1. (1,5 điểm). Cho hàm số  có đồ thị  và đường thẳng  có đồ thị .

1. Vẽ đồ thị  và  trên cùng hệ trục tọa độ .
2. Tìm tọa độ giao điểm của  và  bằng phép toán.

2. (1 điểm). Cho phương trình  có  nghiệm là . Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức
3. (0,75 điểm). Một công ty  chuyên cung cấp dịch vụ Internet với mức phí ban đầu lắp đặt là  đồng. Sau  tháng sử dụng thì cước phí phải trả là  đồng. Cước phí  (đồng) là số tiền mà người sử dụng Internet cần trả hàng tháng và phụ thuộc vào thời gian sử dụng  tháng. Công thức biểu thị mối liên hệ giữa hai đại lượng này là một hàm số bậc nhất  được minh họa bởi hình vẽ bên.

1. Xác định các hệ số  và
2. Anh Hùng sử dụng Internet của công ty  trên thì sau nửa năm anh phải trả cước phí là bao nhiêu?

4. (1 điểm). Trong đợt lũ lụt miền Trung vừa qua đã gây thiệt hại rất lớn cho các tỉnh miền Trung, một nhóm gồm  bạn lớp  tham gia hoạt động thiện nguyện để góp phần ủng hộ cho một số gia đình có hoàn cảnh khó khăn. Ngoài trích từ tiền quỹ của nhóm là  đồng, mỗi bạn tham gia thống nhất sẽ đóng góp  đồng. Biết các con mình làm việc tốt, một số phụ huynh rất đồng tình ủng hộ nên đã hỗ trợ thêm các bạn tổng số tiền là  đồng. Các bạn dự kiến vào siêu thị mua mỗi phần quà gồm: một hộp bánh giá , hai chai nước ngọt giá , hai gói kẹo giá , một túi gạo giá , một hộp socola giá  và một túi rau câu giá .

1. Biết siêu thị đang có chương trình giảm giá  cho các mặt hàng bánh, nước ngọt,
   kẹo và rau câu; giảm giá  cho các mặt hàng gạo và socola. Em hãy tính xem các bạn có thể mua được bao nhiêu phần quà?
2. Nếu muốn mua đủ  phần quà thì các bạn cần thêm ít nhất bao nhiêu tiền?

5. (0,75 điểm). Sau thời gian dịch bệnh kéo dài để chuẩn bị cho kỳ thi học kỳ  môn toán
   lớp  vào ngày  thầy giáo có giao một số bài tập toán để lớp tự ôn tập ở nhà. Sau khi nhận bài tập xong bạn Lan lên kế hoạch cho việc ôn tập của mình như sau. Bắt đầu từ thứ  ngày  đến hết tháng  cứ những ngày chẵn sẽ làm  bài tập còn những ngày lẻ thì làm  bài tập. Số bài còn lại là  bài Lan sẽ làm vào tháng  và sẽ hoàn thành trước ngày thi”.

1. Hỏi thầy giáo đã giao bao nhiêu bài tập toán cho Lan? biết tháng  có  ngày
   và tháng  có  ngày.
2. Ngày thi cuối kỳ  là vào thứ mấy ? Tại sao?

6. (1 điểm). Để ước lượng khối lượng của cây gỗ trồng trong rừng người ta cần xác định
   chiều cao  của cây (mét) và chu vi  của vòng tròn thân cây ngang tầm ngực (mét). Theo cách đo đạc trong lâm nghiệp, độ cao ngang tầm ngực là  mét tính từ mặt đất. Từ đó người ta có thể quấn thước dây vòng quanh thân cây ở độ cao này và ghi lại số đo chu vi

1. Nếu một cây có chu vi  của vòng tròn thân cây ngang tầm ngực là  mét và chiều cao là  mét thì cây có thể tích bao nhiêu (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)?
   Biết công thức thể tích hình trụ  trong đó  là diện tích vòng tròn thân cây có chu vi  nói trên và  là chiều cao của cây.
2. Biết khối lượng được tính theo công thức  (tấn). Cho biết loại cây nói trên có khối lượng riêng là  tấn/. Hỏi thân cây trên nặng bao nhiêu  ( kết quả làm tròn đến hàng trăm).

7. (1 điểm). Khi mới nhận lớp  , cô giáo chủ nhiệm dự định chia lớp thành  tổ có số học
   sinh như nhau. Nhưng sau khi khai giảng xong lớp nhận thêm  học sinh nữa. Do đó, cô giáo chủ nhiệm đã chia đều số học sinh của lớp thành  tổ. Hỏi lớp  hiện có bao nhiêu học sinh, biết rằng so với phương án dự định ban đầu, số học sinh của mỗi tổ hiện nay có ít hơn  học sinh?
8. (3 điểm). Cho  nhọn,  nội tiếp . Kẻ ba đường cao  cắt nhau tại , kéo dài  cắt tại .

1. Chứng minh: Tứ giác   nội tiếp và .
2. Tia  cắt  tại ,  cắt  tại , kẻ  tại . Chứng minh:  và tứ giác  nội tiếp.
3. Qua điểm   kẻ tiếp tuyến   của ,   và  cắt  lần lượt tại   và . Chứng minh: .

----HẾT---

HƯỚNG DẪN GIẢI

1. (1,5 điểm). Cho hàm số  có đồ thị  và đường thẳng  có đồ thị .

1. Vẽ đồ thị  và  trên cùng hệ trục tọa độ .
2. Tìm tọa độ giao điểm của  và  bằng phép toán.

Lời giải

a) Bảng giá trị:

Đồ thị:

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của  và  

Với  

Với  

Vậy toạ độ giao điểm của  và  là  và  

2. (1 điểm). Cho phương trình  có  nghiệm là . Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức

Lời giải

Theo định lí Vi-et ta có:  

3. (0,75 điểm). Một công ty  chuyên cung cấp dịch vụ Internet với mức phí ban đầu lắp đặt là  đồng. Sau  tháng sử dụng thì cước phí phải trả là  đồng. Cước phí  (đồng) là số tiền mà người sử dụng Internet cần trả hàng tháng và phụ thuộc vào thời gian sử dụng  tháng. Công thức biểu thị mối liên hệ giữa hai đại lượng này là một hàm số bậc nhất  được minh họa bởi hình vẽ bên.

1. Xác định các hệ số  và
2. Anh Hùng sử dụng Internet của công ty  trên thì sau nửa năm anh phải trả cước phí là bao nhiêu?

Lời giải

1. Dựa vào đồ thị ta có:

 tương ứng  đồng

 tương ứng  đồng

Thay vào hàm số  ta được hệ phương trình sau:

2. Vì anh Hùng đã sử dụng nửa năm nên , thay vào công thức trên ta được:

Vậy sau nửa năm anh Hùng trả số tiền là  đồng

4. (1 điểm). Trong đợt lũ lụt miền Trung vừa qua đã gây thiệt hại rất lớn cho các tỉnh miền Trung, một nhóm gồm  bạn lớp  tham gia hoạt động thiện nguyện để góp phần ủng hộ cho một số gia đình có hoàn cảnh khó khăn. Ngoài trích từ tiền quỹ của nhóm là  đồng, mỗi bạn tham gia thống nhất sẽ đóng góp  đồng. Biết các con mình làm việc tốt, một số phụ huynh rất đồng tình ủng hộ nên đã hỗ trợ thêm các bạn tổng số tiền là  đồng. Các bạn dự kiến vào siêu thị mua mỗi phần quà gồm: một hộp bánh giá , hai chai nước ngọt giá , hai gói kẹo giá , một túi gạo giá , một hộp socola giá  và một túi rau câu giá .

1. Biết siêu thị đang có chương trình giảm giá  cho các mặt hàng bánh, nước ngọt,
   kẹo và rau câu; giảm giá  cho các mặt hàng gạo và socola. Em hãy tính xem các bạn có thể mua được bao nhiêu phần quà?
2. Nếu muốn mua đủ  phần quà thì các bạn cần thêm ít nhất bao nhiêu tiền?

Lời giải

1. Số tiền mà nhóm bạn có được là:

 đồng

Giá tiền một phần quà là:

Số phần quà có thể mua được là:

 (phần quà)

2. Số tiền mua  phần quà là:  đồng

Vậy các bạn cần thêm ít nhất số tiền là:  đồng

5. (0,75 điểm). Sau thời gian dịch bệnh kéo dài để chuẩn bị cho kỳ thi học kỳ  môn toán
   lớp  vào ngày  thầy giáo có giao một số bài tập toán để lớp tự ôn tập ở nhà. Sau khi nhận bài tập xong bạn Lan lên kế hoạch cho việc ôn tập của mình như sau. Bắt đầu từ thứ  ngày  đến hết tháng  cứ những ngày chẵn sẽ làm  bài tập còn những ngày lẻ thì làm  bài tập. Số bài còn lại là  bài Lan sẽ làm vào tháng  và sẽ hoàn thành trước ngày thi”.

1. Hỏi thầy giáo đã giao bao nhiêu bài tập toán cho Lan? biết tháng  có  ngày
   và tháng  có  ngày.
2. Ngày thi cuối kỳ  là vào thứ mấy ? Tại sao?

Lời giải

1. Từ  đến  có  ngày chẵn và  ngày lẻ (tổng là  ngày)

Từ  đến  có  ngày chẵn và  ngày lẻ (tổng là   ngày)

Số bài tập thầy giáo đã giao cho Lan là:  bài

2. Từ  đến  có tổng cộng:  ngày

Ta có  (dư )

Vì ngày  là thứ sáu nên ngày  là thứ ba.

Vậy Lan thi cuối kì   vào thứ ba.

6. (1 điểm). Để ước lượng khối lượng của cây gỗ trồng trong rừng người ta cần xác định
   chiều cao  của cây (mét) và chu vi  của vòng tròn thân cây ngang tầm ngực (mét). Theo cách đo đạc trong lâm nghiệp, độ cao ngang tầm ngực là  mét tính từ mặt đất. Từ đó người ta có thể quấn thước dây vòng quanh thân cây ở độ cao này và ghi lại số đo chu vi

1. Nếu một cây có chu vi  của vòng tròn thân cây ngang tầm ngực là  mét và chiều cao là  mét thì cây có thể tích bao nhiêu (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)?
   Biết công thức thể tích hình trụ  trong đó  là diện tích vòng tròn thân cây có chu vi  nói trên và  là chiều cao của cây.
2. Biết khối lượng được tính theo công thức  (tấn). Cho biết loại cây nói trên có khối lượng riêng là  tấn/. Hỏi thân cây trên nặng bao nhiêu kg ( kết quả làm tròn đến hàng trăm).

Lời giải

3. Ta có chu vi   

Thể tích của cái cây là:  

4. Khối lượng của thân cây trên là:  tấn  .

7. (1 điểm). Khi mới nhận lớp  , cô giáo chủ nhiệm dự định chia lớp thành  tổ có số học
   sinh như nhau. Nhưng sau khi khai giảng xong lớp nhận thêm  học sinh nữa. Do đó, cô giáo chủ nhiệm đã chia đều số học sinh của lớp thành  tổ. Hỏi lớp  hiện có bao nhiêu học sinh, biết rằng so với phương án dự định ban đầu, số học sinh của mỗi tổ hiện nay có ít hơn  học sinh?

Lời giải

Gọi  là số học sinh đầu năm của lớp 9A  

Số học sinh mỗi tổ đầu năm là  

Số học sinh sau khi khai giảng là:  

Số học sinh mỗi tổ sau khai giảng là:  

Vì số học sinh của mỗi tổ hiện nay có ít hơn  học sinh so với ban đầu nên ta có phương trình:  

 (nhận)

Vậy hiện tại số học sinh lớp  là  học sinh.

8. (3 điểm). Cho  nhọn,  nội tiếp . Kẻ ba đường cao  cắt nhau tại , kéo dài  cắt tại .

1. Chứng minh: Tứ giác   nội tiếp và .
2. Tia  cắt  tại ,  cắt  tại , kẻ  tại . Chứng minh:  và tứ giác  nội tiếp.
3. Qua điểm   kẻ tiếp tuyến   của ,   và  cắt  lần lượt tại   và . Chứng minh: .

Lời giải

5. Chứng minh: Tứ giác  nội tiếp và .

Xét tứ giác  ta có:

+  

+ Cùng nhìn cạnh

 Tứ giác  nội tiếp đường tròn đường kính .

Ta có  (  góc nội tiếp cùng chắn )                 

Ta có  vuông tại   phụ  

Ta có  vuông tại   phụ

Từ  và  suy ra

6. Tia  cắt  tại ,  cắt  tại , kẻ  tại . Chứng minh:  và tứ giác  nội tiếp.

Ta có  ( góc nội tiếp cùng chắn )

Mà tứ giác  nội tiếp  (cùng nhìn )

Xét  và  

+  chung

+  (cmt)

Xét  vuông tại có  là đường cao

 (hệ thức lượng)                                 

Từ  và  suy ra  

Xét  và  

+  chung

+  (vì )

 ( góc tương ứng)

 nội tiếp (góc ngoài bằng góc đối trong)

7. Qua điểm   kẻ tiếp tuyến   của ,   và  cắt  lần lượt tại   và . Chứng minh: .

Ta có  (góc ngoài bằng góc đối trong)

 ( góc nội tiếp cùng chắn )

 (góc ngoài bằng góc đối trong)

 cân tại

Ta có  (cùng phụ với hai góc bằng nhau là  và )

 cân tại  

Từ  và  suy ra  

 là trung điểm .

Ta có  

 (hai góc sole trong bằng nhau)

Theo định lí Talet ta có:

  và

 (vì )

 là trung điểm .

 vuông tại  có  là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền