BAB I

PENDAHULUAN

1.1        Latar Belakang

        Matematika merupakan salah satu mata pelajaran yang memiliki peran penting dalam pendidikan dan dalam kehidupan sehari-hari (Akbar, P., Hamin, Bernard, M, & Sugandi, A, 2018) proses pembelajaran matematika pada setiap jenjang pendidikan melatih kemampuan otak. seseorang dapat dimanfaatkan melalui penggunaan ide-ide atau yang diperoleh selama belajar matematika di tingkat dasar hingga pendidikan tinggi (Maharani, S., & Bernard, 2018).

        Semua manusia membutuhkan dan harus menguasai matematika dalam tingkat tertentu. Salah satu cara untuk mengenalkan matematika kepada setiap manusia adalah melalui pembelajaran matematika di sekolah. Matematika adalah satu mata pelajaran wajib mulai dari pendidikan dasar hingga sekolah menengah. Indonesia menjadikan matematika sebagai salah satu mata pelajaran yang masuk ke Indonesia dalam mata pelajaran ujian nasional. Pada peserta tingkat sekolah dasar siswa diharapkan telah menguasai matematika dengan tujuan mampu menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari.

        Proses pembelajaran matematika mampu melatih cara berpikir seseorang secara logis, kritis, dan kreatif (Siswanto, R. D., Dadan, D., Akbar, P., & Bernard, 2018). Selain itu, matematika merupakan ilmu dasar perkembangan ilmu pengetahuan dan sangat berguna dalam kehidupan sehari-hari (Nurhayati, N., & Bernard, 2018). Menurut (Bafadal, 2005) belajar dapat didefinisikan sebagai segala usaha atau proses belajar mengajar dalam rangka menciptakan proses belajar mengajar yang efektif dan efisien. Pembelajaran matematika bertujuan untuk mengembangkan seluruh kemampuan matematika siswa dalam memperoleh hasil.

        Kalkulus adalah cabang matematika dan kalkulus dapat diterapkan dalam matematika berbagai bidang, misalnya dalam bidang sains dan teknik. Karena kurikulum. Di perguruan tinggi, kalkulus biasanya diambil oleh mahasiswa teknik, fisika, matematika dan lain-lain dan lain-lain Materi yang dipelajari dalam kalkulus I termasuk materi pertama pengantar yang terdiri dari sistem bilangan real, pertidaksamaan, nilai absolut, induksi matematika, fungsi. Kemudian dilanjutkan dengan materi inti yang terdiri dari limit dan kontinuitas, ekstrim dan titik belok, turunan. Berdasarkan data dari hasil ujian tengah semester-semester dan akhir semester pada tahun sebelumnya, ditemukan nilai beberapa mahasiswa pada mata kuliah pendidikan matematika kalkulus I belum memuaskan. Hal tersebut karena beberapa siswa membuat kesalahan dalam mengerjakan soal yang berhubungan dengan mata kuliah kalkulus I, salah satunya ada pada bab pertidaksamaan. Materi pertidaksamaan merupakan salah satu materi pendahuluan dalam kalkulus I, materi Bahkan, ketidaksetaraan juga telah dipelajari oleh siswa ketika mereka berada ditingkat SMP dan SMA, tetapi kenyataannya masih Banyak siswa yang melakukan kesalahan dalam menyelesaikan soal pertidaksamaan. Oleh karena itu, perlu dilakukan analisis terkait kesalahan siswa dalam menyelesaikan masalah ketidaksetaraan, sehingga dosen sebagai pengajar mengetahui kesalahan yang dilakukan siswa dalam memecahkan masalah pertidaksamaan dan menemukan solusi yang tepat untuk mengatasi ini (Zamrodah, 2016).

Berdasarkan sumber yang sudah dijelaskan maka permasalahan yang muncul yaitu kesalahan pemecahan masalah yang dilakukan oleh mahasiswa pada materi pertidaksamaan nilai mutlak.

1.2        Rumusan Masalah

        Berdasarkan latar belakang permasalahan diatas dapat disimpulkan bahwa rumusan masalah adalah sebagai berikut:

1. Apa pengertian dan sifat-sifat pertidaksamaan nilai mutlak?
2. Apa saja himpunan pertidaksamaan nilai mutlak?
3. Apa saja kesalahan yang sering ditemukan dalam menghitung pertidaksamaan nilai mutlak?

1.3        Tujuan

        Tujuan dalam penulisan makalah ini adalah untuk mengetahui pengertian dan sifat-sifat pertidaksamaan nilai mutlak, untuk memahami himpunan pertidaksamaan nilai mutlak, serta untuk mengetahui kesalahan yang sering ditemukan dalam menghitung pertidaksamaan nilai mutlak.

BAB II

PEMBAHASAN

2.1        Pertidaksaman dan Nilai Mutlak

1. Pengertian Pertidaksamaan

Menurut (Sundary et al., 2014) Pertidaksamaan adalah kalimat matematika terbuka yang mengandung ekspresi <, ≤ atau >, ≥. Simbol > berarti “lebih dari”, Simbol ≥ berarti “lebih dari atau sama dengan”, Simbol < berarti " kurang dari ", Simbol ≤ berarti “kurang dari atau sama dengan”, Pertidaksamaan linier adalah pertidaksamaan pangkat satu. Memecahkan pertidaksamaan adalah menemukan semua himpunan bilangan real yang membuat pertidaksamaan tersebut valid. Berbeda dengan persamaan, di mana himpunan solusi umumnya terdiri dari satu angka atau mungkin sejumlah angka yang terbatas, himpunan solusi untuk pertidaksamaan biasanya terdiri dari seluruh interval bilangan atau, dalam beberapa kasus, kombinasi interval tersebut (Varberg et al., 2010). Dalam melaksanakan operasi-operasi tertentu pada kedua ruas suatu pertidaksamaan tanpa mengubah himpunan pemecahannya menurut (Sundary et al., 2014), khususnya:

1. Kita dapat menjumlahkan bilangan yang sama pada kedua ruas pertidaksamaan sama.
2. Kita dapat mengalikan kedua ruas pertidaksamaan dengan sebuah bilangan positif.
3. Kita dapat mengalikan kedua ruas dengan bilangan negatif, tetapi kemudian kita harus membalik arah tanda pertidaksamaan.

        Adapun sifat-sifat pertidaksamaaan menurut (Sundary et al., 2014) adalah sebagai berikut:

1. Sifat Tidak Negatif

Untuk a € R maka ≥ 0

2. Sifat Transitif

Untuk a,b,c € R

Jika a < b dan b < c maka a < c;

Jika a > b dan b > c maka a > c

3. Sifat Penjumlahan

Untuk a,b,c € R

Jika a < b maka a + c < b + c

Jika a > b maka  a + c > b + c

Jika kedua ruas pertidaksamaan dijumlahkan dengan bilangan yang sama tidak mengubah tanda ketidaksamaan.

4. Sifat Perkalian

Jika a < b, c > 0 maka a.c < b.c

Jika a > b, c > 0 maka a.c > b.c

Jika kedua ruas dikalikan bilangan rill positif tidak akan mengubah tanda ketidaksamaan, sedangkan jika dikalikan dengan bilangan negatif ankan mengubah tanda ketidaksamaan.

5. Sifat Kebalikan

Jika a > 0 maka  > 0

Jika a < 0 maka  < 0

Suatu bilangan dan kebalikannya memiliki tanda yang sama baik untuk bilangan positif maupun negatif

B.     Pengertian Nilai Mutlak

        Menurut (Putri, 2021) Nilai mutlak suatu bilangan adalah jarak antara bilangan itu dan nol dalam garis bilangan real. Jadi, tidak mungkin nilai mutlak suatu bilangan adalah negatif, tetapi mungkin nol. Sedangkan menurut (Varberg et al., 2010) nilai mutlak suatu bilangan real x, dinyatakan oleh |x|, didefinisikan sebagai:

Salah satu cara terbaik untuk membayangkan  nilai mutlak adalah sebagai jarak (tak berarah). Khususnya, |x| adalah jarak antra x dengan titik asal.

        Adapun sifat-sifat nilai mutlak tidak menimbulkan masalah dalam proses perkalian dan pembagian, tetapi tidak begitu dalam proses penambahan dan pengurangan. Berikut adalah sifat-sifat nilai mutlak menurut (Varberg et al., 2010):

1. |ab| = |a| |b|
2. 
3. |a + b| ≤ |a| + |b|
4. |a – b| ≥ ||a| - |b||

2.2        Himpunan Pertidaksamaan Nilai Mutlak

        Menurut (Varberg et al., 2010) himpunan pada pertidaksamaan nilai mutlak ada dua yaitu interval terbuka dan interval tertutup. Pertama interval terbuka adalah pada pertidaksamaan a < x < b, yang sebenarnya adalah dua pertidaksamaan, a < x dan x < b yang terdiri dari semua bilangan antara a dan b, tidak termasuk titik-titik ujung a dan b, lambang interval terbuka adalah (a,b). kedua interval terbuka adalah pada pertidaksamaan a ≤ x ≤ b yang berkorespondensi, yang mencakup titik-titik ujung a dan b. Ini dinyatakan dengan lambang |a,b|.

Tabel 2.1 Himpunan Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Sumber: (Varberg et al., 2010)

2.3        Kesalahan-kesalahan yang Sering Ditemukan dalam Menghitung

Pertidaksamaan Nilai Mutlak

        Menurut (Zamrodah, 2016) ada beberapa kesalahan yang sering terjadi dalam menyelesaikan pertidaksamaan pada mata kuliah kalkulus 1 yaitu Kesalahan dalam menentukan suku akar, Kesalahan dalam proses perhitungan, Kesalahan dalam menentukan nilai pada garis bilangan, Kesalahan dalam menentukan himpunan penyelesaian, Kesalahan dalam menentukan tanda interval pada garis bilangan, Kesalahan dalam menentukan penyelesaian area pada garis bilangan, Kesalahan dalam menentukan nilai pembuat nol di sisi kiri (titik pemisah), Kesalahan dalam menentukan nilai pembuat nol pada garis bilangan, Kesalahan tidak melanjutkan proses penyelesaian.

Menurut (Saparwadi & Desventri Etmy, 2019) beberapa masalah dalam memecahkan pertanyaan: (1) Siswa masih bingung dalam memahami maksud dari pertanyaan tersebut diinginkan; (2) Masih banyak siswa yang belum mampu operasi matematika sederhana seperti penjumlahan, pengurangan, pecahan tidak berharga dan lain-lain; (3) Saat duduk di sekolah, siswa hanya diberikan contoh sederhana dalam memecahkan masalah, sehingga ketika diberikan pertanyaan yang sedikit berbeda jenis pertanyaan, mereka bingung untuk menyelesaikannya.

data dari penelitian oleh deby erdiyani dan dewi devita ( ©Edumatika Jurnal Riset Pendidikan Matematika Volume 2, Nomor 1, Mei 2019 )

diberikan soal tes Ujian Tengah Semester (UTS) dengan capaian pembelajaran yang digunakan untuk mendiagnosis kesulitan mahasiswa dalam penyelesaian soal pada materi pertidaksamaan

Carilah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut

soal itu diberikan kepada mahasiswa di Universitas Putra Indonesia Padang, subjek penelitian satu kelas mahasiswa jurusan system computer berjumlah 53 orang.

Dari jawaban soal itu terdapat kesalahan , berikut hasil jawaban sesuai kesalahan yang dilakukan oleh mahasiswa.

Gambar 1.

pada gambar 1 ditunjukkan cara penulisan dan pengoperasikannya sudah benar, yang perlu koreksi disini tanda biimplikasi ( panah dua arah) untuk menandakan adanya hubungan jika dan hanya jika.

Gambar 2.

Teorema yang digunakan sudah benar, yang keliru dalam proses penyelesaianya. Konsep dari pertidaksamaan kurang paham dan kesalahan dalam perhitungan.

Gambar 3.

        Pada gambar 3. Menunjukkan mahasiswa belum memahami teorema  yang tepat untuk digunakan dan cara penyelesaian pertidaksamaannya dengan menggunkan sifat sifat dari operasi bilangan.

Sementara itu, dari wawancara dengan beberapa mahasiswa dijelaskan bahwa ada beberapa materi dasar yang menyebabkan mahasiswa kurang bisa mengikuti mata kuliah kalkulus pada materi peertidaksamaan yaitu kesalahan pengerjaan soal dikarenakan lupa atau tidak hafal sifat sifat nilai mutlak, tidak menguasai konsep , lupa cara memfaktorkan suku banyak untuk memperoleh nilai x dan kurang  menguasai Teknik berhitung.

Dari sumber kutipan dan data penelitian tersebut dapat dilihat jenis kesulitan dalam
memahami pertidaksamaan yaitu : (1) mahasiswa belum memahami teorema
yang tepat untuk digunakan dalam menyelesaikan pertidaksamaan dan menggunakan sifat-sifat dari operasi bilangan. Perlunya banyak latihan soal yang berbeda tandanya “>,<,≤ dan ≤”, biar bisa terlatih dalam menyelesaikan soal dengan kasus yang berbeda dan juga melatih cara berfikir dalam menyelesaikan berbagai kasus dalam  pertidaksamaan; (2) mahasiswa belum memahami teorema tentang nilai mutlak yang tepat untuk digunakan dan cara pemaktoran pada suku banyak harus paham untuk mencari hasil penyelesaiannya. Sebelum mempelajari tentang pertidaksamaan dan fungsi, sebaiknya mahasiswa terlebih dahulu diberi materi tentang polynomial atau suku banyak dan cara memfaktorannya polynomial.

BAB III

KESIMPULAN

        Pertidaksamaan adalah kalimat matematika terbuka yang mengandung ekspresi <, ≤ atau >, ≥. Simbol > berarti “lebih dari”, Simbol ≥ berarti “lebih dari atau sama dengan”, Simbol < berarti " kurang dari ", Simbol ≤ berarti “kurang dari atau sama dengan”, Pertidaksamaan linier adalah pertidaksamaan pangkat satu. Nilai mutlak suatu bilangan adalah jarak antara bilangan itu dan nol dalam garis bilangan real. Jadi, tidak mungkin nilai mutlak suatu bilangan adalah negatif, tetapi mungkin nol.

        kesalahan yang sering terjadi dalam menyelesaikan pertidaksamaan pada mata kuliah kalkulus 1 yaitu Kesalahan dalam menentukan suku akar, Kesalahan dalam proses perhitungan, Kesalahan dalam menentukan nilai pada garis bilangan, Kesalahan dalam menentukan himpunan penyelesaian, Kesalahan dalam menentukan tanda interval pada garis bilangan, Kesalahan dalam menentukan penyelesaian area pada garis bilangan, Kesalahan dalam menentukan nilai pembuat nol di sisi kiri (titik pemisah), Kesalahan dalam menentukan nilai pembuat nol pada garis bilangan, Kesalahan tidak melanjutkan proses penyelesaian.

DAFTAR PUSTAKA

Akbar, P., Hamin, Bernard, M, & Sugandi, A,  i. (2018). nalisis kemampuan pemecahan masalah dan disposisi matematik siswa kelas xi sma putra juang dalammateri peluang. Junal Cendekia, 2(1), 144–153.

Bafadal, I. (2005). Pengelolaan Perpustakaan Sekolah. Bumi Aksara.

Maharani, S., & Bernard, M. (2018). Analisis Hubungan Resiliensi Matematik Terhadap Kemampuan Pemecahan Masalah Siswa Pada Materi Lingkaran. JPMI (Jurnal Pembelajaran Matematika Inovatif), 1(5), 819–826.

Nurhayati, N., & Bernard, M. (2018). ANALISIS KESULITAN SISWA DALAM PEMECAHAN MASALAH MATEMATIK SISWA KELAS X SMK BINA INSAN BANGSA PADA MATERI PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN. Journal on Education, 1(2), 497–502.

Putri,  marisa tri wulandari. (2021). KONSEP NILAI MUTLAK Penerapan Discovery Learning.

Saparwadi, & Desventri Etmy. (2019). Analisis Kesalahan Mahasiswa Menentukan Penyelesaian Pertidaksamaan Nilai Mutlak dalam Mata Kuliah Kalkulus. Jurnal Pemikiran Dan Penelitian Pendidikan Matematika (JP3M), 2(2), 75–84. https://doi.org/10.36765/jp3m.v2i2.54

Siswanto, R. D., Dadan, D., Akbar, P., & Bernard, M. (2018). Penerapan Model Pembelajaran Kooperatif Tipe Auditorial, Intelectually, Repetition (Air) Untuk Meningkatkan Pemecahan Masalah Siswa Smk Kelas XI. Journal on Education, 1(1), 66–74.

Sundary, B., Saryoko, A., Djadir, Minggi, I., Ja’faruddin, Zaki, A., Sidjara, S., Aprilyanti, S., Pratiwi, I., Basuki, M., Sriwidadi, T., Agustina, E., Rahayu, Y., Nurhadiyono, B., & Izzhati, D. N. (2014). Sumber Belajar Penunjang Plpg 2017 Mata Pelajaran/Paket Keahlian Matematika Bab. Seminar Dan Konferensi Nasional IDEC, 1(2), 725–741.

Varberg, D., Purcel, E. J., & Rigdon, S. E. (2010). Kalkulus Edisi Kesembilan (p. 378).

Zamrodah, Y. (2016). Analisis Kesalahan Mahasiswa Pendidikan Matematika Dalam Menyelesaikan Soal Pertidaksamaan Pada Mata Kuliah Kalkulus I. 15(2), 1–23.

 http://ejournal.iainkerinci.ac.id/index.php/edumatika ©Edumatika Jurnal Riset Pendidikan Matematika Volume 2, Nomor 1, Mei 2019