Визначення розмірів небесних тіл і відстаней до них у Сонячній системі.

Мета.

Навчальна. Ознайомити учнів з космічними швидкостями та методами їх розрахунку.

Розвиваюча. Розвивати предметну компетентність та міжпредметні зв’язки.

Виховна. Виховувати свідоме ставлення до вивчення предмету, здійснювати патріотичне виховання.

Тип уроку. Урок засвоєння нових знань.

Дидактичні матеріали:

• Підручник. Астрономія: 11 кл.: підручник для загальноосвіт. навч. закл.: рівень стандарту/ В. Сиротюк, Ю. Мирошніченко.-К.: Вид-во “Генеза”, 2018 -165 с.: іл.

• Веб. Паралакс

План

Хід уроку

1. Організаційний момент. Актуалізація опорних знань.

Перевірка домашнього завдання.

2. Визначення розмірів, мас небесних тіл і відстаней до них у Сонячній системі.

Визначення розмірів Землі. Кулястість Землі дає змогу визначити її розміри способом, що вперше застосував грецький учений Ератосфен. Його ідея полягає в наступному: на одному географічному меридіані земної кулі виберемо дві точки О1 і О2. Позначимо довжину дуги меридіана О1О2 через , а її кутове значення через  . Довжина дуги меридіана між обраними на земній поверхні точками О1 і О2 у градусах дорівнює різниці географічних широт цих точок, тобто

.

Для визначення  Ератосфен використав ту обставину, що міста Сієна і Александрія лежать на одному меридіані і відстань між ними відома. За допомогою простого приладу, який вчений назвав скафісом, було встановлено: якщо в Сієні опівдні в день літнього сонцестояння Сонце освітлює дно глибокого колодязя (перебуває в зеніті), то в цей самий час в Александрії Сонце відстоїть від вертикалі на 1/50 частину кола (7,2°).

З огляду на точність вимірювальних приладів того часу й ненадійність початкових даних, результат вимірювання був досить задовільним. Дійсна середня довжина меридіана Землі становить 40 008 км.

        Точне вимірювання відстані   ускладнене через природні перешкоди (гори, ліси, річки тощо). Тому довжина дуги   визначається шляхом обчислень, що вимагають вимірювання тільки порівняно невеликої відстані. Метод, який використовують для вимірювання дуг називають тріангуляцією. 

Тріангуляційні вимірювання показали, що довжина дуги 1° меридіана неоднакова на різних широтах: біля екватора вона дорівнює 110, 6 км, а біля полісів - 111,7 км. Дійсна форма Землі не може бути представлена жодним з відомих геометричних тіл. Тому в геодезії і гравіметрії форму Землі вважають геоїдом, тобто тілом з поверхнею, близькою до поверхні спокійного океану й продовженою під материками.

Визначення відстаней методом горизонтального паралаксу. Середню відстань від усіх планет до Сонця в астрономічних одиницях можна обчислити, використовуючи третій закон Кеплера:

.

Із 40-их рр. ХХ ст. радіотехніка дала змогу визначити відстані до небесних тіл за допомогою радіолокації. Вимірявши час t, потрібний для того, щоб радіолокаційний імпульс досяг небесного тіла, відбився і повернувся на Землю, визначають відстань D до цього тіла за формулою: .

За допомогою радіолокації визначено найбільш точні значення відстаней до тіл Сонячної системи, уточнено відстані між материками Землі, більш точно визначено астрономічну одиницю. Методи лазерної локації (наприклад, спеціальні кутові відбивачі, доставлені на Місяць) дали змогу виміряти відстань від Землі до Місяця з точністю до кількох сантиметрів.

 Та класичним способом визначення відстаней був і залишається кутомірний геометричний спосіб. Ним визначають відстані й до далеких зір, до яких метод радіолокації застосувати неможливо. Геометричний метод грунтується на явищі паралактичного зміщення.

Паралактичне зміщення (паралакс світила) - удаване зміщення світила, обумовлене переміщенням спостерігача. Визначення відстаней до тіл Сонячної системи грунтується на вимірюванні їхніх горизонтальних паралаксів.

Кут р, під яким зі світила видно радіус Землі, перпендикулярний до променя зору, називають горизонтальним паралаксом.

При малих кутах , якщо кут виражений в радіанах. Якщо р виражено в секундах дуги, то вводиться множник  , де 206265 - число секунд в одному радіані. Тоді  і . Це рівняння значно спрощує обчислення відстані D до світила за відомим паралаксом р.

Знаючи горизонтальний паралакс світила, можна визначити його відстань D=SO від центра Землі. Наприклад, паралакс Сонця . Паралаксу Сонця відповідає середня відстань від Землі до Сонця, приблизно 149,6 млн. км. Цю відстань приймають за одну астрономічну одиницю (1 а.о.). В астрономічних одиницях зручно вимірювати відстані між тілами Сонячної системи.

         Під час спостереження небесних тіл Сонячної системи можна виміряти кут, під яким їх видно спостерігачеві із Землі. Знаючи кутовий радіус  об’єкта і відстань  D до об’єкта, можна обчислити лінійний радіус R цього об’єкта за формулою: .

За визначенням горизонтального паралакса, радіус землі видно зі світила під кутом р, тоді одержимо: . Оскільки значення кутів  і р малі, остаточно маємо: . Визначити розміри небесних тіл таким способом можна тільки тоді, коли видно їхні диски.

Веб. Паралакс

Визначення мас небесних тіл. Однією з найважливіших характеристик небесного тіла є його маса.

Маси небесних тіл можна визначити різними способами: 

• шляхом вимірювання сили тяжіння на поверхні даного небесного тіла (гравіметричний спосіб);
• за третім узагальненим законом Кеплера. 

Визначимо масу Землі гравіметричним способом. Закон всесвітнього тяжіння дає змогу визначити масу небесних тіл, у тому числі й масу Землі.

Середню густину Землі можна визначити, знаючи її масу і об’єм.

Перш ніж розглядати другий спосіб, перевіримо виконання третього закону Кеплера для випадку колового руху планети зі швидкістю .

Нехай тіло масою m рухається з лінійною швидкістю  навколо тіла масою М (m<<М) по колу радіуса .

        Це можливо, якщо рух відбувається під дією сили, що створює доцентрове прискорення . Силою, що створює прискорення, є сила тяжіння, тому . Якщо період обертання тіла m навколо тіла М становить час Т, то лінійна швидкість руху цього тіла по орбіті дорівнює . Підставивши останнє рівняння в попереднє, одержимо:

        Для еліптичного руху це рівняння також справджується, якщо замість радіуса кола підставити значення більшої півосі  еліптичної орбіти. У  такому випадку одержимо відношення:

Якщо масою меншого тіла не можна знехтувати порівняно з масою М центрального тіла, то в третій закон Кеплера, як показав Ньютон, замість маси М увійде сума мас (М+m), і останнє співвідношення запишеться у вигляді:

        Узагальнивши це рівняння для двох небесних тіл масами М1 і М2, одержимо:

На основі уточненого Ньютоном третього закону Кеплера можна обчислити другим способом маси планет, що мають супутники, а також обчислити масу Сонця. Третій закон Кеплера також можна використовувати для визначення мас подвійних зір.

Маси планет, що не мають супутників, можуть бути визначені за збуреннями, які вони породжують у русі Землі, Марса, астероїдів, комет, а також за їхніми взаємними збуреннями.

3. Запитання до уроку.

Запитання 15.1. Що таке горизонтальний паралакс? Як визначити відстань до планети?

Запитання 15.2. Як визначають лінійні розміри тіл Сонячної системи методом горизонтального паралаксу?

Запитання 15.2. Чому радіолокаційний метод не використовують для визначення відстаней до об’єктів за межами Сонячної системи?

Запитання 15.3. Чому дорівнює річний паралакс Сонця?

С

Запитання 15.4. Як  Ератосфен визначив розміри Землі?

Запитання 15.5. Які ви знаєте способи визначення мас небесних тіл?

Запитання 15.6. Сформулюйте третій узагальнений закон Кеплера.

4. Домашнє завдання.

Підручник. §7-8.

Тестування. Визначення розмірів небесних тіл і відстаней до них у Сонячній системі. Відповіді учнів

Усне опитування по запитаннях до уроку.

5. Перевір себе.

6. Для допитливих.

Практична робота. Визначення відстані до об’єкта методом паралактичного зміщення.