es su determinante de lo que el discriminante de (6) es
(7)
de lo que podemos decir que: si , tiene por lo menos un eigenvalor; pero si , por lo menos un eigenvector de si , el operador no tendrá eigenvectores.
Si , los eingenvectores de serán
(8)
Donde se tiene que:
(9)
Donde son las raíces características de la ecuación (5).
Las proyecciones (10)
Son singulares, ya que
Si cualquiera de las proyecciones toma el valor nulo de cero, tendríamos que: y la matriz en su forma diagonal.
Si suponemos que ni son ceros, tendremos que tanto como son subespecies de dimensión 1, del plano espacial ; esto quiere decir que tenemos rectas que pasan por el origen.
Los subespacios y son los ejes principales de donde la coincidencia de los ejes principales depende de los eigenvalores de .
Si , se tienen ejes principales no coincidentes:
(11)
Si y , el sistema de ecuaciones (1) toma la forma de:
(12)
Cuyas soluciones estarán dadas por
(13)
Donde el espacio de fase de (1) dependerá del signo de los eigenvalores del determinante es decir:
1.- Si ambos eigenvalores son de igual signo o tienden a infinito , cuando tiende a infinito o tienden a valores de cero , cuando a infinito, el origen se le llama NODO, siendo estable si , figuras ( ) y el espacio de fases para el nodo inestable se obtiene invirtiendo el surtido de las trayectorias.
2.- Si los eigenvalores de la matriz tienen signos distintos, es porque una de las variables tiende a cero y la otra tiende a infinito, cuando tienda a infinito; caso conocido en que el origen se le llama “Punto de silla”, figura ( ).
Para obtener el espacio de fase, donde basta invertir el sentido de las trayectorias.
3.- cuando los eigenvalores de son iguales (14)
Con (15)
Se obtiene un sólo eje principal dado por ; La matriz en su forma de Jordan,r54 no es diagonal, o sea y para este eje se tiene:
(16)
Si es el eje ortogonal a .
Existen y diferentes de cero a ser determinados, tales que y tengan el mismo signo de modo que se tenga
(17)
En este sistema de ejes , las soluciones de (1) se obtienen por integración directa de (16) y (17), resultando
si
si (18)
Para , las trayectorias de la ecuación (1) se aproximan al origen, con el tiempo tendiendo al infinito, siendo tangentes en el origen al eje , como podemos ver en la figura (c).
Para , las soluciones de la ecuación (1) se obtienen invirtiendo el señalado del espacio de soluciones de la figura (c), tomando el origen el nombre del “nodo degenerando” estable o inestable, según la dirección de las trayectorias.
Si , situación donde y se obtiene además que:
(19)
y entonces (20)
por lo tanto estará en forma diagonal con: ; (21)
El sistema (1) se reducirá a:
; (22)
Cuyas soluciones serán:
= (23)
El espacio de fases del sistema (22), se ve en la figura para el eigenvalor negativo. Para positivo, se obtienen del anterior invirtiendo el señalado de las trayectorias, por lo que el origen se le conoce como “nodo singular”, estable o inestable, según el signo del eigenvalor . Cuando el discriminante de la ecuación (6) de es negativo, no tiene eigenvectores ni eigenvalores, y se puede probar que la matriz equivale a la siguiente:
(24)
Donde, es la traza de y es el discriminante de la ecuación característica de .
La matriz define un nuevo sistema de ejes coordinados , donde el sistema (1) se transforma en:
(25)
En coordenadas polares
; (26)
se reduce a: ; (27)
Con soluciones ; (28)
Estas soluciones dependen de si es nulo o no lo es.
Cuando ; la coordenada es constante y las soluciones (28) son círculos concéntricos, con centro en el origen y radio ; el sentido de estos círculos depende del signo que se le dio .
Si ; crece con , tiende a cero con , cuando tiende a infinito. Las soluciones son espirales cuyo sentido determina el signo de . En este caso el origen es un foco, estable para e inestable para .
SISTEMAS DINÁMICOS POBLACIONALES PERTURBADOS POR PROCESOS ALEATORIOS (RUIDOS) DEL CLIMA
El crecimiento de muchas poblaciones, incluyendo los insectos, es fuertemente influenciado por el clima. Podemos decir que no podemos pronosticar el crecimiento poblacional de tales especies sin un conocimiento previo del clima que le oferta a estas poblaciones.
Simbólicamente podemos escribir:
(1)
Donde es la población, su crecimiento y es una función del tiempo que representa el efecto climático.
Si el número poblacional es observado en diferentes tiempos o diferentes lugares, entonces será una función diferente en cada caso. Como no puede predecirse, podemos utilizar datos climáticos para pronosticar ciertas estadísticas del clima de datos del pasado, donde puede ser considerado, un proceso aleatorio cuyos momentos estadísticos pueden ser conocidos, y donde podemos describir la distribución de en términos de los momentos de.
Utilizando un procedimiento o técnica de perturbaciones, donde consideramos a con pequeñas partes aleatorias.
(2)
Donde es el valor medio, no aleatorio, y es aleatorio con media de cero.
Es decir, consideremos que es pequeña y de que su distribución depende solamente de . Considerando valores esperados.
(3)
(4)
(5)
Donde es pequeño y hay que especificarlo.
Si consideramos que es un proceso Markoviano: es decir que para cualquier valor de , su distribución para se considera independiente de la historia previa de la población y de (los valores de y para .
Expandiendo (1) en series de Taylor sobre , tenemos:
Haciendo
(7)
y (8)
y la varianza de será
(9)
Donde su lado derecho debe ser proporcional a . Si definimos una nueva variable.
(10)
Entonces: (11)
y en lugar de (5), necesitamos que:
(12)
puede ser un proceso Gaussiano y (9) se transformara en
(13)
Si hacemos que o sea aleatoria, la ecuación se hace más complicada.
Si hacemos que: (16)
Luego: (17)
(18)
Haciendo
Así al variar , (15) es reemplazada por la ecuación de difusión.
(20)
Podemos también hacer variar a en lugar de .
Si , entonces
(21)
Si hacemos que: (22)
Donde el último término representa el componente aleatorio, luego:
(23)
Con un proceso de reescalamiento en el tiempo podemos escribir:
y la ecuación logística se convierte en:
Ahora si hacemos varias de tal forma que
Entonces: (24)
(25)
(26)
La densidad de la población para la población satisface la ecuación de difusión de focker-Planck.
(27)
Si , luego cuando el flujo es cero, tendremos
o
Así
28
o
29
Esta solución puede ser singular en y para valores pequeños de , de (29) tendremos que:
(30)
Así es integrable solo si y cerca de ,
y valores pequeños de , toma una distribución casi Gaussiana.
Para valores grandes de , el máximo se da en ; cuando es más grande y es no integrable; se puede decir que la extinción es ineludible o incuestionable. Considerando el caso multidimensional, donde es un vector representado en especies:
Para el caso deterministico; consideramos la forma especial
(31) de un campo gradiante
Una versión estocástica de la anterior, será, (32)
Donde: (33)
(34)
Las variables no están correlacionadas y entonces:
(35)
(36)
La ecuación de difusión para la densidad de la población será
(37)
Cuando ; toma la solución especial
(38)
La forma especial de la ecuación (37) de la ecuación de difusión se ha escogido debido a que tiene una solución simple, su máximo de densidad, se encuentra cerca de su máximo relativo de .
De la ecuación determinística
(39)
Despreciando efectos aleatorios, el máximo relativo es un equilibrio estable. Este comportamiento es reflejado en la solución estocástica de (38).
A menores valores de , más puntiagudos los valores máximos y mayor la diferencia entre los valores máximos; pero para valores grandes de , se ve lo contrario y la posibilidad de moverse de un pico máximo a otro aumenta. Esta es una diferencia importante entre los modelos estocásticos y determinísticos.
Los resultados de la sección previa, pueden derivarse para un sistema general, que no es necesariamente del tipo gradiente, con la aplicación de la teoría de Hamilton-Jacobi que fue desarrollado para problemas de propagación de Ondas, donde se desea resolver ecuaciones de la forma.
(40)
donde tratamos con una solución de la forma
luego:
(42)
Ignorando los términos residuales, (40) y (42) implican ecuaciones diferenciales parciales de primer orden para .
(43)
Que nos lleva naturalmente a definir el Hamiltoniano.
(44)
El Hamiltoniano se conserva a lo largo de las trayectorias ya que:
(45)
Se escogen valores iniciales de y para asegurar que a lo largo de las trayectorias. La función se define sobre la trayectoria como:
(46)
Que implica que:
Considerando el caso especial donde se reduce a un punto . Si , para todos los valores de entonces las son arbitrarias en , excepto en donde satisface que
Bibliografía
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