ЧАСТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ИНСТИТУТ МЕЖДУНАРОДНОЙ ТОРГОВЛИ И ПРАВА»

ПРОГРАММА

ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ

ПО МАТЕМАТИКЕ

НА 2025/2026 год набора

г. Москва

ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ.

Настоящая программа предназначена для абитуриентов, поступающих в ЧОУ ВО  «ИМТП», составлена в соответствии со стандартом среднего (полного) общего образования с целью ознакомления с примерными заданиями к вступительному экзамену по математике и состоит из трех разделов.

В первом разделе перечислены основные математические понятия, которыми должен владеть поступающий на письменном вступительном испытании.

Во втором разделе указано, какие навыки и умения требуются от поступающего на письменном вступительном испытании.

Объем знаний и степень владения материалом, описанным в программе, соответствуют курсу математики средней школы. Поступающий может пользоваться всем арсеналом средств этого курса, включая и начала анализа. Однако для решения экзаменационных задач достаточно уверенного владения лишь теми понятиями и их свойствами, которые перечислены в настоящей программе.

В связи с обилием учебников и регулярным их переизданием отдельные утверждения второго раздела могут в некоторых учебниках называться иначе, чем в программе, или формулироваться в виде задач, или вовсе отсутствовать. Такие случаи не освобождают поступающего от необходимости знать эти утверждения.

Вступительное испытание по математике в ЧОУ ВО «ИМТП» проводится в письменной форме, продолжительность 235 минут.

Проверка работ всех поступающих осуществляется в обезличенном виде, в форме, исключающей установление авторства работы.

Решать задания экзаменационной работы можно в любом порядке, сохраняя при этом исходную нумерацию заданий.

1. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ.

Арифметика, алгебра и начала анализа

1. Натуральные числа (N). Простые и составные числа. Делитель, кратное. Наибольший общий делитель, наименьшее общее кратное.

2. Признаки делимости на 2, 3, 5, 9.

3. Целые числа (Z). Рациональные числа (Q), их сложение, вычитание, умножение и деление. Сравнение рациональных чисел. Проценты.

4. Действительные числа (R), их представление в виде десятичных дробей.

5. Изображение чисел на прямой. Модуль действительного числа, его геометрический смысл.

6 . Числовые выражения. Равенство и тождество. Выражения с переменными. Формулы сокращенного умножения.

7. Степень с натуральным и рациональным показателем. Арифметический корень.

8 . Логарифмы, их свойства.

9. Одночлен и многочлен.

10. Многочлен с одной переменной. Корень многочлена на примере квадратного трехчлена.

11. Понятие функции. Способы задания функции. Область определения. Множество значений функции. График функции. Возрастание и убывание функций, наибольшее и наименьшее значение функции; периодичность, четность, нечетность.

12. Достаточное условие возрастания (убывания) функции на промежутке. Понятие экстремума функции. Наибольшее и наименьшее значение функции.

13. Определение и основные свойства функций: линейной, квадратичной у=ах2+ bx + с, степенной у=аn (nN), дробно-рациональной у=к/х, показательной у=аx, а>0 , логарифмической, тригонометрических функций (y=sin х; y=cos х; y=tg х), арифметического корня.

14. Уравнение. Корни уравнения. Понятие о равносильных уравнениях.

15. Квадратные уравнения. Формула корней квадратного уравнения. Теорема о разложении квадратного трехчлена на линейные множители. Теорема Виета.

16. Неравенства. Свойства числовых неравенств.

17. Решения неравенства. Понятие о равносильных неравенствах.

18. Система уравнений и неравенств. Решения системы.

19. Арифметическая и геометрическая прогрессия. Формула п-го члена и суммы первых п членов арифметической прогрессии. Формула п-го члена и суммы первых п членов геометрической прогрессии. 20. Синус и косинус суммы и разности двух аргументов (формулы).

 21. Преобразование тригонометрических выражений.

22. Определение производной. Ее физический и геометрический смысл.

23. Производные функций y=sin х; y=cos х; y=tg х;  у = xn (n N);y = ax; у=ln х.

Геометрия.

1. Прямая, луч, отрезок, ломаная; длина отрезка. Угол, величина угла. Вертикальные и смежные углы.

2. Окружность, круг. Параллельные прямые.

3. Примеры преобразования фигур, виды симметрии. Преобразование подобия и его свойства.

4. Векторы. Операции над векторами.

5. Многоугольник, его вершины, стороны, диагонали.

6 . Треугольник. Его медиана, биссектриса, высота. Виды треугольников.

7. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника.

8 . Четырехугольник: параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция.

9. Окружность и круг. Центр, хорда, диаметр, радиус. Касательная к окружности.

10.Дуга окружности. Сектор.

11 .Центральные и вписанные углы.

12 .Формулы площади: треугольника, прямоугольника, параллелограмма, ромба, квадрата, трапеции. 13.Длина окружности и длина дуги окружности. Радианная мера угла. Площадь круга и площадь сектора.

14. Подобие. Подобные фигуры. Отношение площадей подобных фигур.

15. Плоскость. Параллельные и пересекающиеся плоскости.

16. Параллельность прямой и плоскости.

17. Угол прямой с плоскостью. Перпендикуляр к плоскости.

18. Двугранные углы. Линейный угол двугранного угла. Перпендикулярность двух плоскостей.

19. Многогранники. Их вершины, грани, диагонали. Прямая и наклонная призмы; пирамиды. Правильная призма и правильная пирамида. Параллелепипеды, их виды.

 20. Формулы вращения: цилиндр, конус, сфера, шар. Центр, диаметр, радиус сферы и шара. Плоскость, касательная к сфере.

21. Формулы площади поверхности и объема призмы.

22. Формулы площади поверхности и объема пирамиды.

23. Формулы площади поверхности и объема цилиндра.

24. Формулы площади поверхности и объема конуса.

 25. Формулы объема шара.

 26. Формулы площади сферы.

2. ОСНОВНЫЕ УМЕНИЯ И НАВЫКИ

Экзаменующийся должен уметь.

1. Выполнять арифметические действия, сочетая устные и письменные примеры; находить значение корня натуральной степени, степени с рациональным показателем, логарифма.
2. Вычислять значения числовых и буквенных выражений, осуществляя необходимые подстановки  и преобразования.
3. Проводить по известным формулам и правилам преобразования буквенных выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции.
4. Уметь решать рациональные, иррациональные, показательные, тригонометрические и логарифмические уравнения и их системы.
5. Решать уравнения, простейшие системы уравнений, используя свойства функций и их графиков.
6. Решать рациональные, показательные и логарифмические неравенства и их системы.
7. Вычислять производные и первообразные элементарных функций
8. Использовать в простейших случаях функции на монотонность, находить наибольшее и наименьшее значения функции.
9. Решать простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объёмов); использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы.
10. Моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять уравнения и неравенства по условию задачи; исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры.
11. Моделировать реальные ситуации на языке геометрии, исследовать построенные модели с использованием геометрических понятий и теорем, аппарата алгебры; решать практические задачи, связанные с нахождением геометрических величин.

3. ТРЕБОВАНИЯ ПРИ СДАЧЕ ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИКЕ

        Экзаменационные работы оцениваются по 100-балльной шкале. Максимально возможная суммарная оценка – 100 баллов. Минимальный балл для участия в дальнейшем конкурсе – 27 баллов.

Абитуриенту будут предложены 15 заданий. Ответом к каждому из заданий первой части является целое число или конечная десятичная дробь. При выполнении заданий второй части требуется записать полное решение и ответ.

Критерии оценок заданий по математике  (в баллах)

4. ЛИТЕРАТУРА ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ВСТУПИТЕЛЬНОМУ ИСПЫТАНИЮ

Основная литература

1. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Базовый и углублённый уровни. Автор: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е. и др. Издательство Просвещение 2023
2. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. Алимов Ш.А. и др. (10-11) (Базовый/Углубленный) Издательство Просвещение 2023
3. Геометрия. 10-11 классы. Базовый и углублённый уровни. Автор: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. / Под науч.рук. Тихонова А. Н  Издательство "Просвещение" 2023 год

Дополнительная литература

1. Мордкович А.Г., Глизбург В.И., Лаврентьева Н.Ю. Математика. Полный

справочник для подготовки к ЕГЭ. Издательство: АСТ. 2017 г.

2. Сборник задач с решениями 8-11 классы. Под редакцией Сканави М.И.

Издательство: АСТ. 2017 г.

Примерные задания по математике.

Ответом на задания 1 – 10 должно быть целое число или конечная десятичная дробь.

Часть 2

Записать задание, а затем полное обоснованное решение и ответ.

1. а) Решите уравнение 4x – 4 x + 1 = 0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [ -; - .

2. Решите систему уравнений  
3. Найдите точки экстремума функции  у = ( х – 5)2.
4. Решите неравенство  .
5. Высота правильной треугольной пирамиды SABC составляет  от высоты SM боковой грани SAB. Найдите угол между плоскостью основания пирамиды и её боковым ребром.