ФИО разработчика, должность 

Аникеева Елена Трофимовна, учитель математики

Место работы

муниципальное казённое общеобразовательное учреждение Куйбышевского района «Вечерняя (сменная) общеобразовательная школа» Новосибирской области

Класс

10

Тема урока 

Уравнения вида cos x = a

Уровень изучения 

Базовый

Тип урока

Урок освоения новых знаний и умений

Планируемые результаты:

Личностные:

- осознание личного вклада;

- готовностью и  способностью к математическому образованию и самообразованию;

- готовностью к активному участию в решении практических задач математической направленности;

- овладением языком математики и  математической культурой как средством познания мира.

Метапредметные:

Познавательные:

- выстраивать аргументацию, приводить примеры и  контрпримеры;

- обосновывать собственные суждения и  выводы;

- выбирать способ решения учебной задачи;

- аргументировать свою позицию, мнение;

- структурировать информацию.

Коммуникативные:

- ясно, точно, грамотно выражать свою точку зрения, давать пояснения по ходу решения задачи, комментировать полученный результат;

- в  ходе обсуждения задавать вопросы по существу решаемой задачи, высказывать идеи, нацеленные на поиск решения; сопоставлять свои суждения с  суждениями других участников диалога, обнаруживать различие и сходство позиций;

- в корректной форме формулировать разногласия, свои возражения;

- участвовать в групповых формах работы (обсуждения, обмен мнений),  выполнять свою часть работы и  координировать свои действия с  другими участниками;

- планировать организацию совместной работы, распределять виды работ, договариваться, обсуждать процесс и результат работы.

Регулятивные:

- выбирать способ решения задачи с  учётом имеющихся ресурсов и  собственных возможностей, аргументировать и корректировать варианты решений с учётом новой информации;

- владеть способами самопроверки, самоконтроля процесса и  результата решения математической задачи;

- предвидеть трудности, которые могут возникнуть при решении задач;

- объяснять причины достижения или не достижения результатов деятельности, находить ошибку, давать оценку приобретённому опыту. 

Предметные:

Оперировать понятием тригонометрическое уравнение. Уметь решать уравнения вида cos x = a. Уметь работать с математическим текстом.

Краткое описание:

Урок алгебры и начала математического анализа в 10 классе по теме  «Уравнения вида cos x=а» является первым уроком, связанным с решением тригонометрических уравнений, при этом уроку предшествовали уроки, на которых обучающиеся знакомились с основными тригонометрическими формулами, учились преобразовывать тригонометрические выражения, изучали понятие тригонометрической окружности.

На уроке используются приемы: работа в парах, работа с теоретическим материалом учебника, комментированное решение уравнений, самостоятельная работа обучающихся.

Формы организации работы обучающихся на уроке: индивидуальная, фронтальная, групповая.

Методы обучения: частично-поисковый (эвристический), словесный, наглядный, практический, работа с литературой.

Основная литература:  Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия.  Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и углубленный уровни/  Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева и др. – 7-е изд. – М.: Просвещение, 2019. – 463 с.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/;

Российская электронная школа.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, плакат единичной окружности.

БЛОК 1. Вхождение в тему урока и создание условий для осознанного восприятия нового материала

Этап 1.1. Мотивирование на учебную деятельность

Для создания условий возникновения у обучающихся внутренней потребности включения в учебный процесс предлагается работа с текстом «Исторический экскурс по развитию тригонометрии».

Обучающиеся работают в парах по отработке читательской грамотности и смыслового чтения предложенного текста. Результат их работы – ответы на вопросы по тексту.  Излагают свои мысли по тексту. Также отвечают на вопрос нужно ли им дальнейшее изучение тригонометрии?

Планируемые результаты на этом этапе:

Личностные: готовностью и  способностью к математическому образованию и самообразованию.

Метапредметные: 

- структурировать информацию;

- ясно, точно, грамотно выражать свою точку зрения, давать пояснения;

- в  ходе обсуждения задавать вопросы по существу, высказывать идеи, сопоставлять свои суждения с  суждениями других участников диалога, обнаруживать различие и сходство позиций.

Предметные: Уметь работать с математическим текстом.

Этап 1.2. Актуализация опорных знаний

На доске выписаны 9 уравнений (примечание: обучающиеся уже умеют решать уравнения cos x =а, при a=0;1;-1).

 cos x = 1               cos x = 0.5

 cos x = 2.5            2 cos x = -

 cos x =               - cos 4x = 0

 cos x = -1               cos x =  - 0.1  

 cos 4x -1 = 0

Фронтальная работа.

Вопросы для обсуждения:

1. Что написано на доске? Что значит решить уравнение? Что такое область определения уравнения? Что такое корень уравнения?

2. Что общего в этих уравнениях?

3. Есть ли уравнения,  которые вы можете решить?

4. Есть ли уравнения, которые не имеют решения?

5. Есть ли уравнения,  которые имеют решения?

6. Есть ли уравнения,  которым требуются тождественные преобразования?

7. Есть ли уравнения,  корни которых можно найти с помощью плаката единичной окружности?

8. Есть ли уравнение,  решение которого вызывает у вас затруднение?

Деятельность учащихся: В ходе обсуждения выбирают и предлагают решение отдельных примеров, фиксируют затруднение в решении некоторых из них.

Обучающиеся обсуждают ответы на вопросы и определяют совместно с учителем тему и  цель урока, определяют, на какие вопросы необходимо получить ответы и какие затруднения имеются.

Планируемые результаты на этом этапе:

Личностные:

- готовностью к активному участию в решении практических задач математической направленности;

- овладением языком математики и  математической культурой как средством познания мира.

Метапредметные: 

- выстраивать аргументацию, приводить примеры и  контрпримеры;

- обосновывать собственные суждения и  выводы;

- выбирать способ решения учебной задачи;

- ясно, точно, грамотно выражать свою точку зрения, давать пояснения по ходу решения задачи, комментировать полученный результат;

- выбирать способ решения задачи с  учётом имеющихся ресурсов и  собственных возможностей, аргументировать и корректировать варианты решений с учётом новой информации;

- предвидеть трудности, которые могут возникнуть при решении задач.

Предметные: Оперировать понятием тригонометрическое уравнение. Уметь решать тригонометрические уравнения вида cos x = a.

Этап 1.3. Целеполагание

Сегодня мы узнаем:

• что такое арккосинус числа; 
• какую форму имеет решение уравнения cos x = a;
• при каких a корни есть, при каких a корней нет;

мы научимся:

• решать простейшие тригонометрические уравнения вида cos x = a;
• решать уравнения вида cos (kx+b) = a;

мы сможем:

• использовать несложные тождества с арккосинусом;
• решать тригонометрические уравнения, содержащие косинус.

БЛОК 2. Освоение нового материала

Этап 2.1. Осуществление учебных действий по освоению нового материала

Устная работа.

Сколько точек пересечения с тригонометрической окружностью имеет прямая x=m в зависимости от значения m: 

m = 1,2;  3;  1,001; 1; -1; 0; 0,45.

Обсуждение ответов обучающихся.

Самостоятельная работа с учебником: чтение с пометками, краткий конспект в тетради. Проблема определения угла: выход на понятие «арккосинус».

Показ видеоурока на  образовательном портале Российская электронная школа (resh.edu.ru). 

Обсуждение конспекта, дополнения, коррекция.

Фронтальная работа. Обсуждение возникших вопросов, что уже было знакомо, что узнали нового.

Планируемые результаты на этом этапе:

Личностные:

- осознание личного вклада;

- готовностью и  способностью к математическому образованию и самообразованию;

- готовностью к активному участию в решении практических задач математической направленности.

Метапредметные:

- выстраивать аргументацию, приводить примеры и  контрпримеры;

- обосновывать собственные суждения и  выводы;

- выбирать способ решения учебной задачи;

- аргументировать свою позицию, мнение;

- структурировать информацию;

- ясно, точно, грамотно выражать свою точку зрения, давать пояснения по ходу решения задачи, комментировать полученный результат;

- в  ходе обсуждения задавать вопросы по существу решаемой задачи, высказывать идеи, нацеленные на поиск решения; сопоставлять свои суждения с  суждениями других участников диалога, обнаруживать различие и сходство позиций;

- предвидеть трудности, которые могут возникнуть при решении задач;

- объяснять причины достижения или не достижения результатов деятельности, находить ошибку, давать оценку приобретённому опыту.

Предметные:  Уметь решать тригонометрические уравнения вида cos x = a. Уметь работать с математическим текстом.

Этап 2.2. Проверка первичного усвоения

Устная работа: нахождение арккосинуса угла (упражнение из учебника № 568).

Индивидуальная работа. Найдите для каждого уравнения количество решений на отрезке [0;2π]. Заполните таблицу (Проверка с комментарием, показ решения 2,3 уравнения на слайде).

сos x = 1,1        (сos x +1)(сos x -2) = 0   (2сos x-1)(2сos x-3)=0  

Самостоятельная работа

1. Выберите из списка решение уравнения cos x =

х = ±+2πn, nϵZ

x= +πn, nϵZ

x= - +πn, nϵZ

x=±+2πn, nϵZ

x=±+2πn, nϵZ

x=+2πn, nϵZ

2. Поставьте в соответствие каждому уравнению его решение.

x=±arccos ( )+2πn, nϵZ                    пустое множество            cos x=−12             x=π+2πn, nϵZ 

                                                                                                                              5cosx=1  

cos x =−5             cos x =−1

x=± +2πn, nϵZ                                       x=±+2πn, nϵZ               2cosx = - √3

3. № 569 по вариантам: 1 вариант – 1,3; 2 вариант – 2,4. 

(Самопроверка, ответы на слайде).

Планируемые результаты на этом этапе:

Личностные:

- осознание личного вклада;

- готовностью и  способностью к математическому образованию и самообразованию;

- готовностью к активному участию в решении практических задач математической направленности.

Метапредметные:

- выстраивать аргументацию, приводить примеры и  контрпримеры;

- обосновывать собственные суждения и  выводы;

- выбирать способ решения учебной задачи;

- аргументировать свою позицию, мнение;

- ясно, точно, грамотно выражать свою точку зрения, давать пояснения по ходу решения задачи, комментировать полученный результат;

- в  ходе обсуждения задавать вопросы по существу решаемой задачи, высказывать идеи, нацеленные на поиск решения; сопоставлять свои суждения с  суждениями других участников диалога, обнаруживать различие и сходство позиций;

- объяснять причины достижения или не достижения результатов деятельности, находить ошибку, давать оценку приобретённому опыту.

Предметные: Уметь решать тригонометрические уравнения вида cos x = a.

БЛОК 3. Применение изученного материала

Этап 3.1. Применение знаний, в том числе в новых ситуациях

Работа в группах:  работа с учебником  (чтение разбора уравнений, решаемых в измененной ситуации – задачи 4,5) и решение уравнений № 573.

1 группа выполняет 1,4,5 уравнения, 2 группа – 2,3,6.

Проверка работы групп: один представитель от группы, обсуждение, коррекция, самооценка.

Планируемые результаты на этом этапе:

Личностные:

- осознание личного вклада;

- готовность и  способность к математическому образованию и самообразованию;

- готовность к активному участию в решении практических задач математической направленности;

- овладение языком математики и  математической культурой как средством познания мира. 

Метапредметные:

- выстраивать аргументацию, приводить примеры и  контрпримеры;

- обосновывать собственные суждения и  выводы;

- выбирать способ решения учебной задачи;

- аргументировать свою позицию, мнение;

- структурировать информацию;

- ясно, точно, грамотно выражать свою точку зрения, давать пояснения по ходу решения задачи, комментировать полученный результат;

- в  ходе обсуждения задавать вопросы по существу решаемой задачи, высказывать идеи, нацеленные на поиск решения; сопоставлять свои суждения с  суждениями других участников диалога, обнаруживать различие и сходство позиций;

- в корректной форме формулировать разногласия, свои возражения;

- участвовать в групповых формах работы (обсуждения, обмен мнений),  выполнять свою часть работы и  координировать свои действия с  другими участниками;

- планировать организацию совместной работы, распределять виды работ, договариваться, обсуждать процесс и результат работы;

- выбирать способ решения задачи с  учётом имеющихся ресурсов и  собственных возможностей, аргументировать и корректировать варианты решений с учётом новой информации;

- владеть способами самопроверки, самоконтроля процесса и  результата решения математической задачи;

- предвидеть трудности, которые могут возникнуть при решении задач;

- объяснять причины достижения или не достижения результатов деятельности, находить ошибку, давать оценку приобретённому опыту. 

Предметные: Уметь решать тригонометрические уравнения вида cos x = a. Уметь работать с математическим текстом.

Этап 3.2. Выполнение межпредметных заданий и заданий из реальной жизни

Уравнение  гармоничного колебания устанавливает зависимость координаты тела от времени

x = Acos(ωt + ϕо), где x - координата колеблющегося тела;  t - время;  A – амплитуда колебаний; ω –циклическая частота; ϕо – начальная фаза.

Работа в парах. Найдите время, в которое шарик, раскачивающийся на пружинке с амплитудой колебания 10 м, начальной фазой п/2 и циклической частотой 2 имел координату 5. Проверка, обсуждение.

Планируемые результаты на этом этапе:

Личностные:  готовность к активному участию в решении практических задач математической направленности.

Метапредметные:

- обосновывать собственные суждения и  выводы;

- выбирать способ решения учебной задачи;

- аргументировать свою позицию, мнение;

- ясно, точно, грамотно выражать свою точку зрения, давать пояснения по ходу решения задачи, комментировать полученный результат;

- в  ходе обсуждения задавать вопросы по существу решаемой задачи, высказывать идеи, нацеленные на поиск решения; сопоставлять свои суждения с  суждениями других участников диалога, обнаруживать различие и сходство позиций;

- в корректной форме формулировать разногласия, свои возражения;

- планировать организацию совместной работы, распределять виды работ, договариваться, обсуждать процесс и результат работы;

- владеть способами самопроверки, самоконтроля процесса и  результата решения задачи.

Этап 3.3. Выполнение заданий в формате  ЕГЭ

В КИМ ЕГЭ есть тригонометрические уравнения. Давайте решим:

а)  Решите уравнение 

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку 

(Учащийся решает на доске, остальные в тетрадях).

Планируемые результаты на этом этапе:

Личностные:  готовность к активному участию в решении практических задач математической направленности.

Метапредметные:

- обосновывать собственные суждения и  выводы;

- выбирать способ решения учебной задачи;

- аргументировать свою позицию, мнение;

- ясно, точно, грамотно выражать свою точку зрения, давать пояснения по ходу решения задачи, комментировать полученный результат;

- в  ходе обсуждения задавать вопросы по существу решаемой задачи, высказывать идеи, нацеленные на поиск решения; сопоставлять свои суждения с  суждениями других участников диалога, обнаруживать различие и сходство позиций;

- в корректной форме формулировать разногласия, свои возражения;

- участвовать в групповых формах работы (обсуждения, обмен мнений),  выполнять свою часть работы и  координировать свои действия с  другими участниками;

- планировать организацию совместной работы, распределять виды работ, договариваться, обсуждать процесс и результат работы;

- выбирать способ решения задачи с  учётом имеющихся ресурсов и  собственных возможностей, аргументировать и корректировать варианты решений с учётом новой информации;

- владеть способами самопроверки, самоконтроля процесса и  результата решения математической задачи;

- предвидеть трудности, которые могут возникнуть при решении задач.

Этап 3.4. Систематизация знаний и умений

Работа по учебнику № 574.

Планируемые результаты на этом этапе:

Личностные:  готовность к активному участию в решении практических задач математической направленности.

Метапредметные:

 - аргументировать свою позицию, мнение;

- ясно, точно, грамотно выражать свою точку зрения, давать пояснения по ходу решения задачи, комментировать полученный результат;

- в  ходе обсуждения задавать вопросы по существу решаемой задачи; сопоставлять свои суждения с  суждениями других участников диалога, обнаруживать различие и сходство позиций;

- владеть способами самопроверки, самоконтроля процесса и  результата решения задачи.

Предметные: Уметь решать тригонометрические уравнения вида cos x = a.

БЛОК 4. Проверка приобретенных знаний, умений и навыков

Этап 4.1. Диагностика/самодиагностика

Индивидуальная работа, работа в группах, в парах.

Критерии оценивания:

Отметка «5» выставляется, если объем работы, выполненной обучающимся без ошибок, составляет от 99% до 100%;

Отметка «4» выставляется, если объем работы, выполненной обучающимся без ошибок, составляет от 75% до 99%;

Отметка «3» выставляется, если объем работы, выполненной обучающимся без ошибок, составляет от 50% до 75%;

Отметка «2» выставляется, если объем работы, выполненной обучающимся без ошибок, составляет менее 50%.

Выставление отметок за урок.

БЛОК 5. Подведение итогов, домашнее задание

Этап 5.1. Рефлексия

Закончите предложения  Сегодня я на уроке…

Научился                    Узнал                        Участвовал                  Работал                 Доказывал            Смог

Как вы думаете, мы достигли цели урока, которые поставили в начале урока?

Этап 5.2. Домашнее задание

Прочитать параграф 33, выучить общую формулу для решения уравнения cos x = a, понятие арккосинуса, № 569, 574,576 (1,2) придумать и решить свое уравнение по аналогии с тем, что выполняли в № 573.