Pertemuan 10
Bilangan Pecahan
Ditulis oleh Ikhsan, M.Pd.
Ditulis pada tanggal 4 November 2020
Dipublikasikan pada tanggal 7 Desember 2020
Ilustrasi Bilangan Pecahan
Terkadang dalam kehidupan sehari-hari kita tidak cukup dengan kehadiran bilangan bulat. Hal ini terjadi pula Seperti pada kehidupan bang Yafi. Pesta hajatan besar-besaran yang digelar membutuhkan potongan-potongan kue. Di rumah itu para bapak dan ibu ramai dan meriah memotong banyak kue.
Satu kue dipotong menjadi empat bagian dengan ukuran yang sama. Setiap bagian dimasukkan ke setiap kresek putih. Para undangan yang hadir pun puas menikmati sajian seperempat bagian kue dan beberapa aneka jajan cita rasa. Wuih, menarik sekali....!!!
Notasi Bilangan Pecahan
Perhatikan pernyataan di atas. Satu kue dipotong menjadi menjadi empat bagian.
Kita bisa menuliskan satu bagiannya sebagai berikut ¼.
Bilangan ¼ itu merupakan bilangan pecahan.
Bilangan pecahan pada pernyataan di atas tersebut untuk menyatakan bagian dari keseluruhan. Secara umum dapat dilambangkan a/b atau 
.
Jika a dan b adalah bilangan asli, tentu saja b ≠ 0, maka bilangan pecahan merepresentasikan a bagian dari b bagian ekuivalen. Bagian ekuivalen yang dimaksud adalah bagian yang sama sesuai dengan keseluruhan obyek.
Pada bilangan pecahan , a disebut pembilang, b disebut penyebut.
dibaca a per b.
Geometri Datar untuk Bilangan Pecahan
Geometri datar sering disebut bangun datar.
Bangun datar untuk mengilustrasikan bilangan pecahan lebih mudah untuk dipahami.
Berikut contoh bangun datar yang mengilustraikan bilangan pecahan.
Sekilas Asal-usul Bilangan Pecahan
Bilangan pecahan pertama kali ditemukan oleh rakyat Mesir Kuno. Bilangan pecahan yang ditemukan oleh rakyat Mesir Kuno berbeda dengan bilangan pecahan yang digunakan oleh manusia pada zaman sekarang. Bilangan pecahan Mesir Kuno (Ancient Egyptian Fraction) adalah penjumlahan dari beberapa bilangan pecahan yang berbeda-beda di mana setiap bilangan pecahan tersebut memiliki pembilang 1 dan penyebut berupa bilangan asli yang berbeda satu sama lain (yang disebut sebagai pecahan satuan atau unit fraction). Penjumlahan tersebut menghasilkan suatu bilangan pecahan , di mana 0 < < 1. Penjumlahan bilangan pecahan semacam ini berperan penting dalam matematika Mesir Kuno karena notasi (simbol atau lambang) dalam matematika Mesir Kuno hanya mengenal bilangan pecahan yang memiliki pembilang 1 dengan pengecualian 
.
Contoh:
Untuk menyatakan bilangan pecahan 
rakyat Mesir Kuno cukuplah menuliskan 
+ 
.
Untuk menyatakan pecahan 
rakyat Mesir Kuno cukuplah menuliskan 
+ 
Pecahan Senilai
(Pecahan Ekivalen)
Misalkan a, b, c dan d adalah bilangan asli.
Bilangan pecahan dikatakan ekuivalen (senilai) dengan 
jika a × d = c × b.
Perhatikan bangun datar berikut untuk mengilustrasikan bilangan pecahan senilai
Contoh
Apakah 
ekivalen dengan 
?
Penyelesaian
Untuk menjawab hal ini ikutilah pernyataan berikut
dikatakan ekuivalen (senilai) dengan jika a × d = c × b.
Diperiksa apakah 3 x 8 = 6 x 5?
3 x 8 = 24
6 x 5 = 30
Ternyata 3 x 8 ≠ 6 x 5, berarti tidak ekivalen dengan
Kita dapat menuliskan bilangan pecahan yang senilai dengan bilangan pecahan dengan cara mengali pembilang dan penyebut dengan bilangan asli yang sama, dinyatakan senilai dengan 
. Dengan kata lain, = .
Contoh
= 
= 
.
Dengan kata lain, senilai dengan .
= 
= 
.
Dengan kata lain, senilai dengan ..
Di samping itu, kita dapat menuliskan bilangan pecahan yang senilai dengan bilangan pecahan dengan cara membagi pembilang dan penyebut oleh bilangan asli yang sama, dinyatakan senilai dengan 
. Dengan kata lain, = 
.
Contoh
= 
= 
.
Dengan kata lain, senilai dengan .
= 
= 
.
Dengan kata lain, senilai dengan .
Membandingkan Dua Bilangan Pecahan
Untuk membandingkan dua pecahan kita dapat menggunakan tiga cara berikut yaitu
1. Cara perkalian silang dalam pecahan
2. Cara KPK penyebut pecahan.
3. Cara mempola
Masing-masing cara tersebut dapat dijelaskan melalui contoh berikut.
1. Cara perkalian silang dalam pecahan
Tentukan bilangan yang lebih besar antara dan !
Penyelesaian
Menuliskan kedua pecahan tersebut secara berturut-turut sebagai berikut
Menyamakan kedua penyebut pecahan tersebut sebagai berikut
Membandingkan pembilangnya untuk mengetahui pembilang yang terbesar sebagai berikut
Pembilang 9 > 8 dan penyebutnya kedua bilangan sudah sama berart i > .
Karena masing-masing bilangan pecahan secara berturut-turut dan senilai dengan dan , dan sudah didapatkan > 
maka >
Sebenarnya cara tersebut cukup diringkas dengan menuliskan pembilangnya saja yaitu 3x3 > 2x4.
2. Cara KPK penyebut pecahan.
Tentukan bilangan yang lebih besar antara dan !
Penyelesaian
Menuliskan kedua pecahan tersebut secara berturut-turut sebagai berikut
Penyebut masing-masing bilangan pecahan tersebut adalah 4 dan 3. Kedua penyebut tersebut mempunyai KPK yaitu 12, sehingga bilangan pecahan tersebut secara berturut-turut dapat ditulis
.
Karena bilangan pecahan tersebut secara berturut-turut senilai dengan , dan sudah didapatkan > , maka dapat dituliskan > .
3. Cara mempola
Contoh
Bilangan manakah yang lebih besar antara 
dan 
?
Penyelesaian
Menuliskan pola dasarnya dan
Menyamakan penyebut pada pola dasarnya = 
= 
<
Menuliskan pola kedua dan 
Menyamakan penyebut pada pola kedua
= 
= 
= 
= 
<
Karena < senilai dengan pecahan masing-masing berturut-turut < .
Menuliskan pola ketiga dan 
Menyamakan penyebut pada pola ketiga
= 
= 
= 
= 
<
Karena < secara berturut-turut masing-masing senilai dengan <
Langkah tersebut dapat diulangi untuk pola dasar keempat, kelima, keenam, dan seterusnya.
Dengan mengamati keseluruhan pola bilangan pecahan tersebut, kita dapat menyusun kesimpulan bahwa < .
Operasi Bilangan Pecahan
Penjumlahan Bilangan Pecahan
+ = 
= 
= 3.
+ 
= 
+ 
= 
+ 
= 
= 
.
+ + 
= ?
+ + = 
+ ) + = + = 
+ 
=
+ 
=
= 
Pengurangan Bilangan Pecahan
- = 
= 
- = - = - = 
= 
- - = ( - ) - = - = 
- = 
- = 
.
Perkalian Bilangan Pecahan
x = 
x = 
= 
x x 
= ( x ) x = x = 
x
= 
= 
= 
Pembagian Bilangan Pecahan
: = x 
= 
: = x 
= 
=
: : = ( : ) : = : = x 
= 
= 
= 
.
Operasi Campuran
4 + = 4
1 + = 1
4 - = ?
4 - = 
- = 
- = 
- = 
= 
= 3
4 x = x = 
= = 1 .
4 : = : = x 
= 
= 
= 12
+ x = + 
= + 
= 
+ 
= 
+ 
= 
= 
= 
Soal Cerita
Pesta panen raya sedang berlangsung. Yoram mengikuti pesta panen raya tersebut. Dengan menghadiri pesta panen raya tersebut Ia mendapatkan sebuah apel besar. Hasrat ingin berbagi tak terbendung lagi, Yoram pun memberikan ¼ bagian apel kepada Tovi. Kemudian memberikan bagian apel kepada Tevah.
Berapa bagian yang masih dimiliki oleh Yoram setelah diberikan kepada kedua temannya tersebut?
Penyelesaian
Sisa apel yang masih dimiliki Yoram sama dengan 1 apel utuh dikurangi ¼ dikurangi .
Dapat ditulis
Sisa apel = 1 - ¼ - = (1 - ¼ ) -
= (
- ) - = (
- ) - = (
- ) -
= 
- = - = 
- 
= 
- 
= 
= 
Jadi, sisa apel yang masih dimiliki Yoram adalah bagian.
Sifat-sifat pada Operasi Bilangan Pecahan
1. Komutatif
Sifat komutatif berlaku pada penjumlahan dan perkalian.
a + b = b + a
½ + ¼ = ¼ + ½
a x b = b x a
½ x ¼ = ¼ x ½
Sifat komutatif tidak berlaku pada pengurangan dan pembagian.
b. Asosiatif
Sifat asosiatif berlaku pada penjumlahan dan perkalian.
a + (b + c) = (a + b) + c
½ + (¼ + ¾) = (¼ + ½ )+ ¾
a x (b x c) = (a x b) x c
½ x (¼ x ¾) = (½ x ¼) x ¾
Sifat asosiatif tidak berlaku pada pengurangan dan pembagian.
c. Distributif
Sifat distributif dibedakan menjadi dua macam yaitu
distributif perkalian terhadap penjumlahan dan distributif perkalian terhadap pengurangan.
1. Distributif Perkalian terhadap Penjumlahan
a(b+c) = a x b + a x c
½ (¼ + ¾)= ½ x ¼ + ½ x ¾
2. Distributif Perkalian terhadap Pengurangan
a(b - c) = a x b - a x c
½ (¾ - ¼)= ½ x ¾ - ½ x ¼
Macam-macam istilah yang berkaitan dengan bilangan pecahan
1. Pecahan sejati
Pecahan sejati adalah pecahan yang pembilangnya kurang dari penyebut dan FPB dari pembilang dan penyebutnya adalah 1.
Contoh bilangan pecahan sejati adalah 1/2 , 2/5, 4/7, dan lain-lain.
Adapun bilangan 2/4 bukan bilangan pecahan sejati karena FPB dari pembilang dan penyebutnya adalah 2.
Bilangan pecahan dengan penyebut 100 disebut persen.
Contoh bilangan persen adalah 6/100 = 6% (dibaca enam persen)
Bilangan pecahan dengan penyebut 1000 disebut permil. Contoh bilangan permil adalah 4/1000 = 4‰ (dibaca empat permil)
2. Pecahan tidak sejati :
Pecahan tidak sejati adalah pecahan yang pembilangnya lebih dari penyebut. Contoh bilangan pecahan tidak sejati adalah 6/5, 5/2, 4/3, dan lain-lain.
3. Bilangan campuran
Bilangan campuran adalah bilangan ynng tersusun oleh campuran bilangan bulat dengan bilangan pecahan. Contoh bilangan campuran adalah 2, 7, dan lain-lain.
Bilangan campuran bisa diubah menjadi bilangan pecahan dengan cara sebagai berikut
2 = 
= 
=
7, = 
= 
= 
4. Bilangan desimal
Sistem bilangan desimal bilangan tersusun dari angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9.
Bilangan yang termasuk bilangan desimal adalah 0,5 dan 1,25.
Adapun 3 juga bilangan desimal.
Demikian pula bilangan bulat juga merupakan bilangan desimal.
Perhatikan bilangan desimal 1,25. Angka 1 memiliki nilai 1 x 1 = 1. Angka 2 memiliki nilai 2 x 
= 
.
Angka 5 memiliki nilai 5 x 
= 
Ilustrasi Operasi dengan Geometri Datar (Bangun Datar)
a. Bangun Datar untuk Penjumlahan Bilangan Pecahan
Contoh
Tentukan hasil dari + !
Penyelesaian
+ dapat diilustrasikan menggunakan pita pecahan berikut
Perhatikan bahwa 1 pita utuh (keseluruhan) pada pita pecahan di atas tersusun dari 3 bagian yang sama (sepertigaan).
Dari gambar tersebut + = 1.
Jadi, + = 
= 1
bermakna 3 bagian dari 3 bagian yang sama dan ini berarti 1 pita utuh.
Contoh
Tentukan hasil dari + !
Penyelesaian
Penjumlahan + dapat diilustrasikan menggunakan pita pecahan berikut
Dari gambar tersebut + = 1
Jadi, + = 
= 1
Perhatikan bahwa 1 pita utuh (keseluruhan) pada pita pecahan ini tersusun dari 5 bagian yang sama (seperlimaan).
1 bermakna 1 pita utuh dan 1 bagian dari 5 bagian yang sama dari 1 pita utuh.
bermakna 6 bagian dari 2 pita utuh (keseluruhan)
Contoh
Tentukan hasil dari + !
Penyelesaian
Penjumlahan + dapat diilustrasikan menggunakan pita pecahan berikut
Namun, + tidak dapat langsung dijumlahkan karena kedua bilangan pecahan tersebut memiliki bagian keseluruhan yang berbeda.
Untuk menjumlahkan kedua pecahan tersebut kita harus mengubah menjadi bilangan pecahan ekuivalen yang penyebutnya sama. Dalam hal ini + dapat ditulis
+ 
, karena ekuivalen (senilai) dengan dan ekuivalen (senilai) dengan .
Selanjutnya, perhatikan ilustrasi menggunakan pita pecahan berikut.
Dari gambar tersebut + = 
= 
.
Jadi , + = + = = .
Perhatikan bahwa 1 objek pita utuh (keseluruhan) pada pita pecahan ini tersusun dari 10 bagian yang sama (sepersepuluhan).
bermakna 9 bagian yang sama dari 1 objek pita utuh (10 bagian yang sama).
b. Bangun Datar untuk Pengurangan Bilangan Pecahan
Contoh
Tentukan hasil dari - !
Penjumlahan - dapat diilustrasikan menggunakan pita pecahan berikut
Namun, - tidak dapat langsung dikurangkan karena kedua bilangan pecahan tersebut memiliki penyebut (bagian keseluruhan) yang berbeda.
kita harus menyamakan penyebutnya
terlebih dahulu
Selanjutnya, - dapat ditulis - karena ekuivalen dengan , sedangkan ekuivalen dengan .
Perhatikan ilustrasi menggunakan pita pecahan berikut.
Dari gambar tersebut - = .
Jadi, - = - = .